玄宇宙計(jì)劃
集合論真理的證據(jù)和
超宇宙計(jì)劃
西·大衛(wèi)·弗里德曼
維也納大學(xué)庫(kù)爾特·哥德爾研究中心
sdf@logic.univie.ac.at
我討論了集合論中真理的三個(gè)潛在證據(jù)來(lái)源，來(lái)自
確定理論作為數(shù)學(xué)分支和數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的作用
以及集合概念的內(nèi)在極大性特征。我預(yù)測(cè)
新的非一階公理將會(huì)被發(fā)現(xiàn)，并且有所有三個(gè)公理的證據(jù)
類型，并且這些公理將產(chǎn)生顯著的一階后果，這將
被視為集合論的真實(shí)陳述。論文的大部分內(nèi)容涉及
超宇宙計(jì)劃，其目的是發(fā)現(xiàn)一個(gè)最佳的數(shù)學(xué)
表達(dá)集合論宇宙的高度和最大值的原理
寬度。
1 簡(jiǎn)介
ZFC 公理的真實(shí)性被普遍接受至少有兩個(gè)原因。
其中一個(gè)原因是基礎(chǔ)性的，因?yàn)樗鼈冑x予集合論作為一種理論的能力。
整個(gè)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)非常好，另一個(gè)是內(nèi)在的，
因?yàn)椋ǔ?AC 可能的例外，選擇公理）它們可以被視為
可以從最大迭代概念所體現(xiàn)的集合概念推導(dǎo)出來(lái)。
事實(shí)上，比 ZFC 多一點(diǎn)點(diǎn)在本質(zhì)上甚至是基礎(chǔ)上都是合理的。我這里指的是反射原理及其相關(guān)的小大
基數(shù)，也可以通過(guò)最大迭代概念推導(dǎo)出來(lái)
高度（序數(shù)）最大值，并且至少在不可訪問(wèn)基數(shù)的情況下，是
有時(shí)對(duì)于某些類型的高度抽象數(shù)學(xué)（例如格羅騰迪克宇宙）的發(fā)展很有用。ZFC 的這些擴(kuò)展在以下方面是溫和的：
感覺(jué)它們與冪集極小性原理 V = L 兼容。
但找到與 V = L 相矛盾的公理真實(shí)性的有力證據(jù)已經(jīng)
非常困難。有許多的原因。其一是
卷。\j卷號(hào) \j編號(hào) \jyear
IFCoLog 邏輯雜志及其應(yīng)用
弗里德曼
事實(shí)上，ZFC 的溫和擴(kuò)展在某種意義上來(lái)說(shuō)太好了，因?yàn)樗鼈儐为?dú)
直到最近已經(jīng)足以滿足集合論作為基礎(chǔ)的需要
對(duì)于數(shù)學(xué)。另一個(gè)是從最大的壓力中榨取更多的困難
通過(guò)高度的寬度（冪集）最大值模擬的迭代概念
引發(fā)反思的最大化原則。以及集合論的發(fā)展
作為數(shù)學(xué)的一個(gè)分支，它是如此引人注目、多樣化和不斷變化，以至于
不可能選擇那些對(duì)這個(gè)主題的觀點(diǎn)
新公理堪稱“最真”。
我寫這篇文章的目的是為以下三個(gè)預(yù)測(cè)提供證據(jù)。
集合論實(shí)踐的豐富性。集合論作為一個(gè)分支的發(fā)展
數(shù)學(xué)知識(shí)如此豐富，以至于對(duì)于哪一個(gè)一階數(shù)學(xué)永遠(yuǎn)不會(huì)達(dá)成共識(shí)
公理（除了 ZFC 加上小大基數(shù)）最適合這種發(fā)展。
基本需求。正如 AC 現(xiàn)在因其在數(shù)學(xué)實(shí)踐中的重要作用而被接受一樣，對(duì)數(shù)學(xué)獨(dú)立性結(jié)果的系統(tǒng)研究
將發(fā)現(xiàn)與 CH 相矛盾的一階語(yǔ)句（因此也 V = L），其中
最適合解決這種獨(dú)立性問(wèn)題。
最優(yōu)極大性準(zhǔn)則。通過(guò)超宇宙計(jì)劃，它將
有可能得出表達(dá)最大值的最優(yōu)非一階公理
集合論宇宙的高度和寬度；該公理將具有一階
結(jié)果與 CH 相矛盾（因此 V = L）。
作為這三個(gè)預(yù)測(cè)的綜合，我提出以下樂(lè)觀的預(yù)測(cè)
集合論真理研究取得進(jìn)展的情景。
集合論真理論文。將存在集合論的一階陳述
很好地滿足了集合論實(shí)踐和解決跨領(lǐng)域獨(dú)立性的需求
數(shù)學(xué)，可導(dǎo)1
從集合論的極大值
宇宙的高度和寬度。此類陳述將被視為真實(shí)
集合論的陳述。
本論文有一個(gè)反面：為了使一階陳述與
V = L 被認(rèn)為是正確的，在我看來(lái)，它必須很好地滿足集合論實(shí)踐和解決數(shù)學(xué)獨(dú)立性的需要，并且它必須滿足
至少與所表達(dá)的集合論宇宙的極大性相容
1 有關(guān)可導(dǎo)性概念的討論，請(qǐng)參見(jiàn)最后的第 4.12 小節(jié)。
超宇宙計(jì)劃
通過(guò)最優(yōu)極大值準(zhǔn)則。事實(shí)上，這種證據(jù)的強(qiáng)度
在我看來(lái)，一個(gè)陳述的真實(shí)性是通過(guò)它滿足這些條件的程度來(lái)衡量的
三個(gè)要求。
該論文的一個(gè)重要后果是CH的失敗。因此我的一部分
預(yù)測(cè)是CH將被視為錯(cuò)誤。
請(qǐng)注意，在論文中我沒(méi)有提到真正的一階公理，而只是提到真正的一階公理
一階語(yǔ)句。原因是以下附加主張。
超越一階。對(duì)于提議的真實(shí)性永遠(yuǎn)不會(huì)達(dá)成共識(shí)
與 V = L 相矛盾的一階公理；相反，真正的一階語(yǔ)句將
僅作為真正的非一階公理的結(jié)果而出現(xiàn)。
這種說(shuō)法的一個(gè)原因是一階語(yǔ)句不足以捕獲
集合論宇宙的極大性。
本文的計(jì)劃如下。首先，我將回顧一些流行的一階公理，它們很好地滿足了集合論實(shí)踐的需要，并論證了
上面的豐富度預(yù)測(cè)。其次，我將討論關(guān)于數(shù)學(xué)獨(dú)立性的鮮為人知的知識(shí)，討論強(qiáng)制公理作為證明數(shù)學(xué)獨(dú)立性的證據(jù)的作用
上面的基礎(chǔ)預(yù)測(cè)。到目前為止，本文的主要目標(biāo)是
是第三部分，我在其中介紹了超宇宙計(jì)劃，包括它的
哲學(xué)基礎(chǔ)和最新的數(shù)學(xué)發(fā)展。
2 集合論實(shí)踐
集合論是一門新興學(xué)科，充滿了新思想和新發(fā)展，
不斷帶來(lái)新的視角。當(dāng)然，這些觀點(diǎn)中的某些觀點(diǎn)是站得住腳的
從眾多正在被證明的新結(jié)果中脫穎而出，值得關(guān)注
其中一些揭示了確定特定新公理的困難
“真實(shí)的人”。
我強(qiáng)調(diào)需要找到與 V = L 相矛盾的公理的真實(shí)性的證據(jù)，但純粹是從公理對(duì)于發(fā)展
好的集合論，我將其稱為第一類證據(jù)，這是不可能的。詹森的
深入研究揭示了該公理的力量，揭示了 V = L 的力量，確實(shí)如此
當(dāng)與小大基數(shù)結(jié)合時(shí)，似乎給我們提供了一個(gè)對(duì)于所有自然集合論陳述來(lái)說(shuō)都是完整的理論！這是一項(xiàng)了不起的成就
很有說(shuō)服力地支持基于第 1 類證據(jù)宣布 V = L 為真。
弗里德曼
對(duì) V = L 的第 1 類自然反對(duì)意見(jiàn)是它沒(méi)有考慮強(qiáng)迫，
建立集合論新模型的基本方法。誠(chéng)然，即使在L
可以強(qiáng)制擴(kuò)展可數(shù)模型，但強(qiáng)制擴(kuò)展更為自然
完整的 L 而不僅僅是其中的一小部分。所以現(xiàn)在我們矛盾 V = L
支持“V 包含 L 的許多通用擴(kuò)展”或類似的內(nèi)容。
L 的大量強(qiáng)制擴(kuò)展聽起來(lái)不錯(cuò)，但是我們的規(guī)范是什么
現(xiàn)在宇宙？難道我們不應(yīng)該有一個(gè)只在 V 中為真的句子，而不是
在其任何適當(dāng)?shù)膬?nèi)部模型中，同時(shí)具有許多通用的
L 的擴(kuò)展？事實(shí)上，通過(guò)類強(qiáng)制這是可能的（參見(jiàn)[11]）。所以現(xiàn)在我們
有一個(gè)很好的 1 型公理：V 是一個(gè)規(guī)范宇宙，它是 L 上的類通用的，
包含 L 的許多集合通用擴(kuò)展。這是一個(gè)很好的上下文
集合論，因?yàn)楝F(xiàn)在可以使用強(qiáng)制方法。
事實(shí)上我們可以做得更好，將 V 設(shè)為 L[0#]。這個(gè)模型不僅
包含 L 的許多通用擴(kuò)展，它也是一個(gè)規(guī)范宇宙，我們恢復(fù)
Jensen 在 V = L 下開發(fā)的所有強(qiáng)大方法，現(xiàn)在相對(duì)化為
真正的0#。因此，我們的 1 類證據(jù)引導(dǎo)我們得出極好的公理 V = L[0#]。
異議！可測(cè)基數(shù)又如何呢？回憶一下重要的層次結(jié)構(gòu)
一致性優(yōu)勢(shì)：自然理論是井然有序的（達(dá)到雙向可解釋性）
通過(guò)它們的一致性強(qiáng)度和大基數(shù)公理的一致性強(qiáng)度
