“螞蟻”曲線引發(fā)的探索
思考源于此題：
一只螞蟻繞圓柱從底端爬至頂端，恰好爬行了一周，問爬行的最短路徑長？
原題很簡單，只需將側(cè)面展開，軌跡即從左下頂點到右上頂點，最短距離即兩點間距離，勾股定理即得：?
而由于我是個魔怔的數(shù)學(xué)人(瘋子)，因此即便一道簡單題都有可能引發(fā)腦海中的一股颶風(fēng)！
其中一個問題就是想將這個軌跡在坐標(biāo)系中精確地繪制出來，于是有了以下的研究。
ps:先簡單聲明：此篇專欄與應(yīng)試幾乎無關(guān)，因此僅當(dāng)給觀眾(主要為興趣的數(shù)學(xué)愛好者)欣賞/探索所呈現(xiàn)
考慮先在側(cè)面展開的平面圖中畫出軌跡：
嗯，b站沒法直接編輯圖片，這點機制倒沒知乎好...
容易寫出其參數(shù)方程：，其中參數(shù)
然后我們考慮將這一直線經(jīng)過某種變換轉(zhuǎn)化至空間直角坐標(biāo)系中。因此我們需要找到這一變換，即找到平面(該矩形范圍)內(nèi)一點與(圓柱)側(cè)面一點的一一映射關(guān)系
其中有,于是輸出點可表示為：
再根據(jù)參數(shù)方程有：(即
隨t變化的函數(shù)關(guān)系)
于是得到軌跡在空間中的參數(shù)方程：，其中參數(shù)
ps:從軌跡方程還可看出該螞蟻曲線是一條螺旋線
3D圖：
有了這一成果，我們就可以把平面內(nèi)的圖像通過上述變換“貼”到側(cè)面上了，比如貼個笑臉
取
先在平面圖中畫出笑臉，其解析式如下：
，對應(yīng)參數(shù)方程：
;
，對應(yīng)參數(shù)方程：
;
，對應(yīng)參數(shù)方程：
;
，對應(yīng)參數(shù)方程：
;
再利用上文所述的轉(zhuǎn)化關(guān)系分別變換得：
3D圖：
從側(cè)俯視圖可看出于是笑臉軌跡是被“貼”在圓柱面上的，于是笑臉就“貼”好了
ggb:數(shù)學(xué)軟件兼繪畫軟件[滑稽]
畫了圓柱中的“螞蟻”曲線，下面再來畫圓錐中的“螞蟻”曲線
一只螞蟻繞圓錐從底端繞一周爬回原位，問爬行的最短路徑長？
設(shè)圓錐的底面半徑，高，母線分別為，有
圓錐側(cè)面展開圖中，圓心角，于是最短距離為：
當(dāng)然，這個就要要求
了，否則沿著母線爬上頂再爬回才是最短的
在平面坐標(biāo)系中，設(shè)初始位置為，末位置為
考慮到扇形用半徑和圓心角兩個兩較好表示，于是用極坐標(biāo)表示該軌跡(直線)：
同樣，我們需要找到間的映射關(guān)系
ps:此處
表圓錐曲面(側(cè)面)的兩個參數(shù)(變量)，
分別為圓錐的半徑和高
其中有(
為此時扇形圓心角所對弧長，再除以r即得此時在空間中繞軸轉(zhuǎn)過的角)
(
即距底面圓錐距離與母線長的比值，在空間中根據(jù)相似可得，該比值等于此時的高度與圓錐高的比值)
于是得到軌跡在空間中的參數(shù)方程：
，其中參數(shù)
解析式著實復(fù)雜了很多，上面這個是未化簡的
3D圖：
同樣，我們也可以把二維中的圖像通過轉(zhuǎn)化“貼”到圓錐表面上，由于圓錐的這個映射轉(zhuǎn)化關(guān)系較復(fù)雜，因此這里不多贅述了
再往下想，還考慮過把貼紙貼在"球"上，但這里就出現(xiàn)了一關(guān)鍵問題——歐式幾何與非歐幾何
已經(jīng)證明球面是不能展開成平面圖的。
有關(guān)的可以參考3b1b的一個視頻：【官方雙語】直觀視覺（偽）證明三例
解釋：
圓柱、圓錐、圓臺的側(cè)面可以看成由一條直線(或線段)運動生成，球面是不能通過直線運動生成的。換言之，圓柱、圓錐、圓臺的側(cè)面存在直線，而在球面上沒有一條直線存在。所以球面不能展成平面圖形。我們把能夠展成平面圖形的曲面稱為直紋面，圓柱、圓錐、圓臺的側(cè)面都是直紋面。
不過我們還是可以找到一個“世界地圖平面坐標(biāo)”與“地球儀坐標(biāo)”的對應(yīng)關(guān)系(利用經(jīng)/緯構(gòu)建對應(yīng)關(guān)系)，只是映射后兩點距離會發(fā)現(xiàn)變化(平面中兩點間距離利用勾股定理計算，而球面兩點距離=過兩點和球心平面所截得的圓的劣弧)。
好了，這期成果就分享到此。更多的成果分享期待后續(xù)更新~
