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[翻譯]錐線幾何(Geometry of Conics)第一章：二次曲線的諸基本性質1.3(III)

2023-08-11 16:19 作者:瀰?夃 0人讀過 | 我要投稿

練習3. 考慮一系列共焦的(confocal)二次曲線，即焦點都相同的二次曲線．求證其中的任意雙曲線與任意橢圓之間夾角都為直角（曲線之間的夾角指兩曲線交點處切線的夾角；見圖1.13）

解答. 設焦點都為 $F_1$ 和 $F_2$ 的一橢圓與一雙曲線的其中一個交點為 $P$ ．那么該點上兩曲線的切線分別為 $%5Cangle%20F_2PQ$ 外角和內角的角分線．兩線自然也就相互垂直．

定理1.2. 若弦 $PQ$ 過橢圓的一焦點 $F_1$ ， $R$ 為 $P$ 、 $Q$ 處的兩切線交點．則有 $R$ 為 $%5Ctriangle%20F_2PQ$ 的旁切圓圓心，且 $P$ 為該圓與邊 $PQ$ 的切點，其中 $F_2$ 為橢圓另一焦點（圖1.14）．

證明. 由光學性質，有 $PR$ 與 $QR$ 為 $%5Ctriangle%20F_2PQ$ 的兩外角角分線交點，即 $R$ 為 $%5Ctriangle%20F_2PQ$ 的旁心．而 $%5Codot%20R$ 在 $PQ$ 處的切點 $F'_1$ 、 $PQ$ 以及 $F_2$ 將 $%5Ctriangle%20F_2PQ$ 周長分為相等的兩部分，即 $F'_1P%2BPF_2%3DF_2Q%2BQF'_1$ ．又由 $F_1$ 為其上唯一滿足此關系的點，故 $F_1$ ， $F'_1$ 重合． $%5Csquare$

推論. 連接一焦點及過該焦點的弦兩端處切線交點的直線垂直于該弦．

（譯者注：其實就是圖1.14中的 $RF_1%5Cbot%20PQ$ ．另外，原文就這么拗口......）

???????對于雙曲線，定理1.2依然成立，只不過旁切圓會變?yōu)閮惹袌A．

（譯者注：這里注意切點要取在雙曲線的同一支．雖然這個證明不難得到，但由于1.3(III)行文至此才400字出頭，為避灌水之嫌還是來演示一下吧．

命題. 設內弦 $PQ$ 過雙曲線一焦點 $F_1$ ，雙曲線過 $P$ 、 $Q$ 兩點的切線交于點 $R$ ，則有 $R$ 為 $%5Ctriangle%20F_2PQ$ 的內切圓圓心，且 $F_1$ 為 $PQ$ 與該圓的切點（圖d）．

證明. 由光學性質，有 $R$ 為 $%5Ctriangle%20F_2PQ$ 的兩角角分線交點，即 $R$ 為 $%5Ctriangle%20F_2PQ$ 的內心．而由內心性質，有 $QF_2-QF'_1%3DPF_2-PF'_1$ ，其中 $F'_1$ 為 $%5Codot%20R$ 與 $PQ$ 的切點．而 $F_1$ 為 $PQ$ 上唯一滿足此條件的點，故命題得證．）