提供了一個(gè)很好的一致性強(qiáng)度集合，它在一個(gè)大的初始中是共同的
該層次結(jié)構(gòu)的一部分（如果不是全部）。這并不意味著大紅衣主教
必須存在，但至少應(yīng)該有包含它們的內(nèi)部模型。所以現(xiàn)在
基于第一類證據(jù)，我們得到了一些版本的“存在具有大的內(nèi)部模型”
紅衣主教”，這是一個(gè)進(jìn)行良好集合論的有吸引力的環(huán)境。
此外，請(qǐng)注意，如果我們有大基數(shù)的內(nèi)部模型，我們就不會(huì)丟失
查看 L 或其通用擴(kuò)展的選項(xiàng)，它們?nèi)匀豢捎米鲀?nèi)部
楷模。所以我們似乎已經(jīng)達(dá)到了迄今為止最好的 1 類公理。
但我們還可以要求更多?；叵胍幌?，L 有一個(gè)很好的內(nèi)部結(jié)構(gòu)，非常
對(duì)于導(dǎo)出 V = L 的結(jié)果非常有用。V 不僅可以有內(nèi)部模型嗎
對(duì)于大紅衣主教還有L型內(nèi)部結(jié)構(gòu)？答案當(dāng)然是
積極的，因?yàn)槲覀兛梢圆捎霉怼按嬖诰哂写蠡鶖?shù)的內(nèi)部模型
對(duì)于某個(gè)實(shí)數(shù) x，V = L[x]”。[14] 中提供了更好的答案，其中顯示了
V 可以與任意大基數(shù)一起呈 L 型，不僅在內(nèi)部模型中
但在V本身。然而，盡管這聽起來(lái)很有吸引力，但它未能解決一個(gè)關(guān)鍵問(wèn)題
超宇宙計(jì)劃
問(wèn)題，這就是我們看到集合論的多個(gè)視角的地方，
單一觀點(diǎn)自稱是“最好的”。
即使我們產(chǎn)生了一個(gè)很好的公理2，其形式為“有大基數(shù)和 V
是 L 的規(guī)范概括”，這樣做使我們進(jìn)入一個(gè)類似 L 的環(huán)境
哪個(gè)做集合論。事實(shí)上，集合論還有其他令人信服的觀點(diǎn)
這導(dǎo)致我們進(jìn)入非 L 類環(huán)境，并相應(yīng)地進(jìn)入完全不同的環(huán)境
類型 1 公理。我會(huì)提到其中兩個(gè)。（有關(guān)概念的更多信息
下面提到的可在[22]中找到）。
強(qiáng)制公理有著悠久的歷史，可以追溯到馬丁公理（MA），
其特殊情況斷言存在 ccc 偏序的泛型（即
僅具有可數(shù)反鏈的偏序）超過(guò)大小為 ?1 的模型。這個(gè)簡(jiǎn)單的
公理可用于一次性建立大范圍的相對(duì)一致性
集合論陳述。自然有人對(duì)加強(qiáng)
MA，一種流行的公理是適當(dāng)?shù)膹?qiáng)制公理 (PFA)，它強(qiáng)化了這一點(diǎn)3
到更廣泛的真偏序類。
現(xiàn)在關(guān)于 1 類證據(jù)，重點(diǎn)是 PFA 具有更引人注目的證據(jù)
其后果比 MA 更重要，使其成為解決問(wèn)題的核心和重要工具
集合論中的組合問(wèn)題?？梢杂脧?qiáng)有力的案例證明其真相
基于類型 1 證據(jù)。但當(dāng)然 PFA 與任何公理相沖突
斷言 V 是類似 L 的，因?yàn)樗馕吨?CH 的否定。事實(shí)上 PFA 意味著
連續(xù)體的大小為 ?2。
1 類證據(jù)的多樣性不僅僅是 L 相似性和強(qiáng)制公理；
還有一些基本特征。這些都是自然的且經(jīng)過(guò)大量研究的
研究可定義性理論和組合時(shí)出現(xiàn)的基數(shù)
實(shí)數(shù)集的性質(zhì)。這些基本特征中的每一個(gè)都是不可數(shù)的基數(shù)，其大小至多是連續(xù)體?，F(xiàn)在考慮到各種
這些特征以及它們可以始終不同于每個(gè)特征的事實(shí)
另外，采用基本特征提供的公理不是很引人注目嗎？
一系列低于連續(xù)統(tǒng)大小的不同不可數(shù)基數(shù)
因此，連續(xù)統(tǒng)確實(shí)相當(dāng)大，這與 L 相似性相矛盾
并強(qiáng)制公理？4
2Woodin 事實(shí)上提出了這樣一個(gè)公理，他稱之為 Ultimate L。
3對(duì)于專家來(lái)說(shuō)，要獲得 PFA，必須允許大小為 ?1 的非傳遞模型。
4 作為一個(gè)具體示例，讓 a 表示無(wú)限幾乎不相交的子集族的最小大小
ω 和 b (d) 從 ω 到 ω 有序的無(wú)界（主導(dǎo)）函數(shù)族的最小尺寸
通過(guò)最終的統(tǒng)治。那么 b < a < d 是一致的；事實(shí)上不應(yīng)該是這樣嗎？
弗里德曼
因此，我們擁有三種不同類型的公理，并且具有出色的 1 類證據(jù)：
與大基數(shù)、強(qiáng)制公理和基數(shù)特征公理的 L 相似性。
它們相互矛盾，但又都與內(nèi)部模型的存在相一致
對(duì)于其他人。在我看來(lái)，這清楚地表明第一類證據(jù)不足
確立集合論公理的真實(shí)性；也不足以決定是否
或不 CH 為真。
3 集合論作為數(shù)學(xué)基礎(chǔ)
當(dāng)然，我們可以衷心祝賀公理集合論成功地為數(shù)學(xué)提供了基礎(chǔ)。一個(gè)壓倒性的案例可以證明
當(dāng)定理在數(shù)學(xué)中被證明時(shí)，它們可以被視為一個(gè)定理
ZFC 的輕度擴(kuò)展（與 V = L 兼容）。特別是，我們通常期望
數(shù)學(xué)問(wèn)題可以用溫和的方式回答（也許有很大的困難！）
ZFC 的擴(kuò)展。
結(jié)果是，這種溫和擴(kuò)展的獨(dú)立結(jié)果確實(shí)是
整個(gè)數(shù)學(xué)的獨(dú)立結(jié)果。這當(dāng)然是小事
如果所討論的獨(dú)立性結(jié)果是集合論的陳述，那么重要性，如集合
理論只是數(shù)學(xué)的一小部分。但這非常重要
當(dāng)集合論之外的數(shù)學(xué)問(wèn)題出現(xiàn)獨(dú)立性時(shí)，如
博雷爾、卡普蘭斯基和懷特海測(cè)度猜想就是這種情況
理論、泛函分析和群論。讓我們不要忘記
偉大數(shù)學(xué)家大衛(wèi)·希爾伯特的論文認(rèn)為數(shù)學(xué)問(wèn)題可以
使用該主題的強(qiáng)大工具來(lái)解決。了解如何處理
恢復(fù)數(shù)學(xué)作為完整學(xué)科的地位需要獨(dú)立性
以及希爾伯特設(shè)想的明確的研究領(lǐng)域。
集合論學(xué)家關(guān)注這個(gè)問(wèn)題的時(shí)機(jī)已經(jīng)成熟。中心問(wèn)題
是：
基礎(chǔ)或類型 2 證據(jù)：是否存在集合論的特定公理
最能滿足解決數(shù)學(xué)其他領(lǐng)域獨(dú)立性的需求？
最近有跡象表明這個(gè)問(wèn)題正在出現(xiàn)積極的答案，
集合論在泛函分析、拓?fù)洹⒊橄蟠鷶?shù)和
模型論（邏輯領(lǐng)域，但仍在集合論之外）正在被發(fā)現(xiàn)。這
我之前表達(dá)的基本需求正是對(duì)一種模式的預(yù)測(cè)
將從這些應(yīng)用中出現(xiàn)，揭示集合論的特定公理
超宇宙計(jì)劃
最適合使集合論更接近希爾伯特的完整基礎(chǔ)
希望。
現(xiàn)在這些集合論的基本優(yōu)勢(shì)公理在哪里？
成立？考慮以下具有良好 1 類證據(jù)的候選人列表：
V = L
V 是 L 的規(guī)范且豐富的類通用擴(kuò)展
大基本公理（如超緊湊公理）
強(qiáng)制公理，如 MA、PFA
L(R) 中的 AD 等確定性公理
基本特征公理如 b < a < d
正如已經(jīng)說(shuō)過(guò)的，這些公理中的每一個(gè)對(duì)于集合的發(fā)展都很重要
理論，為該主題提供獨(dú)特的視角。但也許令人驚訝的是
發(fā)現(xiàn)其中只有兩個(gè)，V = L 和強(qiáng)制公理，有任何顯著的意義
對(duì)集合論之外的數(shù)學(xué)的影響！大基本公理的影響
（如超級(jí)緊湊）和基本特征公理已經(jīng)是最小的，并且
到目前為止，確定性公理還不存在。
為了提供更多細(xì)節(jié)，V = L 和強(qiáng)制公理都可以用來(lái)回答
以下問(wèn)題（以不同方式）：
泛函分析：必須來(lái)自 C(X)、X 緊湊 Hausdorff 的每個(gè)同態(tài)，
進(jìn)入另一個(gè)巴拿赫代數(shù)是連續(xù)的（卡普蘭斯基問(wèn)題）？是理想的
所有有界算子環(huán)中的可分離希爾伯特空間上的緊算子
兩個(gè)較小理想的總和？；卡爾金代數(shù)的所有自同構(gòu)都是內(nèi)自同構(gòu)嗎？
拓?fù)渑c測(cè)度論：每個(gè)正規(guī)摩爾空間都是可度量的嗎？是
有 S 空間（常規(guī)的、遺傳性可分離的空間，其中一些開放的蓋子沒(méi)有
可數(shù)子覆蓋）？每個(gè)強(qiáng)測(cè)度 0 組實(shí)數(shù)是否可數(shù)（Borel
推測(cè)）？
抽象代數(shù)：每個(gè)懷特海群都是自由的（懷特海問(wèn)題）嗎？什么
是 R(x, y, z) 作為 R[x, y, z] 模的同調(diào)維數(shù)，其中 R 是
實(shí)數(shù)域？無(wú)數(shù)領(lǐng)域的直接產(chǎn)物是否具有全球性
