導言

# 開篇

經(jīng)典力學特點

• 連續(xù)
• 決定論

## 量子力學的特點

• 量子化
• 概率論

## 方法

關鍵詞：

• 薛定諤的貓【波動力學(薛定諤)】
• 算符【矩陣力學(海森堡)】

波粒二象性

# 波粒二象性

## 光子的性質(zhì)

• 波動性：物質(zhì)體現(xiàn)干涉、衍射、偏振、折射現(xiàn)象
• 粒子性：物質(zhì)體現(xiàn)光的動力學特性（能量、動量、角動量）【光電效應】

### 光子的動力學性質(zhì)

由相對論【(狹義相對論-能量與動量)[https://www.bilibili.com/video/BV1nx41137dm/?p=6&;t=1229]】可知：能量E = 靜能E_0 + 動能E_k

注意：光子靜能E_0 = 0

• 光子的能譜關系：能量與動量的關系

• 光子的質(zhì)量

回顧波動性與粒子性概念

### 光子性質(zhì)與相對論

極端相對論粒子：不管情況如何只能使用相對論處理

## 物質(zhì)的波粒二象性

物質(zhì)波——德布羅意

### 德布羅意波

實物粒子與光子的性質(zhì)區(qū)別

### 相對論的使用

回顧動力學關系

注意：光子是只能使用相對論表達式

### 德布羅意物質(zhì)波的本質(zhì)

物質(zhì)波本質(zhì)：不是機械振動的形式，概率分布的體現(xiàn)

## 例題：德布羅意波

### 例1：粒子性

• 第一小問

• 第二小問

up 主認為使用普適的相對論處理

題目的答案是采用經(jīng)典理論

電子的能量性質(zhì)

### 例2：微觀粒子的衍射

求解

結(jié)果（可以使用相對論也可以使用經(jīng)典力學）

薛定諤方程與波函數(shù)的意義

# 波動的表達式

• 圓頻率ω：時間上，描述波動的快慢
• 波矢k：空間上，波動的傳播快慢

## 物質(zhì)波

注意：條件為單色平面波

### 物質(zhì)波的形式

#### 自由粒子的波動方程

• 微分方程

對空間求二次偏微分目的是為了能與監(jiān)視偏微分的能量E產(chǎn)生聯(lián)系【相對論能量表達式E = E_0 + (pc)^2，非相對論：E = p^2 / (2m) (無勢能)】

在非相對論下，即E = p^2 / (2m) (無勢能)，可得

聯(lián)系對能量的偏微分，可得

注意：上式為非相對論且無勢能的表達式

自由粒子的薛定諤方程為從平面單色波（特解）反推而得，其為量子力學的基本公設

但由傅里葉變換可知，自由粒子的薛定諤方程具有普適性

• 算符

目的：書寫方便

#### 一般粒子的波動方程

含時（間）Sch Eq （薛定諤方程Schr?dinger equation），這只是一個推廣

### 物質(zhì)波的本質(zhì)

經(jīng)典理論：波的光程差導致產(chǎn)生干涉

干涉為粒子的概率分布——愛因斯坦

定態(tài)薛定諤方程及其求解

# 偏微分方程（PDE）

## 分離變量法

一般討論一維問題

分離變量法的完備性

• 推導

注意：此處的函數(shù)R_n不能被約去，因為函數(shù)分子函數(shù)R_n為拉普拉斯算子?^2的一部分

定態(tài)：能量為定值

• 分離變量的空間求解

注意E需要求解出

### 例題

#### 例1：一維無限深勢阱

方法一

首先可得

其中此處無關時間因此函數(shù)ψ(x)=R(x)

求解

• 當E > 0時

• 波函數(shù)的特點

特殊情況

• 求解波函數(shù)

可得能量E(其中無關時間函數(shù)ψ(x)=R(x))

使用歸一性，可得(其中無關時間函數(shù)ψ(x)=R(x))

