謂詞在命題邏輯詞中的展開方法

2022-10-29 15:13 作者:撲克子 0人讀過 | 我要投稿

序

一天，數(shù)學(xué)家覺得自己已受夠了數(shù)學(xué)，于是他跑到消防隊(duì)去宣布他想當(dāng)消防員。
消防隊(duì)長(zhǎng)說：「您看上去不錯(cuò)，可是我得先給您一個(gè)測(cè)試?！?br>消防隊(duì)長(zhǎng)帶數(shù)學(xué)家到消防隊(duì)后院小巷，巷子里有一個(gè)貨棧，一只消防栓和一卷軟管。
消防隊(duì)長(zhǎng)問：「假設(shè)貨棧起火，您怎么辦？」
數(shù)學(xué)家回答：「我把消防栓接到軟管上，打開水龍頭，把火澆滅?！?br>消防隊(duì)長(zhǎng)說：「完全正確。最后一個(gè)問題：假設(shè)您走進(jìn)小巷，而貨棧沒有起火，您怎么辦？」
數(shù)學(xué)家疑惑地思索了半天，終于答道：「我就把貨棧點(diǎn)著?！?br>消防隊(duì)長(zhǎng)大叫起來：「什么？太可怕了，您為什么要把貨棧點(diǎn)著？」
數(shù)學(xué)家回答：「這樣我就把問題化簡(jiǎn)為一個(gè)我已經(jīng)解決過的問題了。」

這個(gè)笑話雖然是開玩笑，但也反映了數(shù)學(xué)思維的解題方法。在學(xué)到謂詞邏輯的時(shí)候，我就在想要是能把謂詞轉(zhuǎn)化為命題邏輯詞，用與、或、非來判斷，該有多方便。

定義

首先給出所有邏輯詞的遞歸定義（只用與、或、非表達(dá)）。這些定義書上都有，也易證。

$%5Cbegin%7Barray%7D%7Bc%7Cc%7Cc%7D%0A%5Chline%0A%E5%90%8D%E8%AF%8D%20%26%20%E7%AC%A6%E5%8F%B7%26%20%E5%AE%9A%E4%B9%89%20%5C%5C%0A%5Chline%0A%E5%90%A6%E5%AE%9A%20%26%20%5Cneg%20P%20%26%20%E9%9D%9E%5C%5C%0A%E5%90%88%E5%8F%96%20%26%20P%5Cwedge%20Q%26%20%E4%B8%8E%5C%5C%0A%E6%9E%90%E5%8F%96%20%26%20P%5Cvee%20Q%26%E6%88%96%5C%5C%0A%E6%9D%A1%E4%BB%B6%20%26%20P%5Crightarrow%20Q%20%26%20%5Cneg%20P%5Cvee%20Q%20%5C%5C%0A%E5%90%8C%E6%88%96%20%26%20P%5Cleftrightarrow%20Q%20%26%20%5Cleft(P%5Cwedge%20Q%5Cright)%5Cvee%5Cleft(%5Cneg%20P%5Cwedge%20%5Cneg%20Q%5Cright)%20%5C%5C%0A%E4%B8%8E%E9%9D%9E%20%26%20P%5Cuparrow%20Q%26%20%5Cneg%20P%5Cvee%5Cneg%20Q%20%5C%5C%0A%E6%88%96%E9%9D%9E%20%26%20P%5Cdownarrow%20Q%26%20%5Cneg%20P%5Cwedge%5Cneg%20Q%20%5C%5C%0A%E6%9D%A1%E4%BB%B6%E5%90%A6%E5%AE%9A%20%26%20P%5Cmapsto%20Q%20%26%20P%5Cwedge%5Cneg%20Q%20%5C%5C%0A%E5%BC%82%E6%88%96%20%26%20P%5Cnabla%20Q%26%20%5Cleft(P%5Cwedge%5Cneg%20Q%5Cright)%5Cvee%5Cleft(%5Cneg%20P%5Cwedge%20Q%5Cright)%5C%5C%0A%E4%BB%BB%E6%84%8F%20%26%20%5Cforall%20P%5Cin%5Cleft%5C%7BP_i%5Cright%5C%7D%20%26%20%5Cbigwedge%20P_i%20%5C%5C%0A%E5%AD%98%E5%9C%A8%20%26%20%5Cexists%20P%5Cin%5Cleft%5C%7BP_i%5Cright%5C%7D%20%26%20%5Cbigvee%20P_i%5C%5C%0A%5Chline%0A%5Cend%7Barray%7D$