維度 2？
人們還可以提到模型理論領(lǐng)域（邏輯的一部分，但不是邏輯的一部分）
集合論），其中集合論的新公理可能在
弗里德曼
研究抽象基本類的莫利定理，甚至可能在
沃特猜想的解決。
我的預(yù)測(cè)是 V = L 和 Forcing Axioms 將是明確的贏家
解決數(shù)學(xué)獨(dú)立性的集合論公理的選擇
作為一個(gè)整體。但由于 V = L 與集合論的極大值相沖突
宇宙的寬度，它不適合作為集合論命題的實(shí)現(xiàn)
事實(shí)證明，F(xiàn)orcing Axioms 是當(dāng)前的主要候選者。
4 集合論宇宙的極大性和
惠普
字母 HP 代表超宇宙計(jì)劃，我現(xiàn)在在
細(xì)節(jié)。
4.1 集合的迭代概念
正如哥德爾所說(shuō)，集合的迭代概念表達(dá)了這樣的想法：集合是通過(guò)冪集的迭代應(yīng)用從明確定義的對(duì)象中獲得的東西
手術(shù)。更詳細(xì)地（遵循 Boolos [7]；另請(qǐng)參閱 [27]）：集合形成于
階段，其中僅在階段 0 和任何更大的階段形成空集
小于 0，1 形成早期階段形成的集合的集合。（這樣說(shuō)，
集合在最初形成之后的每個(gè)階段都會(huì)重新形成，但這沒(méi)關(guān)系。）
任何集合都是在其元素形成之后的某個(gè)最低階段形成的。這
概念排除異常：我們不能有 x ∈ x，不存在所有集合的集合，
不存在循環(huán) x0 ∈ x1 ε · · · ε xn ε x0 并且不存在無(wú)限序列
···ε xn ε xn?1 ε xn?2 ε ··· ε x1 ε x0，因?yàn)楸仨毚嬖谥辽僖粋€(gè)階段
xn 之一已形成。我們假設(shè)有無(wú)限個(gè)集合5
，所以迭代
過(guò)程導(dǎo)致極限階段 ω，它不為 0，也不是后繼階段。
迭代概念得出集合的宇宙是公理的模型
Zermelo 集合論，即無(wú)替換且無(wú)以下公理的 ZFC
選擇。該理論的標(biāo)準(zhǔn)模型是Vω+ω。
盡管如此，替換和 AC（選擇公理）作為一部分包含在內(nèi)
出于非常不同的原因，集合論的標(biāo)準(zhǔn)公理。交流案例
通常是基于外在理由，引用其對(duì)發(fā)展的成果
5 一旦我們將極大性添加到迭代概念中，這就是可推導(dǎo)的，但很方便
假設(shè)已經(jīng)作為迭代概念的一部分。
超宇宙計(jì)劃
數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)及其相應(yīng)的集合論作為基礎(chǔ)的必要性
數(shù)學(xué)（我稱之為第二類證據(jù)的一個(gè)例子）。我不清楚
選擇源自迭代概念，也源自其必要性
做得很好集合論（第一類證據(jù)）。
另一方面，替換可以從集合的概念中推導(dǎo)出來(lái)。查看
為此，我們需要將迭代概念擴(kuò)展到更強(qiáng)的最大迭代
概念，也隱含在集合概念中。
4.2 極大性和迭代概念
術(shù)語(yǔ)“最大值”在集合論中有許多不同的含義，我在
這里的思維是與迭代概念（IC）相關(guān)的一個(gè)非常具體的用途。記起
根據(jù) IC，集合出現(xiàn)在由序數(shù)索引的級(jí)別內(nèi)，
其中每個(gè)后繼級(jí)別 Vα+1 是前一個(gè)級(jí)別的冪集。正如布洛斯解釋的那樣，
IC 本身并不能說(shuō)明有多少層（宇宙的高度）
V ）或各個(gè)級(jí)別的厚度（V 的寬度）。不過(guò)一般都是這樣
被視為隱含在集合概念中，這兩者都應(yīng)該是最大的：
高度（或序數(shù)）最大值：宇宙 V 盡可能高，即
序數(shù)序列盡可能長(zhǎng)。
寬度（或冪集）最大值：宇宙 V 盡可能寬（或厚），
即每組的冪集盡可能大。
如果我們將 IC 與最大值結(jié)合起來(lái)，我們就會(huì)得到 MIC，即最大迭代概念，也是集合概念的一部分，但解釋起來(lái)更具挑戰(zhàn)性
簡(jiǎn)單的IC。
很自然地看到最大化的比較方面，即與
可能意味著在可能性范圍內(nèi)盡可能大。于是自然而然
解釋高度和寬度最大值的方法是將 V 與其他可能的進(jìn)行比較
宇宙。
但現(xiàn)在我們面臨著一個(gè)嚴(yán)重的問(wèn)題。如果 V 是所有集合的固定宇宙，那么
除了 V 中已經(jīng)包含的宇宙之外，沒(méi)有其他宇宙。換句話說(shuō)，V 是
默認(rèn)情況下是最大值，因?yàn)闆](méi)有其他宇宙可以威脅其最大值，因此
對(duì)于這個(gè)概念，我們能說(shuō)的有限。
弗里德曼
我暫時(shí)推遲這個(gè)問(wèn)題，轉(zhuǎn)而討論一個(gè)更簡(jiǎn)單的問(wèn)題：讓 M
表示 ZFC (ctm) 的可數(shù)傳遞模型。這句話是什么意思
M 最大？
現(xiàn)在我們有一個(gè)不同的問(wèn)題。表達(dá)最大化的自然方式
M的意思是說(shuō)M不能擴(kuò)展到更大的宇宙。讓我們稱之為
結(jié)構(gòu)最大化。但在一個(gè)非常溫和的假設(shè)下（有一個(gè)集合模型
ZFC 包含所有實(shí)數(shù)）這是不可能的：任何 ctm M 都是一個(gè)元素（并且
因此是更大 ctm 的真子集）。
因此，我們轉(zhuǎn)向一種更溫和的最大化形式，稱為句法最大化，
表達(dá)如下。
在（句法）高度最大值的情況下，我們考慮 M 的延長(zhǎng)，即
ctm 的 M*，其中 M 是等級(jí)初始段（M 的序數(shù)形成初始序列）
M* 的序數(shù)段和這兩個(gè)宇宙的冪集運(yùn)算
同意 M) 中的集合。
在寬度最大的情況下，我們考慮 M 的加厚，即 ctm 的 M*
其中 M 是內(nèi)部模型（M 和 M* 具有相同的序數(shù)，并且 M 包含在內(nèi)）
單位：M*
).
通過(guò)這種方式，我們可以生成高度最大值和寬度最大值的形式
ctm如下。
如果 M 是高度最大，那么 M 的屬性也具有某些排名初始
M 的片段。這是反射的典型表述。（但是我們會(huì)看到
高度最大值比反射更強(qiáng)。）當(dāng)然具體實(shí)現(xiàn)
高度最大值必須指定要考慮哪些屬性。
如果 M 是寬度最大，那么 M 的加厚屬性也適用于一些
M 的內(nèi)部模型。對(duì)于一階屬性，這稱為內(nèi)部模型
假設(shè)，或IMH（在[12]中介紹）。
上述關(guān)于 ctm 最大值的討論雖然簡(jiǎn)短，但足以滿足
制定惠普戰(zhàn)略。
現(xiàn)在我們回到 V 的極大值問(wèn)題。以上討論可以嗎
對(duì)于 ctm 也適用于 V ？談?wù)撗娱L(zhǎng)和延長(zhǎng)是否有意義？
V 的增厚是否像我們談?wù)?ctm 時(shí)那樣？存在以下差異
對(duì)此的看法，我接下來(lái)會(huì)討論。
超宇宙計(jì)劃
4.3 現(xiàn)實(shí)主義與潛力主義
回想一下，在 IC 中，我們通過(guò)迭代過(guò)程描述 V，即集合的宇宙
powerset 操作。這個(gè)過(guò)程是否結(jié)束，或者是無(wú)限期的，
總是可以進(jìn)一步擴(kuò)展到更長(zhǎng)的迭代？前一種可能性，即有
是迭代過(guò)程的“限制”被稱為高度現(xiàn)實(shí)主義，后者
這種觀點(diǎn)稱為高度勢(shì)能論。類似地，還有一個(gè)確定性問(wèn)題
冪集運(yùn)算：對(duì)于給定的集合，其冪集是確定的還是總是
可以通過(guò)添加更多子集來(lái)進(jìn)一步擴(kuò)展它嗎？前者稱為寬度
現(xiàn)實(shí)主義和后者的寬度勢(shì)能主義。
關(guān)于這個(gè)主題有大量文獻(xiàn) ([4, 19, 20, 21, 23, 24, 25, 26, 29, 31, 32])。
但由于超宇宙計(jì)劃在本體的選擇上非常靈活，
我們不會(huì)在這里對(duì)現(xiàn)實(shí)主義/潛力主義辯論進(jìn)行冗長(zhǎng)的討論，
但僅提及支持澤爾梅利安觀點(diǎn)的一些觀點(diǎn)，將高度潛力論與寬度現(xiàn)實(shí)主義相結(jié)合，我們選擇采用這種觀點(diǎn)進(jìn)行分析
通過(guò) HP 實(shí)現(xiàn)最大化。
我們可以將情況總結(jié)如下。毫無(wú)困難，高度勢(shì)能論有助于對(duì)高度最大值的分析。令人驚訝的是，我們將證明
即使具有寬度現(xiàn)實(shí)主義，它也有助于使用 V 邏輯方法對(duì)寬度最大值進(jìn)行分析。身高潛力論的另一個(gè)好處是我們可以
將 V 最大值的研究減少為 ctm's6 最大值的研究
。我們的
論證還表明，高度現(xiàn)實(shí)主義對(duì)于我們對(duì)寬度最大值的分析是可行的，只要它通過(guò)足夠強(qiáng)大的 MK 片段得到增強(qiáng)（莫爾斯-凱利
階級(jí)理論；只需要 Σ1
1
理解）。因此，HP 唯一有問(wèn)題的本體論是僅由弱階級(jí)理論支持的高度現(xiàn)實(shí)主義；否則
本體的選擇對(duì)于 HP 來(lái)說(shuō)并不重要（盡管該程序開發(fā)
寬度潛能論與寬度現(xiàn)實(shí)主義略有不同）7
.