最終可得

方法二

其為兩端固定的駐波

注意：駐波條件（主要應用于求能量）

在非相對論下得

最終可得能量E

#### 例2：半勢阱問題

概念

• 束縛態(tài)：不可運動到無窮遠處，或者說無窮遠處趨向0
• 散射態(tài)：無窮遠處仍為波動值且不趨向0

第一問

可得

求解函數(shù)R

• 自然條件

圖像

• 勢壘貫穿：由量子力學處于勢壘內(nèi)部得粒子有概率越過勢壘，而經(jīng)典理論則無法越過

求解能量E

由連續(xù)性條件（a點保持連續(xù)）可得

注意上面得方程無法解開，因其為超越方程

第二問

作圖法

#### 例3：狄拉克δ函數(shù)

狄拉克δ函數(shù)

狄拉克δ函數(shù)勢阱

狄拉克δ函數(shù)的性質(zhì)

積分后可得

求解方程

自然條件與連續(xù)性條件，得

由歸一性可得

能量可得

又k為

可得能量E

函數(shù)R

氫原子的量子力學模型

# 氫原子量子力學模型

## 方程的求解

注意：勢能V不是量子化的

坐標轉(zhuǎn)換從直角坐標xyz到極坐標(r,θ,φ)

其中徑向距離r、極角θ、方向角φ

### 邊界條件

• 周期條件：2π為周期
• 自然條件：波函數(shù)必須有界

### 狀態(tài)的確定

#### 束縛態(tài)的定態(tài)

• 徑向函數(shù)R(r)

• 極角函數(shù)?(θ)

• 方向角函數(shù)Φ(φ)

球諧函數(shù)

• 束縛態(tài)方程解的分析

可以看到氫原子能量E_n與玻爾模型解一致

• 簡并： 同一能量E_n對應不同狀態(tài)

球諧函數(shù)與狀態(tài)

• 1s狀態(tài)：球形

• 2s與2p狀態(tài)：紡錘形

狀態(tài)命令規(guī)則

• 電子云：電子分布概率

• 量子數(shù)n、l、m的物理關系

1、n： 主量子數(shù)

主量子數(shù)n反映了電子分布概率的最大值的距離

能層

2、角量子數(shù) l：角動量（大?。?/p>

角動量L，與玻爾模型中L=n?比對

3、磁量子數(shù)m：角動量方向

回顧歸一性

強行規(guī)定的球坐標下歸一性

概率分布：徑向函數(shù)R(r)、極角函數(shù)?(θ)、方向角函數(shù)Φ(φ)

概率求解

不確定關系 I

# 物質(zhì)波

# 不確定關系

## 符號意義

Δ：標準差

## 例子：光的衍射

### 一些解釋（非嚴格）

最終得出

## 非嚴格推導

拍的過程（數(shù)學與概念上的不符合）

## 嚴格推導不確定關系

### 傅里葉變換（Fourier）

分別對波函數(shù)ψ(x,t)的時間波函數(shù)ψ傅里葉變換ψ(x,ω）、空間波函數(shù)ψ的傅里葉變換為ψ(k,t)

（其中k為波矢，ω為圓頻率）

x的方差和波矢k的方差

歸一化：x的方差Δx和波矢k的方差Δk

最終可得不確定關系表達式

## 不確定關系的討論

空間Δx與動量Δp的討論

能量ΔE與時間Δt的討論

測量的物理討論

注意：其不是指測量技術(shù)本身，而是指測量物體本身是不確定的

# 例題：不確定關系

## 例1：凸透鏡

• 問題1

分析

• 問題2

** 加入介質(zhì) => 波長變短 => 提高分辨率

應用：顯微鏡浸潤在油里提高分辨率

電子干涉與概率論

# 干涉實驗

原因：電子具有波動性

雙縫干涉時，概率分布需要疊加

注意：先進行波函數(shù)ψ疊加，然后求出概率P

> 干涉為粒子的概率分布——愛因斯坦

電子之間的波函數(shù)ψ不疊加，因為電子之間的相位差不確定

## 單電子雙縫干涉與探測

加入探測器后

### 條件概率

條件概率的答案

### 有探測器干涉的解釋

電子之間的波函數(shù)ψ不疊加，因為電子之間的相位差不確定

### 雙縫干涉的思考

# 波函數(shù)ψ干涉計算問題

電子干涉中波函數(shù)ψ不可區(qū)分，其為同時疊加

# 結(jié)束章節(jié)