作為隨筆性質(zhì)的文章，本文會(huì)寫的比較隨意或者晦澀，本文主要討論麻雀中的各種形狀的極盡深入，對(duì)麻雀技術(shù)提升沒(méi)有太大幫助。適用于任何麻雀。 作者：幾愿?

本文原為2022-1-4的清一色的一個(gè)結(jié)論專欄文章1，之后已經(jīng)刪除，現(xiàn)重新補(bǔ)上并歸在麻雀形狀隨筆中。知乎同文。

定理13：14張同花色牌切出1張牌后,這副牌一定可進(jìn)入1向聽(tīng)及以內(nèi).

準(zhǔn)備工作：

(1)這個(gè)結(jié)論適用于承認(rèn)七對(duì)子的立直麻將(日本麻將)、國(guó)標(biāo)麻將以及其他手牌為13張，承認(rèn)清一色，無(wú)特殊和牌限制條件的麻將。(臺(tái)灣麻將等手牌為16張的麻將暫不考慮)

本結(jié)論將以立直麻將為例。立直麻將的重要規(guī)則：

①承認(rèn)七對(duì)子(由7個(gè)對(duì)子組成的和牌形)番種。

重要條件。如果不允許七對(duì)子的番種，那么結(jié)論要更正為2向聽(tīng)以內(nèi)。

立直麻將和牌時(shí)7個(gè)對(duì)子不可以重復(fù)(而國(guó)標(biāo)七對(duì)的對(duì)子可以重復(fù)，但是均不影響結(jié)論)。

②承認(rèn)空聽(tīng)(計(jì)作形式聽(tīng)牌)，不承認(rèn)虛聽(tīng)。

空聽(tīng)：聽(tīng)牌時(shí)，所聽(tīng)的牌均在場(chǎng)上(手牌、牌河、寶牌指示牌、副露)。在這種狀況下視作聽(tīng)牌，但是沒(méi)有和牌的機(jī)會(huì)。

虛聽(tīng)：聽(tīng)牌時(shí)，所聽(tīng)的牌均在手牌中。是空聽(tīng)的一種特殊形式，也叫作純空聽(tīng)。雀魂、天鳳中，在這種狀況下不被視作聽(tīng)牌，因?yàn)樗欢梢越忉尀閾碛?張牌，并且聽(tīng)那種牌的單騎的形式，如：

東東東東南南南西西西北北北，

聽(tīng)第5張不存在的“東”。

這種情況下并不是聽(tīng)牌，應(yīng)該視作1向聽(tīng)。

同理，分析牌形向聽(tīng)時(shí)，不存在的進(jìn)張面(以下稱作“虛進(jìn)張面”)也不應(yīng)該考慮。

不承認(rèn)虛聽(tīng)對(duì)結(jié)論的指導(dǎo)意義：我們研究的牌形只考慮手牌，且屬于門前清，所以會(huì)存在虛聽(tīng)和虛進(jìn)張面的問(wèn)題。

不可以機(jī)械認(rèn)為1111444477779p屬于1向聽(tīng)，因?yàn)椴o(wú)法摸到1p或4p進(jìn)入聽(tīng)牌狀態(tài)。因此這個(gè)牌形屬于2向聽(tīng)。

也就是說(shuō)，手牌13張牌均為同一色牌，可以是2向聽(tīng)。

(2)同一種花色的牌有：1~9的數(shù)牌各4張，共36張。這里選擇餅子(p)為例。比如:1p指1餅(筒)。

(3)向聽(tīng)：手牌還差n張有效牌即可進(jìn)入聽(tīng)牌狀態(tài)，叫做該手牌處于n向聽(tīng)。

向聽(tīng)可分自摸狀態(tài)和非自摸狀態(tài)的向聽(tīng)。

以下使用[m]表示手牌擁有m張牌。

顯然[13]屬于非自摸狀態(tài)的手牌，[14]屬于自摸狀態(tài)的手牌，[13]和[14]的向聽(tīng)數(shù)可以不同。

由于麻將需要“摸一張牌后切一張牌”，所以[14]中，切出任何一張可以達(dá)成最多14種[13]的向聽(tīng)數(shù)。

(4)聽(tīng)牌：[13]時(shí)，差1張有效牌即可進(jìn)入和牌的手牌狀態(tài)。

(5)和牌形([14])的種類：

手牌全部為同一種花色，可滿足(只需除去國(guó)士形)

①標(biāo)準(zhǔn)形：面子×4+對(duì)子×1

②七對(duì)形：對(duì)子×7

(6)聽(tīng)牌([13])的種類:

手牌全部為同一種花色，可滿足:

①兩面:3個(gè)面子+1個(gè)對(duì)子+1個(gè)兩面

②嵌張:3個(gè)面子+1個(gè)對(duì)子+1個(gè)嵌張

③邊張:3個(gè)面子+1個(gè)對(duì)子+1個(gè)邊張

④雙碰:3個(gè)面子+2個(gè)對(duì)子

⑤單騎:4個(gè)面子+1張浮牌

(7)一向聽(tīng)([13])的種類：

手牌全部為同一種花色，可滿足(只需除去國(guó)士形)

①雙搭子形：2個(gè)面子+2個(gè)順搭+1個(gè)對(duì)子

12張+1浮牌

②無(wú)雀頭形：3個(gè)面子+1個(gè)順搭+0個(gè)對(duì)子

11張+3浮牌

順搭數(shù)也可以為2，但是只需滿足1個(gè)順搭即可。

③雙靠張形：3個(gè)面子+0個(gè)順搭+1個(gè)對(duì)子

11張+3浮牌

④七對(duì)子形：5個(gè)對(duì)子

10張

注：1112255668899p這類也視作1向聽(tīng)。

(8)數(shù)學(xué)定義:我們用大寫字母A、B、C...定義一張牌,由麻將規(guī)則,牌具有數(shù)值,對(duì)于任意牌A,1≤A≤9,且A∈N+.若A=1,則A代表1p.

用小寫字母p、q、r...定義同色牌形，如同色牌形p=(1112345678999)代表牌形1112345678999p.

根據(jù)麻將定義可知:

面子:分順子、刻子。

順子是指3張數(shù)字連續(xù)的牌組成牌形,用(ABC)表示,滿足C-B=1且B-A=1.

刻子是指3張數(shù)字相同的牌組成牌形,用(ABC)表示,滿足A=B且B=C

杠子是指4張數(shù)字相同的牌組成牌形，如1111p。杠子全部都在手牌時(shí)，不算做1個(gè)面子，而應(yīng)該拆成1個(gè)刻子+1張浮牌.

順搭：分兩面、嵌張、邊張.

兩面是指2張數(shù)字相差為1的牌組成牌形,用(AB)表示,滿足B-A=1.

嵌張是指2張數(shù)字相差為2的牌組成牌形,用(AB)表示,滿足B-A=2

邊張是指2張數(shù)字相差為1，且包含1或9組成的牌形,用(AB)表示,滿足B-A=1,且A=1或B=9

對(duì)子：是指2張相同的牌組成牌形,用(AB)表示,滿足A=B.

牌形具有集合的無(wú)序性,我們可對(duì)牌的數(shù)值認(rèn)為規(guī)定大小順序來(lái)使其有序.

同時(shí),在麻將中,牌形可拆分為若干個(gè)更小的牌形,類似于集合中的包含關(guān)系.因此可定義運(yùn)算:

如果牌形q和牌形r的所有的牌組成一個(gè)新的牌形p，則有:

q+r=p

如果牌形p中抽出一組更小的牌形q，剩余的牌組成一個(gè)新的牌形r，則有:

p-q=r

抽出牌形的操作在非特殊說(shuō)明的情況下，是任意的.

可知,對(duì)于順子(ABC),(ABC)=(AB)+(C)=(A)+(BC)=(AC)+(B),即順子可拆成兩面、邊張、嵌張之中的1個(gè)順搭和1張浮牌.

可知,對(duì)于刻子(AAA),(AAA)=(AA)+(A)即刻子可拆成1個(gè)對(duì)子和1張浮牌.

可知,對(duì)于杠子(AAAA),(AAAA)=(AAA)+(A)即杠子可拆成1個(gè)刻子和1張浮牌.

可知,任何的聽(tīng)牌形均可拆成為1向聽(tīng)牌形，因而滿足聽(tīng)牌形，也一定滿足1向聽(tīng)牌形.

定義任意同色牌形p的長(zhǎng)度為L(zhǎng)(p)，如牌形p=(1112345678999)中,L(p)=13.

定義任意同色牌形p的牌種類為V(p)，如牌形p=(1112345678999)中,V(p)=9.

由麻將規(guī)則可知,1≤V(p)≤9.

定義任意同色牌形p的牌分布數(shù)組成為D(p)，如牌形p=(1112345678999)中,D(p)={3,1,1,1,1,1,1,1,3}.

D(p)的元素具有無(wú)序性，因此無(wú)排序要求下,亦有D(p)={3,3,1,1,1,1,1,1,1}

由麻將規(guī)則可知,n個(gè)元素≥3,p可存在n個(gè)刻子.n個(gè)元素=4,p可存在n個(gè)杠子.