我現(xiàn)在將提出杰弗里·赫爾曼 (Geoffrey Hellman) 的一些論點(diǎn)（[33]
8
）贊成
6 ctm 的集合稱為超宇宙；因此我們得出了超宇宙計(jì)劃。
7 僅使用 GB（哥德爾-伯內(nèi)斯）的高度現(xiàn)實(shí)主義似乎不足以對(duì)
最大化。一位裁判向我們介紹了不可知論柏拉圖主義，該觀點(diǎn)認(rèn)為所有集合都存在一個(gè)明確確定的宇宙 V，但沒(méi)有對(duì) ZFC 是否成立持立場(chǎng)。但
由于這種觀點(diǎn)允許僅用 GB 實(shí)現(xiàn)高度現(xiàn)實(shí)主義的可能性，因此對(duì)于
惠普。
8這些評(píng)論是在眾多集合論學(xué)家和學(xué)者之間活躍的電子郵件交流中做出的。
從 2014 年 8 月到 11 月，我對(duì)集合論哲學(xué)家的研究，是由我對(duì) Sol Feferman 的預(yù)印本《連續(xù)統(tǒng)假設(shè)》既不是一個(gè)確定的數(shù)學(xué)問(wèn)題，也不是一個(gè)確定的數(shù)學(xué)問(wèn)題的回應(yīng)所引發(fā)。
邏輯問(wèn)題。部分討論記錄在 <http://logic.harvard.edu/blog/?cat=2> 中，
但遺憾的是赫爾曼的評(píng)論沒(méi)有出現(xiàn)在那里。
弗里德曼
高度勢(shì)能主義和寬度現(xiàn)實(shí)主義，澤爾梅利安的觀點(diǎn)。赫爾曼 說(shuō)：
“任何集合的宇宙都可以適當(dāng)擴(kuò)展的想法（在高度上，而不是在
width）是非常自然的，得到了許多數(shù)學(xué)家的認(rèn)可（例如MacLane，
似乎是哥德爾等人提出的。al.) ...正如麥迪和其他人所說(shuō)，如果有可能的話
超出某個(gè)（假定最大）水平的集合存在，那么它們確實(shí)存在......因此，
如果 V 的“可想象”（最終）擴(kuò)展不是不連貫的，那么它們是可能的，
然后，根據(jù)現(xiàn)實(shí)主義者、柏拉圖主義者的解讀，它們是真實(shí)的，而 V 并不是真的
畢竟是最大的。...這樣的擴(kuò)展總是可能的，因此 a 的概念
單一固定的、絕對(duì)最大的集合宇宙 V 實(shí)際上是一個(gè)不連貫的概念。”
然后再次：
“我不知道‘盡可能高’意味著什么，因?yàn)?/p>
絕對(duì)不能在邏輯上擴(kuò)展的集合域的概念似乎
我語(yǔ)無(wú)倫次（或者至少是空洞的）。正如普特南在他有爭(zhēng)議的論文中所說(shuō)的那樣，
“沒(méi)有基礎(chǔ)的數(shù)學(xué)”（1967），“即使上帝也無(wú)法創(chuàng)造一個(gè)宇宙”
策梅洛提出了不可能擴(kuò)展的理論。我同意，神學(xué)
在旁邊?！?/p>
關(guān)于寬度勢(shì)能論，赫爾曼說(shuō)（[33]）：
“我想，我有一個(gè)關(guān)于‘盡可能厚’的好主意，因?yàn)?/p>
給定集合的完整冪集對(duì)我來(lái)說(shuō)非常有意義......授予強(qiáng)制
擴(kuò)展可以被視為累積層次結(jié)構(gòu)的“加厚”，通常如此
描述過(guò)，當(dāng)我們斷言標(biāo)準(zhǔn)冪集公理時(shí)，我們隱式地構(gòu)建了
二價(jià)，即 x 屬于 y 或不屬于 y，即我們實(shí)際上在裁決
強(qiáng)制擴(kuò)展或布爾值概括為非標(biāo)準(zhǔn)[我的斜體]，
即‘全功率組’只能以標(biāo)準(zhǔn)方式來(lái)理解?！?/p>
并進(jìn)一步：
“因此，按照我的思維方式，‘所有
序數(shù)' ...和'給定集合的所有子集'。后者“已經(jīng)相對(duì)化了”；那里
“子集”的概念中沒(méi)有隱含任何允許無(wú)限擴(kuò)展的內(nèi)容，所以
只要我們談?wù)摗肮潭ǖ慕o定集合的子集”......相反，“所有序數(shù)”
呼喚相對(duì)化（我在 Zermelo 的 [1930] 中發(fā)現(xiàn)了這一點(diǎn)）；沒(méi)有它，它確實(shí)
通過(guò)我們用來(lái)描述的操作來(lái)允許無(wú)限的可擴(kuò)展性
序數(shù)詞”
超宇宙計(jì)劃
我確實(shí)很欣賞赫爾曼的觀點(diǎn)，并且確實(shí)會(huì)（在很大程度上）采納
本文采用澤爾梅利安的觀點(diǎn)，即高度勢(shì)能主義與寬度現(xiàn)實(shí)主義。
支持這一觀點(diǎn)的另一個(gè)要點(diǎn)是，盡管我們有一個(gè)明確且
通過(guò)迭代過(guò)程生成序數(shù)的連貫方式，有
目前沒(méi)有類似的迭代過(guò)程來(lái)生成越來(lái)越豐富的冪集9
.
鑒于對(duì)高度勢(shì)能論的采用，我現(xiàn)在將使用符號(hào) V
含糊其辭，不是表示所有集合的固定宇宙（它不存在），而是
作為一個(gè)變量，范圍涵蓋澤爾梅爾多重宇宙中的宇宙，其中每個(gè)
宇宙是下一個(gè)等級(jí)的初始部分。
盡管我采用了澤爾梅利安的觀點(diǎn)，但出于說(shuō)明的目的，我也將
考慮一種在高度和寬度上的潛在主義形式，我將其稱為激進(jìn)潛在主義。HP 可以用任一觀點(diǎn)來(lái)運(yùn)行。雖然它是
激進(jìn)勢(shì)能論更簡(jiǎn)單，有一些有趣的問(wèn)題（數(shù)學(xué)
和哲學(xué)），當(dāng)采用澤爾梅利安觀點(diǎn)時(shí)出現(xiàn)，這是值得的
探索。
為了描述激進(jìn)的勢(shì)能論，讓我從不那么激進(jìn)的東西開始，寬度
潛在主義。首先作為動(dòng)機(jī)，考慮柏拉圖主義的觀點(diǎn)，因此 V 是固定的
所有集合的全域，并考慮強(qiáng)制生成泛型集合的方法。如果
M 是一個(gè) ctm，我們可以使用可數(shù)性輕松構(gòu)建 M 的通用擴(kuò)展 M[G]
但當(dāng)然 V 的通用擴(kuò)展 V [G] 不存在，因?yàn)槲覀兊摹罢嬲?V ”有
所有的集合。盡管如此，我們可以在 V 中明確地討論在這樣的情況下什么是真實(shí)的
一個(gè)通用擴(kuò)展，實(shí)際上在 V 中沒(méi)有這樣的擴(kuò)展，通過(guò)構(gòu)造
布爾宇宙 V
V 內(nèi)的 B 并在 V 的一般擴(kuò)展中取真
V 中非零布爾真值的平均值
B. 因此柏拉圖主義的觀點(diǎn)實(shí)際上是
二元論：它允許理解宇宙中的真理（通用
擴(kuò)展）而不允許這些宇宙實(shí)際存在。
寬度勢(shì)能論是一種觀點(diǎn)，在這種觀點(diǎn)中，任何宇宙都可以變厚，同時(shí)保持
相同的序數(shù)，甚至達(dá)到使序數(shù)可數(shù)的程度。因此例如
它允許 V 的通用擴(kuò)展的存在（現(xiàn)在是一個(gè)變量范圍
在所有可能的宇宙的多重宇宙上），這是柏拉圖主義者所禁止的。
因此，對(duì)于 V 的任何序數(shù) α，我們可以將 V 粗化為 α 可數(shù)的全域；
即任何序數(shù)都是潛在可數(shù)的。但這并不意味著每個(gè)序數(shù)
V 在 V 中是可數(shù)的，只有在更大的宇宙中才可數(shù)。所以這個(gè)潛力
可數(shù)性不會(huì)威脅 V 中冪集公理的真實(shí)性。
9但我不能 100% 確定不可能存在這樣一個(gè)類似的迭代過(guò)程，也許
由非常成功的大基數(shù)內(nèi)部模型理論提供。
弗里德曼
現(xiàn)在，激進(jìn)勢(shì)能論實(shí)際上是寬度勢(shì)能論和高度勢(shì)能論的統(tǒng)一。它意味著任何 V（在可能宇宙的多重宇宙中）看起來(lái)都是可數(shù)的
在更大的宇宙中：我們?cè)试SV同時(shí)變長(zhǎng)和變厚。
請(qǐng)注意，即使只是寬度勢(shì)論（允許宇宙變厚）也會(huì)迫使
我們也陷入了高度勢(shì)能主義：如果我們繼續(xù)加厚以使每個(gè)序數(shù)
V 可數(shù)，然后在 Ord(V ) 步驟之后，我們也被迫延長(zhǎng)以達(dá)到
滿足冪集公理的宇宙。在那個(gè)宇宙中，原來(lái)的V看起來(lái)
可數(shù)的。但是我們可以對(duì)這個(gè)新宇宙重復(fù)這個(gè)過(guò)程，直到它也
