2023年廈門(mén)二檢數(shù)學(xué)比大小問(wèn)題如圖：

這種問(wèn)題含有l(wèi)n函數(shù)無(wú)法直接求解，但依舊可以使用泰勒展開(kāi)法進(jìn)行近似計(jì)算。關(guān)于泰勒公式的介紹請(qǐng)看這條動(dòng)態(tài)。以下內(nèi)容中 ^符號(hào) 表示取指數(shù)。

觀察到選項(xiàng)中含有l(wèi)n(2)和ln(3)。ln函數(shù)的常用特殊值有兩個(gè)：ln(1)=0和ln(e)=1。其中e≈2.718。如果把ln(x)在x0=1處展開(kāi)，則由于2-1=1和3-1=2都大于等于1，所以用這個(gè)展開(kāi)式計(jì)算ln(2)和ln(3)并不能得到精度令人滿(mǎn)意的估值(因?yàn)檎`差太大不可控)。所以只能退而求其次在x0=e處把ln(x)做泰勒展開(kāi)。剛好e到2和3的距離都小于1，誤差可控，估算精度可接受。

另f(x)=ln(x)，則：

f'(x)=1/x

f''(x)=-2/(x^2)

本題不需要保留三階導(dǎo)數(shù)或以上的展開(kāi)項(xiàng)，所以更高階的導(dǎo)數(shù)就不寫(xiě)了。

將f(x)在x0=e處進(jìn)行泰勒展開(kāi)：

f(x)≈f(x0)+f'(x0)(x-x0)+f''(x0)(x-x0)^2

=ln(x0)+1/x0*(x-x0)-2/(x0^2)*(x-x0)^2

=ln(e)+1/e*(x-e)-2/(e^2)*(x-e)^2

=1+(x-e)/e-2*(x-e)^2/(e^2)

取e≈2.718。列豎式易得a≈1.0986。b和c帶入展開(kāi)式：

由于3距離e比較?。?-2.718=0.282），故泰勒展開(kāi)估算ln(3)保留一階導(dǎo)即可：

ln(3)≈1+(3-e)/e≈1.1037

由于2距離e比較大（2-2.718=-0.718，很接近上限1，本題其實(shí)保留一階導(dǎo)也可，但這算下來(lái)誤差較大，為7.76%），故保留二階導(dǎo)項(xiàng)：

ln(2)≈1+(2-e)/e-2*(2-e)^2/(e^2)

≈1-0.26416-2*(2-e)^2/(e^2)

由于二階導(dǎo)項(xiàng)2*(2-e)^2/(e^2)本身就比較小，為了方便起見(jiàn)可以進(jìn)一步近似計(jì)算，取e≈2.7計(jì)算最后一項(xiàng)可得：

ln(2)≈1-0.26416-2*(2-2.7)^2/(2.7^2)≈1.11877

所以a<b<c。其中b估值的相對(duì)誤差為0.4642%，而c的估值誤差為1.6509%，都是工程上一般來(lái)說(shuō)非常好的估算結(jié)果了。