接下來我們做一些約定：

用分號(hào)「 $%5Ccolor%7Bred%7D%3B$ 」分隔表達(dá)式，效果等同于合取。

這點(diǎn)數(shù)學(xué)上廣泛使用的做法是用逗號(hào)「 $%2C$ 」分隔，例如：

x、y是實(shí)數(shù)，并且x大于0

$x%2Cy%5Cin%5Cmathbb%20R%2Cx%3E0$

這里可以看出缺點(diǎn)是分隔兩個(gè)變量的逗號(hào)和分隔表達(dá)式的逗號(hào)任意混淆，看不清，所以這里我們先使用分號(hào)代替：

$x%2Cy%5Cin%5Cmathbb%20R%3Bx%3E0$

謂詞公式改寫

接下來我們改寫只包含一個(gè)謂詞的公式：

自然語言：對(duì)于任意實(shí)數(shù)x，x一定大于0

只用邏輯詞的寫法： $%5Cforall%20x%5Cin%5Cmathbb%20R%5Cto%20x%3E0$

這里用「條件」連接了前提和推論，從直觀上看是沒問題的，如果分類討論，會(huì)發(fā)現(xiàn)也沒問題：

如果x不是實(shí)數(shù)：不在命題討論范圍內(nèi)，與命題不沖突；假→真=假→假=真

如果x是大于0的實(shí)數(shù)：命題成立，與命題不沖突；真→真=真

如果x是小于0的實(shí)數(shù)：命題不成立，與命題沖突；真→假=假

可見相同，存在量詞也是一樣的，不多證明了。

如果是兩個(gè)謂詞呢，先不考慮無限集：

對(duì)于任意 $x%5Cin%5Cleft%5C%7Bx_1%2Cx_2%2Cx_3%5Cright%5C%7D$ ，存在 $y%5Cin%5Cleft%5C%7By_1%2Cy_2%2Cy_3%5Cright%5C%7D$ ，可以使 $x%3Ey$

展開可得：

$%5Cbegin%7Baligned%7D%0A%26%5Cleft(x_1%3Ey_1%E5%B9%B6%E4%B8%94x_2%3Ey_1%E5%B9%B6%E4%B8%94x_3%3Ey_1%5Cright)%5C%5C%0A%E6%88%96%26%5Cleft(x_1%3Ey_2%E5%B9%B6%E4%B8%94x_2%3Ey_2%E5%B9%B6%E4%B8%94x_3%3Ey_2%5Cright)%5C%5C%0A%E6%88%96%26%5Cleft(x_1%3Ey_3%E5%B9%B6%E4%B8%94x_2%3Ey_3%E5%B9%B6%E4%B8%94x_3%3Ey_3%5Cright)%0A%5Cend%7Baligned%7D$

將其換為數(shù)學(xué)符號(hào)，并且提取相同的項(xiàng)可得

$%5Cbigvee_j%5Cleft(%5Cleft(%5Cbigwedge_i%20x_i%5Cright)%5Cwedge%20y_j%5Cright)%5Cto%20x%3Ey$

顯然內(nèi)層括號(hào)里面就是任意的符號(hào)：

$%5Cforall%20x%5Cexists%20y%5CLeftrightarrow%5Cbigvee_j%5Cleft(%5Cforall%20x%3By_j%5Cright)$

同理如果是先存在后任意：

$%5Cexists%20x%5Cforall%20y%5CLeftrightarrow%5Cbigwedge_j%5Cleft(%5Cexists%20x%3By_j%5Cright)$

如果是兩個(gè)任意：

$%5Cforall%20x%5Cforall%20y%5CLeftrightarrow%0A%5Cbigwedge_j%5Cleft(%5Cforall%20x%3By_j%5Cright)%5CLeftrightarrow%0A%5Cleft(%5Cbigwedge_ix_i%5Cright)%5Cwedge%5Cleft(%5Cbigwedge_jy_j%5Cright)%5CLeftrightarrow%0A%5Cforall%20x%2Cy%5CLeftrightarrow%0A%5Cforall%20y%5Cforall%20x$

這也是為什么發(fā)現(xiàn)經(jīng)常多個(gè)變量合在一個(gè)任意里，還有如果沒有任意的多個(gè)并列條件，可以交換先后（因?yàn)樗麄兡J(rèn)都是任意，而任意之間可以交換）

如果是兩個(gè)存在：

$%5Cexists%20x%5Cexists%20y%5CLeftrightarrow%0A%5Cbigvee_j%5Cleft(%5Cexists%20x%3By_j%5Cright)%5CLeftrightarrow%0A%5Cbigvee_%7Bi%2Cj%7D%5Cleft(x_i%5Cwedge%20y_j%5Cright)%5CLeftrightarrow%0A%5Cexists%20x%2Cy%5CLeftrightarrow%0A%5Cexists%20y%5Cexists%20x$

同理，兩個(gè)存在之間也可以合并和交換

結(jié)論

綜上可得任意和存在同時(shí)出現(xiàn)時(shí)的性質(zhì)：多個(gè)任意和存在內(nèi)部可交換、合并，兩者之間不行

最后以一個(gè)命題結(jié)尾：

由蓋住的定義：

設(shè)任意集合A上有偏序關(guān)系，若a、b屬于A，a不先于b、a不等于b，且A中不存在其他元素z，使得a不先于z且z不先于b，則稱元素b蓋住a

可寫為（設(shè)條件邏輯符優(yōu)先級(jí)最低）：

$b%E7%9B%96%E4%BD%8Fa%7C%5Cleft%3CA%2C%5Cpreccurlyeq%5Cright%3E%3Ba%2Cb%5Cin%20A%3Ba%5Cneq%20b%3Ba%5Cpreccurlyeq%20b%3B%5Cnexists%20z%5Cin%20A%5Cto%20a%5Cpreccurlyeq%20z%5Cpreccurlyeq%20b$