被認(rèn)為是可數(shù)的。身高潛力論的方面是我們無(wú)法結(jié)束這一切
通過(guò)將我們所有的宇宙結(jié)合起來(lái)進(jìn)行處理，因?yàn)檫@不是一個(gè)模型
ZFC（冪集公理將失敗），因此必須延長(zhǎng)。筆記
再次強(qiáng)調(diào)，V 的潛在可數(shù)性不會(huì)威脅到
V 中 ZFC 的公理。
4.4 高度和代數(shù)的最大值
最大高度分析是 HP 的第一個(gè)重大成功。該程序產(chǎn)生了表達(dá) V 高度最大值的穩(wěn)健原理
它似乎涵蓋了所有先前的高度最大值原則，包括反射，并構(gòu)成了 V 的高度最大值的確定表達(dá)式
數(shù)學(xué)術(shù)語(yǔ)。
對(duì)于我們對(duì)高度最大化的討論，高度潛力論就足夠了（激進(jìn)的
不需要潛在論）。因此我們可以選擇將 V 延長(zhǎng)至
宇宙V
＊ 以 V 作為初始段。當(dāng)然我們也可以考慮
V 的縮寫，用它自己的排名初始段之一替換 V ?，F(xiàn)在就讓我們
利用延長(zhǎng)和縮短來(lái)制定高度最大化原則
對(duì)于 V ，表達(dá)序數(shù)序列盡可能長(zhǎng)的想法。
但在開始分析最大高度之前，我們應(yīng)該注意
以下各項(xiàng)： 沒(méi)有一階語(yǔ)句 phi 足以完全捕獲高度
最大化。這只是因?yàn)?V 中的一階語(yǔ)句 true 將反映
到它的排名初始段之一，然后我們自然地從 phi 引導(dǎo)到
更強(qiáng)的一階陳述“ψ 在 V 和某些傳遞集合模型中都成立
ZFC”。我們還將看到?jīng)]有一階語(yǔ)句足以捕獲寬度
最大化。這是引言中超越一階主張的一個(gè)實(shí)例：
與 V = L 相矛盾的真正的一階陳述僅作為 true 的結(jié)果出現(xiàn)
非一階公理。
但是我們?nèi)绾斡梅且浑A公理捕獲高度最大值呢？我們的確是
超宇宙計(jì)劃
這是通過(guò)對(duì) V 與其延長(zhǎng)之間的關(guān)系進(jìn)行詳細(xì)分析得出的
起酥油。
標(biāo)準(zhǔn) Lévy 反射告訴我們，V 的單個(gè)一階性質(zhì)
參數(shù)將保存在包含這些參數(shù)的某些 Vκ 中。這是很自然的
將其強(qiáng)化為同時(shí)反映 V 的所有一階屬性
一些 Vκ，允許來(lái)自 Vκ 的任意參數(shù)。因此我們將 V 反射為 Vκ
這是 V 的基本子模型。
重復(fù)這個(gè)過(guò)程會(huì)導(dǎo)致我們得到一個(gè)不斷增加的、連續(xù)的序數(shù)序列
（太太
| i < ∞)，其中 ∞ 表示 V 的序數(shù)高度，使得模型 (Vκi
|
i < ∞) 形成 V 的基本子模型的連續(xù)鏈 Vκ0 ? Vκ1 ? · · ·
其并集是 V 的全部。
設(shè) C 為由 κi 組成的真類
的。我們可以應(yīng)用反射
V 和 C 作為附加謂詞來(lái)推斷 (V, C) 的屬性也成立
一些（Vκ，C∩κ）。但 C 的無(wú)界性是 (V, C) 的屬性，所以我們得到
some (Vκ, C ∩ κ) 其中 C ∩ κ 在 κ 中無(wú)界，因此 κ 屬于 C。
推論，V 的屬性實(shí)際上在某些 Vκ 中成立，其中 κ 屬于 C。
方便地用其反證形式來(lái)表達(dá)這一點(diǎn)：如果一個(gè)屬性對(duì)于 Vκ 成立
所有 κ 在 C 中，那么它也對(duì) V 成立。
現(xiàn)在請(qǐng)注意，對(duì)于 C 中的所有 κ，Vκ 可以延長(zhǎng)為基本擴(kuò)展
（即 V ），它是排名初始的段。由反證形式
反思前一段，V本身也有這樣的加長(zhǎng)V
?
.
但這顯然還不是故事的結(jié)局。出于同樣的原因我們也可以
推斷存在這種延長(zhǎng)的連續(xù)遞增序列 V = Vκ∞ ?
在
?
κ∞+1 ? V
?
κ∞+2 ? · · · 序數(shù)的長(zhǎng)度。為了方便表示，我們把
?
并寫成 Wκi
而不是V
?
太太
對(duì)于 ∞ < i 而不是 Vκi
對(duì)于 i ≤ ∞。因此V
等于W∞。
但V的延長(zhǎng)是哪一塔V=Wκ∞?Wκ∞+1?Wκ∞+2?···
我們應(yīng)該考慮嗎？我們能否使這座塔的選擇成為規(guī)范？
考慮整個(gè)序列 Wκ0 ? Wκ1 ? · · · ? V = Wκ∞ ? Wκ∞+1 ?
Wκ∞+2 ?···。直覺(jué)是所有這些模型在以下方面都相似
他們共享相同的一階屬性的感覺(jué)。確實(shí)憑借
事實(shí)上，它們形成了一個(gè)基本鏈，這些模型都滿足相同的一階句子。但同樣本著“相似”的精神，以下幾點(diǎn)應(yīng)該成立：
弗里德曼
對(duì)于 i0 < i1 考慮 (Wκi1
,Wki0
）作為結(jié)構(gòu)（Wκi1
,ε) 與 Wκi0 一起
作為一個(gè)
一元謂詞。那么情況應(yīng)該是任意兩個(gè)這樣的對(duì) (Wκi1
,Wki0
),
(Wkj1
,Wkj0
) （其中 i0 < i1 且 j0 < j1）滿足相同的一階句子，甚至
允許同時(shí)屬于 Wκi0 的參數(shù)
和Wκj0
。將此概括為
三元組、四元組和 n 元組通常會(huì)出現(xiàn)以下情況：
(*) V 出現(xiàn)在連續(xù)的基本鏈中 Wκ0 ? Wκ1 ? · · · ? V = Wκ∞ ?
Wκ∞+1 ? Wκ∞+2 ? ··· 長(zhǎng)度為 ∞ + ∞，其中模型 Wκi
形成一個(gè)強(qiáng)烈不可辨別的鏈，對(duì)于任何 n 和任何兩個(gè)遞增的 n 元組
~i = i0 < i1 < · · · < in?1, ~j = j0 < j1 < · · · < jn?1, 結(jié)構(gòu) W~i =
(Wκin?1
, Wκin?2
,···,Wki0
) 和 W~j
（類似地定義）滿足相同的一階
句子，允許來(lái)自 Wκi0 的參數(shù)
∩Wκj0
.
我們?cè)絹?lái)越接近#一代的理想公理。我們當(dāng)然可以強(qiáng)加
我們的模型鏈上的高階不可辨別性。例如，考慮一對(duì)
型號(hào) Wκ0 = Vκ0
, Wκ1 = Vκ1
。我們可以要求這些模型滿足相同的條件
二階句子；等價(jià)地，我們要求 H(κ
+
0
)
V 和 H(κ
+
1
)
在
滿足
相同的一階句子。但與 H(κ0) 對(duì)一樣
在
,H(k1)
我們會(huì)
想要 H(κ
+
0
)
在
,H(先生
+
1
)
在
滿足帶有參數(shù)的相同一階句子。
我們?cè)撊绾伪硎瞿兀坷?，考慮 κ0，H(κ
+
0
)
在
這是關(guān)于 H(κ0) 的二階
在
; 我們不能簡(jiǎn)單地要求 H(κ
+
0
)
在
ψ(k0) 當(dāng)且僅當(dāng) H(k
+
1
)
V phi(κ0)，因?yàn)?κ0 是 H(κ) 中最大的基數(shù)。
+
0
)
V但不在
H(先生
+
1
)
在
。相反，我們需要將左側(cè)出現(xiàn)的 κ0 替換為
右側(cè)的“相應(yīng)”參數(shù)，即 κ1，導(dǎo)致自然
要求 H(κ
+
0
)
V Φ(κ0) 當(dāng)且僅當(dāng) H(κ
+
1
)
V Φ(κ1)。更一般地說(shuō)，我們應(yīng)該能夠
替換 H(κ
+
0
)
V 由 H(κ 的“相應(yīng)”元素
+
1
)
在
。它
使用嵌入來(lái)解決這個(gè)參數(shù)問(wèn)題是很自然的。
定義1。（參見(jiàn)[10]）
結(jié)構(gòu) N = (N, U) 稱為具有臨界點(diǎn) κ 的 #，或者僅稱為 #，如果
以下保留：
(a) N 是 ZFC?（ZFC 減去冪集）的模型，其中 κ 都是最大的
基本且難以接近。
(b) (N, U) 是可行的（即 x ∩ U ε N 對(duì)于任何 x ε N）。
(c) U 是 (N, U) 中 κ 的正常測(cè)量值。
(d) N 是可迭代的，即所有以 (N, U) 開頭的連續(xù)迭代超冪
有充分根據(jù)，產(chǎn)生迭代（Ni
, Ui) 和 Σ1 基本迭代映射 πij ：
Ni → Nj 其中 (N, U) = (N0, U0)。
我們讓 κi 表示第 i 次迭代 Ni 的最大基數(shù)
.
