想寫(xiě)這些東西是因?yàn)樗旱臅r(shí)候有人po出一道題：

太長(zhǎng)/太亂不看版：

對(duì)于高為三的圓錐pomusetsu來(lái)說(shuō)，當(dāng)pomu圓錐的體積占pomusetsu圓錐的體積八分之一時(shí)，pomu的高是多少。

當(dāng)看到這是第四道選擇題而我第一時(shí)間沒(méi)想到答案是多少的時(shí)候，莫名的勝負(fù)欲便燃了起來(lái)。適逢復(fù)活節(jié)放假，手頭沒(méi)有要緊事便寫(xiě)了起來(lái)。

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第一個(gè)想法便是積分，圓錐可以看作是三角形繞直角邊轉(zhuǎn)個(gè)2π形成的。那么對(duì)于繞一個(gè)邊轉(zhuǎn)動(dòng)求體積這個(gè)問(wèn)題來(lái)說(shuō)，可以使用公式：

對(duì)于解決問(wèn)題來(lái)說(shuō)只需要將三角形以函數(shù)f(x)的形式描述出來(lái)就可以了。

對(duì)于圓錐pomusetsu來(lái)說(shuō)，可以看作它是由底邊為圓錐pomusetsu的半徑，高度為三的三角形：

將它逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)九十度躺在x軸上，頂點(diǎn)放在原點(diǎn)上，易得其斜邊表達(dá)式f(x)為：

眾所周知，圓錐的體積公式為：

連立兩個(gè)公式求解圓錐pomu高：

已知h為三：

感謝馬門(mén)為這個(gè)想法投入的思考。

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我一開(kāi)始的想法是三重積分硬算體積，但是在寫(xiě)了三張紙還發(fā)現(xiàn)不知道哪里抄錯(cuò)了導(dǎo)致結(jié)果完全不知所云遂放棄這個(gè)想法，還是從定積分下手比較簡(jiǎn)單。

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對(duì)于圓錐來(lái)說(shuō)，其可以看作由無(wú)窮多個(gè)半徑逐漸變小的同心的圓柱堆疊：

（感謝漢諾塔讓我不用再畫(huà)一個(gè)示意圖）

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對(duì)于同心圓們的半徑來(lái)說(shuō)，其隨高度線性遞減，所以可以表示為：

對(duì)于圓錐pomu來(lái)說(shuō)，它的半徑就是：

(x為圓錐pomu的底所在的高度)

只需要將這個(gè)關(guān)系再套一遍，即可得到圓錐pomu的半徑隨高度變化的表達(dá)式：

眾所周知圓柱的體積為：

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所以圓錐pomu的無(wú)限矮的圓柱們的集合可以表示為：

便可以表達(dá)為積分式：

將這個(gè)積分式層層剝開(kāi)：

拆分化簡(jiǎn)可得：

通過(guò)現(xiàn)代科技的幫助可解x得：

答案為?3-x。

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就在我們感嘆怎么第四道選擇題這么麻煩的時(shí)候，來(lái)自rin師傅的幾句話讓琢磨積分的人成了小丑：

呃

我是弱智。