證明過(guò)程：

• 引理1：一副同色牌如果有7種以上的牌，至少有1個(gè)順子。

證明：

已知7≤S(a)≤9.可知,從(123)、(456)、(789)中,缺失任何2種牌，最多只能減少2個(gè)順子，一定還剩余1個(gè)順子.因此得證.

另外,設(shè)牌形a=(ABCDEFG),且1≤A＜B＜C＜D＜E＜F＜G≤9.則G-A≤8.

假設(shè)不存在順子，則設(shè)命題a:B-A≥2,b:C-B≥2,c:D-C≥2,d:E-D≥2,e:F-E≥2,f:G-F≥2.由題意,利用邏輯代數(shù)知識(shí)可得

(a+b)(b+c)(c+d)(d+e)(e+f)=1

化簡(jiǎn)得ace+acdf+bce+bde+bdf=1.

表明最少會(huì)有3個(gè)命題為真，于是得

(G-D)+(D-F)+(F-E)+(E-D)+(D-C)+(C-B)+(B-A)=G-A≥1×(6-3)+2×3=9.

與已知條件矛盾,因此假設(shè)不成立.則一定至少有1個(gè)順子.

綜上所述，引理1成立.

• 引理2：13張同色牌至少有1個(gè)面子.

構(gòu)造牌形b,L(b)=13,由麻將規(guī)則可知,4V(b)≥13，得V(b)≥13/4.由于V(b)∈N+，則V(b)≥4.

(13張牌，即一副牌，一定有4種不同的牌.)

則當(dāng):

9≥V(b)≥7，由引理1可知，一定有至少1個(gè)順子.

6≥V(b)≥4，假設(shè)沒(méi)有刻子，則任一種類牌使用張數(shù)≤2.

得到2V(b)≤12＜13,不合題意,因此假設(shè)不成立.

故一定有至少1個(gè)刻子.

綜上所述，引理2成立.

• 引理3：14張同色牌至少有6個(gè)互斥對(duì)子，或者至少有2個(gè)面子.

構(gòu)造牌形c,L(c)=14.由麻將規(guī)則可知,4V(c)≥14，得V(c)≥7/2.由于V(c)∈N+，則V(c)≥4.

即4≤S(c)≤9.

討論:

當(dāng)4≤V(c)≤5時(shí),10≤4+2[V(c)-1]≤12＜14,即至少有1個(gè)刻子+1個(gè)杠子,設(shè)這個(gè)杠子為(AAAA),

∵(AAAA)=(AAA)+(A)

∴c存在2個(gè)刻子.

當(dāng)V(c)=6時(shí),令牌形c=set(c)+res(c),set(c)=(ABCDEF),1≤A＜B＜C＜D＜E＜F≤9,.即set(c)的每類牌的分布數(shù)集合為{1,1,1,1,1,1},

(意思是牌形c中抽出每種牌各一張組成新牌形set(c)，剩余的牌形組成res(c))

∵L(res(c))=8＞S(res(c))=6

∴由鴿巢原理,D(res(c))中,至少有1個(gè)元素為2.

當(dāng)元素最大值為2時(shí),D(res(c))={2,2,1,1,1,1},即D(c)={3,3,2,2,2,2},可知c存在6個(gè)對(duì)子,另外,c也存在2個(gè)刻子.

當(dāng)元素最大值為3時(shí),討論:

D(res(c))={3,1,1,1,1,1},即D(c)={4,2,2,2,2,2},可知c存在6個(gè)對(duì)子.

D(res(c))中,至少有2個(gè)元素為2,即D(c)至少有2個(gè)元素為3,可知c存在2個(gè)刻子.

當(dāng)V(c)=7時(shí),令牌形c=set(c)+res(c),set(c)=(ABCDEFG),1≤A＜B＜C＜D＜E＜F＜G≤9.即set(c)的每類牌的分布數(shù)集合為{1,1,1,1,1,1,1},

由引理1可知，set(c)至少有1個(gè)順子.

設(shè)res(c)對(duì)子數(shù)為x，則

當(dāng)x=0時(shí),S(res(c))=7,D(res(c))={1,1,1,1,1,1,1},且res(c)=set(c).

即D(c)={2,2,2,2,2,2,2},可知c存在7個(gè)對(duì)子.另外,res(c)也存在1個(gè)順子,即c存在2個(gè)順子.