超宇宙計(jì)劃
如果 N 是 # 并且 λ 是極限序數(shù)，則 LP(Nλ) 表示 (Vκi
)
在
的
對(duì)于 i < λ。（LP代表下部分。）LP(N∞)是ZFC的模型。
定義2.我們說(shuō)ZFC的傳遞模型V是#生成的當(dāng)且僅當(dāng)有
N = (N, U)，a # 迭代 N = N0 → N1 → · · · ，使得 V 等于 LP(N∞)
其中 ∞ 表示 V 的序數(shù)高度。
#- Generation 滿足了我們對(duì)垂直最大化的要求，并對(duì)反思產(chǎn)生了強(qiáng)大的影響。L是#生成的iff 0#存在，所以這個(gè)原理是兼容的
其中 V = L。如果 V 是通過(guò) (N, U) # 生成的，則存在基本嵌入
從 V 到 V 可以通過(guò) (N, U) 迭代進(jìn)行規(guī)范定義：
上面的符號(hào)，來(lái)自 κi 的任何保序映射
到 κi
的延伸到這樣的
一個(gè)基本的嵌入。如果 π : V → V 是任何這樣的嵌入，那么我們不會(huì)得到
只有結(jié)構(gòu) H(κ
+
我
)，對(duì)于所有 i 以及結(jié)構(gòu)
H(先生
+a
我
) 對(duì)于任何 α < κ0 及以上。此外，#一代顯然提供了
最大垂直反射量：如果 V 由 (N, U) 生成為 LP(N∞)
其中 ∞ 是 V 的序數(shù)高度，x 是進(jìn)一步迭代中的任何參數(shù)
在
(N, U) 的 ? = N∞*，則任意一階性質(zhì) ψ(V, x) 在 V 中成立
?
反映
至 ψ(Vκi
對(duì)于所有足夠大的 i < j < ∞，Nj 中的 , x ? ) ，其中 πj, ∞ ? ? ? ) = x。這意味著任何已知形式的垂直反射并總結(jié)了反射量
假設(shè)0#存在，L中的反射量最大
L 中的這一點(diǎn)通過(guò)詹森 # 生成的編碼定理（定理 9.1. 的
[6]）其中指出，如果 V 是 # 生成的，則 V 可以編碼為 # 生成的
模型 L[x] 對(duì)于實(shí)數(shù) x，其中生成 V 的給定 # 擴(kuò)展到自然數(shù)
發(fā)電機(jī) x
# 模型 L[x]。
由此我們可以得出結(jié)論，#生成的模型具有相同的大基數(shù)
和當(dāng) 0# 存在時(shí) L 的反射屬性。
#- Generation 還回答了我們的問(wèn)題，即在反射中查看 V 延長(zhǎng)的哪個(gè)規(guī)范塔，即迭代的更下部部分
任何生成 V 的 # 。這座加長(zhǎng)塔與選擇無(wú)關(guān)
為 V 生成 #，因此完全規(guī)范。和#代完全
認(rèn)識(shí)到 V 應(yīng)該看起來(lái)與它的許多階的無(wú)限閉合完全一樣
初始片段及其任意序數(shù)高度的規(guī)范延長(zhǎng)。
總之，#- Generation 脫穎而出，是高度最大化原則的正確形式化，我們將 #-生成的模型稱為最大
在高度上。它不是一階的（我們認(rèn)為沒(méi)有最佳高度最大值
弗里德曼
原理可以是），但是它是二階的，但方式非常受限制：對(duì)于可數(shù) V ，作為生成 V 的 # 的屬性可以通過(guò)量化來(lái)表達(dá)
普遍適用于模型 Lα(V )，因?yàn)?α 范圍涵蓋可數(shù)序數(shù)。
4.5 寬度最大值和IMH
而在高度極大的情況下，我們可以使用高度勢(shì)能論（即
將 V 延長(zhǎng)到更高宇宙的選項(xiàng)）以達(dá)到最佳原則，
寬度最大的情況具有非常不同的性質(zhì)。與身高不同
最大值，我們會(huì)看到寬度最大值有許多不同的標(biāo)準(zhǔn)
并且不會(huì)輕易得出最優(yōu)標(biāo)準(zhǔn)。此外，為了獲得一個(gè)公平的畫面
高度和寬度都最大化，需要綜合或統(tǒng)一寬度
具有 #- Generation 的最大值標(biāo)準(zhǔn)，最佳高度最大值標(biāo)準(zhǔn)。
徹底分析不同可能的寬度最大值標(biāo)準(zhǔn)及其
與 # 代的綜合，旨在達(dá)到最佳標(biāo)準(zhǔn)，
是超宇宙計(jì)劃的主要目標(biāo)。
我將從激進(jìn)勢(shì)能論背景下討論寬度極大性開始，因?yàn)檫@提供了比澤爾梅利安觀點(diǎn)提供的理論更簡(jiǎn)單的理論。
因此，我們使用符號(hào) V 作為變量，其范圍不超過(guò)澤爾梅爾多元宇宙（其中宇宙按等級(jí)初始段的關(guān)系排序），但
超越激進(jìn)勢(shì)能主義提供的豐富多元宇宙的元素，其中每個(gè)元素
宇宙是潛在可數(shù)的。我們從基礎(chǔ)開始：
內(nèi)部模型假設(shè)（IMH，[12]）如果一個(gè)一階句子在某些外部成立
V 的模型，那么它在 V 的某個(gè)內(nèi)部模型中成立。
對(duì)于當(dāng)前的演示，我們可以將外部模型表示為傳遞集
在
?
包含 V ，與 V 具有相同的序數(shù)，滿足 ZFC。內(nèi)部模型
本演示中是 V 的 V 可定義子類，其序數(shù)與 V 相同，其中
滿足ZFC。根據(jù)激進(jìn)勢(shì)能論，ZFC 的任何傳遞模型都是可數(shù)的
一個(gè)更大的這樣的模型，從中我們可以推斷出存在豐富的集合
V 的外部模型。
#代的一致性源自0#的存在。但是IMH的一致性，即存在滿足IMH的宇宙V的斷言，
需要更多。
IMH 的一致性
超宇宙計(jì)劃
定理 3. ([18]) 假設(shè)大基數(shù)存在可數(shù)傳遞性
ZFC 的模型 M，使得如果一階句子 phi 在以下模型的外模型 N 中成立
那么 M 的內(nèi)部模型也成立。
證明。對(duì)于任何實(shí)數(shù) R，讓 M(R) 表示 ZFC 的最小傳遞模型，其中包含
R. 我們假設(shè)有大基數(shù)，所以確實(shí)存在這樣的 M(R)（存在
僅僅一個(gè)不可訪問(wèn)的就足夠了）。我們需要以下結(jié)果
大紅衣主教：
(*) 存在一個(gè)實(shí)數(shù) R，對(duì)于任何實(shí)數(shù) S，其中 R 是遞歸的，（一階）
M(R)的理論與M(S)的理論相同。
我們可以從大基數(shù)導(dǎo)出 (*)，如下所示。大基數(shù)產(chǎn)生投射決定性（PD）。馬丁定理是 PD 蘊(yùn)涵以下 Cone
定理：如果 X 是在圖靈等價(jià)下封閉的實(shí)數(shù)射影集，那么對(duì)于
某個(gè)實(shí)數(shù) R，對(duì)于所有實(shí)數(shù) S（其中 R 是遞歸的），或者 S 屬于 X，或者 S 屬于
對(duì)于所有實(shí)數(shù) S（其中 R 是遞歸的）X 的補(bǔ)集。
現(xiàn)在對(duì)于每個(gè)句子 phi 考慮由那些實(shí)數(shù) R 組成的集合 X(phi)
M(R) 滿足 phi。該集合是射影的并且在圖靈等價(jià)下是封閉的。
根據(jù)圓錐定理，我們可以選擇一個(gè)實(shí)數(shù) R(ψ)，使得 ψ 在 M(S) 中為真
所有實(shí)數(shù) S，其中 R(phi) 是遞歸的，或者這對(duì)于 ～ phi 成立?，F(xiàn)在讓 R 為任意實(shí)數(shù)
其中每個(gè) R(phi) 都是遞歸的；因?yàn)橹挥锌蓴?shù)個(gè) phi，這是可能的。
然后R見(jiàn)證了屬性(*)。
我們聲稱如果 N 是 M(R) 滿足 ZFC 的外模型并且 是一個(gè)句子
在 N 中為真，則 phi 在 M(R) 的內(nèi)部模型中為真。為此，我們需要以下內(nèi)容
詹森深度定理。
編碼定理（參見(jiàn)[6]）令 α 為 N 的序數(shù)高度。則 N 有一個(gè)外層
對(duì)于某些實(shí)數(shù) S，其形式為 Lα[S] 的模型滿足 ZFC，其中 N 為
Δ2-可通過(guò)參數(shù)定義。
由于 R 屬于 M(R)，因此它也屬于 N，因此也屬于 Lα[S]，其中 S 將 N 編碼為
多于。另請(qǐng)注意，由于 α 最小，因此 M(R) = Lα[R] 模型 ZFC，因此它也是
至少使得 Lα[S] 滿足 ZFC，因此 Lα[S] 等于 M(S)。
顯然，我們可以選擇 S 成為 R 之上的圖靈（只需將 S 替換為與
R）。但現(xiàn)在根據(jù) R 的特殊性質(zhì)，M(R) 和 M(S) 的理論是
相同的。由于 N 是 M(S) 的可定義內(nèi)模型，因此 M(S) 的部分理論是
弗里德曼
陳述“有一個(gè) Φ 的內(nèi)部模型，它可以用參數(shù) Δ2 定義”
因此，根據(jù)需要，存在滿足 phi 的 M(R) 內(nèi)部模型。?
請(qǐng)注意，我們上面為 IMH、M(R) 生成的模型對(duì)于某些實(shí)際情況
R 是包含真實(shí) R 的最小模型，因此滿足“不存在
難以接近的紅衣主教”。這并非偶然：
定理4。 [12]假設(shè)M滿足IMH。那么M中：沒(méi)有
不可訪問(wèn)的基數(shù)，事實(shí)上存在一個(gè)實(shí)數(shù) R，使得不存在傳遞性
包含 R 的 ZFC 模型。
證明。Beller 和 David 的定理（也在 [6] 中）擴(kuò)展了 Jensen 的編碼定理
說(shuō)任何模型 M 對(duì)于某個(gè)實(shí)數(shù) R 都有一個(gè)形式為 M(R) 的外部模型，
其中如上 M(R) 是包含 R 的 ZFC 的最小傳遞模型?，F(xiàn)在
假設(shè) M 滿足 IMH 并考慮句子“不存在不可訪問(wèn)的
紅衣主教”。這在 M 的外部模型 M(R) 中是正確的，因此在內(nèi)部模型中也是如此
M 的。由此可見(jiàn)，M 中不存在不可訪問(wèn)的地方。與
句子“存在一個(gè)真實(shí)的 R，使得不存在包含 ZFC 的傳遞模型
R”給出了 M 的內(nèi)部模型 M0，對(duì)于某些實(shí)數(shù) R 具有此屬性；但隨后也
M 具有此屬性，因?yàn)?M 中包含 R 的任何 ZFC 傳遞模型也會(huì)
在 M 的 L[R] 中給出這樣的模型，因此在 M0 中給出這樣的模型，因?yàn)?M0 包含 L[R]
M.?
由此可見(jiàn)，如果 M 滿足 IMH，則 M 中的某些實(shí)數(shù)沒(méi)有 #，因此粗體 Π1
1 確定性在 M 中失?。ūM管 0# 確實(shí)存在且 lightface Π1
1
確定性確實(shí)成立）。
寬度現(xiàn)實(shí)主義
到目前為止，我已經(jīng)在激進(jìn)勢(shì)能論的背景下提出了 IMH，
使我們能夠自由地討論宇宙 V 的外部模型（增厚）。這是
當(dāng)然，對(duì)于寬度現(xiàn)實(shí)主義者來(lái)說(shuō)這是不可接受的，他們認(rèn)為 Vα 具有固定的含義
每個(gè)序數(shù) α （盡管可能是一個(gè)不固定的、潛在的關(guān)于序數(shù)的觀點(diǎn)
是）。盡管如此，是否有可能談?wù)?V 的寬度最大值
寬度現(xiàn)實(shí)主義者的觀點(diǎn)（其中V現(xiàn)在是一個(gè)范圍在Zermelian
多元宇宙）？我們能否表達(dá) V 盡可能厚的想法，而不需要實(shí)際
將 V 與更厚的宇宙（不存在）進(jìn)行比較？
通過(guò)對(duì) V 邏輯的研究，得出了對(duì)后一個(gè)問(wèn)題的肯定答案，
接下來(lái)我將介紹這一點(diǎn)。Barwise 的書 [5] 是該材料的有用參考。
超宇宙計(jì)劃
V邏輯
讓我們從更簡(jiǎn)單的 Vω 邏輯開始。在 Vω 邏輯中，我們有用于 a ∈ Vω 的常量符號(hào) ?a 以及常量符號(hào) V?
ω 對(duì)于 Vω 本身（除了 ε 和
一階邏輯的其他符號(hào)）。然后是通常的邏輯公理和規(guī)則
在 Modus Ponens 中，我們添加了規(guī)則：
對(duì)于 a ε Vω： 從 phi(
ˉb) 對(duì)于每個(gè) b ∈ a 推斷 ?x ∈ aphiˉ (x)。
從 phi(ˉa) 對(duì)于每個(gè) a ∈ Vω 推斷 ?x ∈ Vˉ
ω φ(x)。
引入第二條規(guī)則會(huì)通過(guò)證明生成新的可證明陳述
現(xiàn)在是無(wú)限的。Vω-logic 的思想是捕捉模型的思想，其中
Vω 為標(biāo)準(zhǔn)。根據(jù) ω-完備性定理，邏輯上可證明的句子
Vω 邏輯正是在每個(gè)模型中都成立的邏輯，其中 ˉa 被解釋為
a 對(duì)于 a ∈ Vω 和 V ?
ω 被解釋為（實(shí)數(shù)，標(biāo)準(zhǔn)）Vω。因此理論T在
Vω-logic 與 Vω-logic 是一致的，當(dāng)且僅當(dāng)它有一個(gè)模型，其中 Vω 是真實(shí)的、標(biāo)準(zhǔn)的
Vω。
現(xiàn)在，Vω-邏輯中邏輯上可證明的公式（即有效性）的集合，與
在一階邏輯中，不是算術(shù)的，即它不能在模型 Vω 上定義。
相反，它可以在更大的結(jié)構(gòu)（Vω 的延長(zhǎng)）上定義。讓我解釋。
由于 Vω 邏輯中的證明不再是有限的，因此它們自然不屬于 Vω。
相反，它們屬于最小允許集 (Vω)
+ 包含 Vω 作為元素，
這被高級(jí)遞歸理論家稱為 Lω
CK
1
，其中 ω
CK
1
是最小非遞歸序數(shù)。一些非常好的事情發(fā)生了：而一階邏輯的證明
屬于 Vω，因此可證明性是 Σ1 在 Vω 上可定義（存在一個(gè)證明
是 Σ1)，Vω-邏輯中的證明屬于 (Vω)
+ 且可證明性是 Σ1 可在 (Vω) 上定義
+.
就我們目前的目的而言，要點(diǎn)是 (Vω)
+是加長(zhǎng)，不是加厚
Vω 的長(zhǎng)度，在這種延長(zhǎng)中，我們可以制定描述任意的理論
以 Vω 為標(biāo)準(zhǔn)的模型。例如，存在一個(gè)實(shí)數(shù) R，使得
(Vω, R) 滿足一階性質(zhì)，可以表示為
Vω-邏輯中的理論。由于結(jié)構(gòu)(Vω,R)可以看作是“增厚”
對(duì)于 Vω，我們已經(jīng)通過(guò)以下理論描述了 Vω“增厚”時(shí)可能發(fā)生的情況
(Vω)
+，Vω 的延長(zhǎng)。如果我們不是從 Vω 開始而是從 Vω 開始，這會(huì)更加戲劇化
與 (Vω)
+ = 錯(cuò)誤
CK
1
并引入Lω
CK
1
-logic，確保遞歸的邏輯
序數(shù)詞是標(biāo)準(zhǔn)的。然后在延長(zhǎng)(Lω
CK
1
)
Lω的+
CK
1
, 最少允許的
包含 Lω 的集合
CK
1
作為一個(gè)元素，我們可以表達(dá)增厚的存在
弗里德曼
錯(cuò)誤
CK
1
其中一階陳述成立，并且這種加厚可以包含新的
實(shí)數(shù)和更多元素。
V-logic 與上面類似。它有以下常量符號(hào)：
1. V 中每個(gè)集合 a 的常數(shù)符號(hào) ˉa 。
2. 一個(gè)常數(shù)符號(hào)Vˉ 來(lái)表示宇宙V 。
公式以通常的方式形成，就像任何一階邏輯一樣。到平常的
一階邏輯的公理和規(guī)則我們添加新規(guī)則：
(*) 由 ψ(
?b) 對(duì)于所有 b ∈ a 推斷 ?x ∈ á? (x)。
(**) 從所有 a ∈ V 的 phi(ˉa) 推斷 ?x ∈ V phiˉ (x)。
這是描述以 V 為標(biāo)準(zhǔn)的模型的邏輯。這個(gè)邏輯的證明
出現(xiàn)在V
+，包含 V 作為元素的最小允許集合；這個(gè)結(jié)構(gòu)V
+
是 Lα(V ) 形式的 V 的特殊延長(zhǎng)，即哥德爾 L 層次結(jié)構(gòu)的第 α 層
建立在 V 之上。我們將這種延長(zhǎng)稱為哥德爾延長(zhǎng)?；叵胍幌?，與
我們的身高潛力論觀點(diǎn)，我們可以將 V 延長(zhǎng)為模型 V
＊ 以 V 為
等級(jí)初始段，因此肯定將 V 延長(zhǎng)到哥德爾延長(zhǎng) V
+.
（從高度現(xiàn)實(shí)主義者的角度來(lái)看也是如此，只要我們?cè)试S我們
滿足 MK (Morse-Kelley) 的類，就像在 MK 中我們可以構(gòu)造一個(gè)類編碼
在
+.)