(從麻將牌理來(lái)說(shuō),這屬于“七對(duì)子”胡牌)

當(dāng)x=1時(shí),討論:

當(dāng)S(res(c))=6時(shí),D(res(c))={2,1,1,1,1,1,0},D(c)={3,2,2,2,2,2,1},可知c存在6個(gè)對(duì)子.

當(dāng)S(res(c))=5時(shí),D(res(c))={3,1,1,1,1,0,0},可知res(c)存在1個(gè)刻子,即c有1個(gè)順子和1個(gè)刻子.

當(dāng)x≥2時(shí),即D(res(c))中至少有2個(gè)元素為2，則D(c)至少有2個(gè)元素為3，可知c存在2個(gè)刻子.

當(dāng)8≤V(b)≤9時(shí)，可知,從(123)、(456)、(789)中,缺失任何1種牌，最多只能減少1個(gè)順子，一定還剩余2個(gè)順子.因此得證.

綜上所述,引理3得證.

• 引理4：4張同色牌至少有1個(gè)搭子。

構(gòu)造牌形d=(ABCD)，且1≤A≤B≤C≤D≤9，則得D-A≤8.

假設(shè)有1個(gè)對(duì)子，那么滿足A=B或B=C或C=D.

假設(shè)沒(méi)有對(duì)子，得1≤A＜B＜C＜D≤9.在這種情況下，假設(shè)沒(méi)有順搭，則有

B-A≥3,C-B≥3,D-C≥3.

三式相加得(D-C)+(C-B)+(B-A)=D-A≥9,不合題意,因此假設(shè)不成立,故一定有至少1個(gè)順搭.

綜上所述，引理4得證.

• 引理5：6張同色牌至少有2個(gè)搭子。

構(gòu)造牌形f=(ABCDEF)，可知B包含A.且1≤A≤B≤C≤D≤E≤F≤9，

假設(shè)有1個(gè)對(duì)子,則滿足A=B或B=C或C=D或D=E或E=F,設(shè)這個(gè)對(duì)子為牌形g,L(f-g)=4，

由引理4,可知f-g至少有1個(gè)搭子.即滿足牌形f有2個(gè)搭子.

假設(shè)沒(méi)有對(duì)子,則得1≤A＜B＜C＜D＜E＜F≤9.

∵F-A=(F-E)+(E-D)+(D-C)+(C-B)+(B-A)≥1+1+1+1+1=5

又∵由鴿巢原理，1+1+1＞8-3×2

∴F-E,E-D,D-C,C-B,B-A中，最多有1個(gè)=3，至少有4個(gè)≤2.

則牌形f存在3個(gè)順搭.或者1個(gè)順子+1個(gè)順搭,設(shè)順子為(HIJ),J-I=1,I-H=1.

∵(HIJ)=(HI)+(J)=(H)+(IJ)=(HJ)+(I)

∴f存在2個(gè)順搭.

綜上所述,引理5得證.

• 證明:14張同花色牌切出1張牌后,這副牌一定可進(jìn)入1向聽(tīng)及以內(nèi).

解:由引理3可知,14張同花色牌必然存在6個(gè)對(duì)子,或者2個(gè)面子.如果存在6個(gè)對(duì)子,將一定滿足七對(duì)子一向聽(tīng)形.

剩余2張牌，可切其中1張牌。

如果存在2個(gè)面子,剩余8張牌,設(shè)為牌形h,L(h)=8.

由題意,h沒(méi)有面子,由引理1,V(h)≠8,V(h)≠7.

當(dāng)V(h)≤6時(shí),L(h)=8≥V(h),由鴿籠定理,D(h)中,至少有1個(gè)元素為2,即V(h)存在1個(gè)對(duì)子.

設(shè)這個(gè)對(duì)子為i，設(shè)j=h-i,L(j)=6,由引理5,至少存在2個(gè)搭子,則滿足一向聽(tīng)雙搭子形.

剩余1張牌，可切其中1張牌。

如果存在3個(gè)面子.剩余5張牌,由引理4,剩余5張牌必然也有1個(gè)搭子,則滿足一向聽(tīng)無(wú)雀頭形或一向聽(tīng)雙靠張形.

剩余3張牌，可切其中1張牌。

證畢。

應(yīng)用：如果一家正在染手，而且染牌溢出，是可以認(rèn)定其1向聽(tīng)或者聽(tīng)牌的。

此時(shí)要做好防守的準(zhǔn)備。

參考文獻(xiàn)：

[1]日本 麻雀の數(shù)學(xué) 網(wǎng)站

[2]Sanjiang Li、Xueqing Yan. Let's Play Mahjong! ArXiv:1903.03294 , 2019