寬度現(xiàn)實(shí)主義者的內(nèi)部模型假設(shè)
作為寬度現(xiàn)實(shí)主義者，我們不能直接談?wù)撏獠磕Ｐ?，甚至不能直接談?wù)摷?/p>
不屬于 V 。然而，使用 V 邏輯我們可以間接地討論它們，
正如我現(xiàn)在將說(shuō)明的那樣。考慮 V 邏輯中的理論，其中我們不僅有常數(shù)
符號(hào) ˉa 表示 V 的元素，常量符號(hào) V′ 表示 V 本身，但也可以是
常數(shù)符號(hào) W 表示 V 的“外部模型”。我們添加新的公理：
1.宇宙是ZFC（或者至少是較弱的KP，可接受性理論）的模型。
2. W′是ZFC的傳遞模型，包含V′作為子集并且具有相同的
序數(shù)詞為 V 。
所以現(xiàn)在當(dāng)我們采用遵循 V 邏輯規(guī)則的公理模型時(shí)，我們得到
宇宙建模 ZFC（或至少 KP），其中 V 被正確解釋為 V
W 被解釋為 V 的外部模型。請(qǐng)注意，V 邏輯中的這個(gè)理論有
超宇宙計(jì)劃
沒(méi)有“加厚” V 的情況下被制定，實(shí)際上它是在 V 內(nèi)部定義的
+，最少
包含 V 的容許集合，V 的哥德爾延長(zhǎng)。后者再次有道理
感謝我們采用高度（而不是寬度）勢(shì)能論。
那么對(duì)于寬度現(xiàn)實(shí)主義者來(lái)說(shuō)，IMH 到底說(shuō)了什么？它說(shuō)如下：
IMH：假設(shè) phi 是一階句子，并且上述理論，一起
公理“W 滿足 phi”在 V 邏輯中是一致的。那么 phi 的內(nèi)模型成立
在 。
換句話說(shuō)，不是直接談?wù)揤的“加厚”（即“外層”）
模型”）我們反而談?wù)撚?V 邏輯表述的理論的一致性
并在 V 中定義
+，V 的（溫和）哥德爾延長(zhǎng)。
請(qǐng)注意，這也提供了可定義性引理的強(qiáng)大擴(kuò)展
用于強(qiáng)制設(shè)置。后者說(shuō)，在 V 中我們可以明確地表達(dá)這樣一個(gè)事實(shí)：
帶參數(shù)的句子保存在“集合通用擴(kuò)展”中（對(duì)于有界的句子
復(fù)雜性，例如固定 n 的 Σn 句子）。上圖表明我們可以做到
對(duì)于 V 的任意“加厚”也是如此，但是可定義性發(fā)生在哪里
不是在V而是在V
+。（在全知宇宙 V 的情況下，我們實(shí)際上可以獲得
V 的可定義性，并且在溫和的大基數(shù)假設(shè)下，V 將是無(wú)所不知的。
對(duì)此的討論請(qǐng)參見(jiàn)第 4.11 小節(jié)。）
到目前為止，我們已經(jīng)研究了 V 、它的延長(zhǎng)和“加厚”（通過(guò)理論）
以其延長(zhǎng)表示）。接下來(lái)我們進(jìn)行重要的一步，那就是減少
這個(gè)討論是為了研究可數(shù)傳遞模型的某些屬性
ZFC，即超宇宙（ZFC的可數(shù)傳遞模型的集合）。
這種減少的凈效應(yīng)是表明我們的寬度現(xiàn)實(shí)主義討論
極大性實(shí)際上相當(dāng)于一種激進(jìn)的勢(shì)能論討論，其中所有
正在考慮的模型屬于超宇宙。
4.6 超宇宙的還原
當(dāng)然，去掉“thickenings”中的引號(hào)會(huì)舒服得多
V 的，因?yàn)槲覀兛梢允∪ブ匦卤硎鑫覀兊闹庇X(jué)的需要
通過(guò) V 邏輯理論的外部模型。確實(shí)，如果我們要進(jìn)行這樣的討論
不是關(guān)于 V 而是關(guān)于可數(shù)傳遞 ZFC 模型 Little-V ，那么我們的擔(dān)憂
蒸發(fā)，因?yàn)檎嬲脑龀韯┳兊每捎?。例如，如?P 是一個(gè)強(qiáng)迫
如果我們知道little-V中的概念，那么我們肯定可以構(gòu)建一個(gè)P-通用擴(kuò)展來(lái)獲得little-V [G]。
弗里德曼
當(dāng)然，我們不能對(duì) V 本身執(zhí)行此操作，因?yàn)橥ǔＮ覀儫o(wú)法構(gòu)造泛型集
對(duì)于具有無(wú)數(shù)個(gè)最大反鏈的偏序。
但是我們用 V 邏輯分析事物的方式使我們能夠減少對(duì)
可數(shù)傳遞模型研究中 V 的極大標(biāo)準(zhǔn)。作為收藏
可數(shù)傳遞模型的名稱為“超宇宙”，然后我們就會(huì)得到
所謂的超宇宙計(jì)劃。
我將用具體的例子來(lái)說(shuō)明超宇宙的簡(jiǎn)化
IMH。假設(shè)我們使用 V 邏輯制定如上所述的 IMH，并且想要
知道它會(huì)產(chǎn)生什么一階后果。
引理 5. 假設(shè)一階句子 ψ 在所有可數(shù)模型中成立
IMH。然后它適用于 IMH 的所有型號(hào)。
證明。假設(shè) phi 在 IMH 的某個(gè)模型 V 中失敗，其中 V 可能是不可數(shù)的?，F(xiàn)在請(qǐng)注意，IMH 可以用 V 一階表示
+，V 的延長(zhǎng)。
但然后應(yīng)用向下的 L?wenheim-Skolem 定理來(lái)獲得可數(shù)
滿足 IMH 的 Little-V，已在其相關(guān)的 Little-V 中驗(yàn)證
+，但未能
滿足 ψ。但這是一個(gè)矛盾，因?yàn)楦鶕?jù)假設(shè) ψ 必須在所有可數(shù)中成立
IMH 的模型。?
因此，在不失一般性的情況下，當(dāng)考慮 V 邏輯中表述的最大值標(biāo)準(zhǔn)的一階結(jié)果時(shí)，我們可以將自己限制為可數(shù)的小 V 。這樣做的好處是我們可以省去小V邏輯和
完全引用“加厚”，如小 V 的完備性定理 -
邏輯，小V邏輯中的一致理論確實(shí)有模型，這要?dú)w功于可數(shù)性
小V的。因此，對(duì)于可數(shù)的小V，我們可以簡(jiǎn)單地說(shuō)：
IMH for little-V 's：假設(shè)一階句子在以下模型中成立：
小V。然后它保存在 Little-V 的內(nèi)部模型中。
這正是我們開始時(shí)的 IMH 的激進(jìn)勢(shì)能主義版本。
因此，IMH 的寬度現(xiàn)實(shí)主義和激進(jìn)勢(shì)能主義版本是一致的
可數(shù)模型。
#-一代人重溫
然而，將極大性原則簡(jiǎn)化為超宇宙并不是
總是如此明顯，正如我們現(xiàn)在將在#- Generation 的情況中看到的那樣。這揭示了
超宇宙計(jì)劃
HP 發(fā)展的差異形成了 Zemelian 觀點(diǎn)與
激進(jìn)的潛在主義觀點(diǎn)。
首先考慮以下令人鼓舞的類比，適用于我們?cè)缙诘?一代
IMH 減免申請(qǐng)。
引理 6. 假設(shè)一階句子 ψ 在所有可數(shù)模型中成立，
是 # 生成的。然后它適用于 # 生成的所有模型。
證明。假設(shè) phi 在某些 # 生成的模型 V 中失敗，其中 V 可能是不可數(shù)的。設(shè) (N, U) 為 V 的生成#，并將 V 和 (N, U) 放入其中
ZFC 減去冪集 T 的一些傳遞模型。現(xiàn)在將 L?wenhiem-Skolem 應(yīng)用于
T 產(chǎn)生一個(gè)可數(shù)傳遞性 T ，其中有一個(gè) V ， T 認(rèn)為是
由 (N, ′ U′ ) 生成，將 T′ 基本嵌入到 T 中，將 V′ 發(fā)送到 V 并
(N, U) 到 (N, U)。但事實(shí)是 (N, U) 是可迭代的并且 (N, ′ U′) 被嵌入到
(N, U) 足以得出結(jié)論： (N, ′ U′ ) 也是可迭代的。所以我們現(xiàn)在有一個(gè)可數(shù)的 V ，它是 # 生成的（通過(guò) (N, ˉ U )），其中 phi 失敗，這與假設(shè)相反。
?
然而困難在于：我們?nèi)绾螐膶挾缺磉_(dá)#- Generation
現(xiàn)實(shí)主義的觀點(diǎn)？回想一下，要為 V 生成生成#，我們必須
產(chǎn)生一組小于 Ord(V ) 且不屬于 V 的秩，違反了
寬度現(xiàn)實(shí)主義。
回想一下，# 是滿足某些一階條件的結(jié)構(gòu) (N, U)
另外，它是可迭代的：對(duì)于任何序數(shù) α，如果我們迭代 (N，U) α 步，則
它仍然是有充分根據(jù)的。如果有 # 生成 V，則 V 是 # 生成的。但
請(qǐng)注意，為了表達(dá) V 的生成 # 的可迭代性，我們必須考慮
理論 Tα 在 Lα(V ) 邏輯中表述，用于 V 的任意哥德爾延長(zhǎng) Lα(V ) ：
Tα 斷言 V 是由 pre-# 生成的（即由看起來(lái)像 # 的結(jié)構(gòu)生成）
但可能不是完全可迭代的），它是α-可迭代的，即可迭代α-步。因此
我們沒(méi)有固定的理論來(lái)捕捉#一代人，而只有一座理論塔
Tα （當(dāng) α 的范圍超過(guò) V 的高度的序數(shù)時(shí)），捕獲越來(lái)越近
對(duì)其的近似值。
定義 7. 如果對(duì)于每個(gè)超過(guò) V 高度的序數(shù) α，V 是弱 # 生成的，
理論 Tα 表達(dá)了 α-iterable pre-# 的存在，它生成
V 是一致的。
弱 # 代對(duì)于寬度現(xiàn)實(shí)主義者來(lái)說(shuō)是有意義的（他們接受足夠的
獲得哥德爾延長(zhǎng)的高度勢(shì)能論），因?yàn)樗耆眯g(shù)語(yǔ)表達(dá)
V 的哥德爾延長(zhǎng)的內(nèi)部理論。
弗里德曼
對(duì)于可數(shù)的小V，弱#代可以在語(yǔ)義上表達(dá)。第一的
一個(gè)有用的定義：
定義8.設(shè)little-V為ZFC的可數(shù)傳遞模型，α為序數(shù)。
如果存在一個(gè)生成little-V的α-iterable pre-#，則little-V是α生成的
（作為其第一個(gè) γ 迭代的下部部分的并集，其中 γ 是序數(shù)高度
小V）。
然后，如果每個(gè)小V都是α生成的，那么它就是弱#生成的
可數(shù)序數(shù) α（對(duì)此的見(jiàn)證可能取決于 α）。小V是#-
生成 iff 當(dāng) α = ω1 時(shí)它是 α 生成的 iff 它對(duì)于所有序數(shù)都是 α 生成的
A。
正如 #- 的寬度現(xiàn)實(shí)主義公式需要句法方法一樣
代，將這種弱化形式的#-代還原為超宇宙采用語(yǔ)法形式：
引理 9. 假設(shè)一階句子 phi 在所有可數(shù)小 V 中成立
這是弱 # 生成的，這在 ZFC 中得到了證明。那么 ψ 在所有的情況下都成立
弱 # 生成的模型。
證明。令 W 為弱#生成模型（可能是不可數(shù)）。因此
對(duì)于 W 高度以上的每個(gè)序數(shù) α，理論 Tα+ ～ phi 表示 phi
W 中的失敗與 W 是由 α-iterable pre-# 生成的一致。如果我們選擇 α 那么
Lα(W) 是 ZFC 的模型（或者足夠的 ZFC，其中 phi 的真值可數(shù)為
# 生成的模型可證明）那么 Lα(W) 是（足夠的）ZFC 的模型，其中
W 是弱 # 生成的。應(yīng)用 L?wenheim-Skolem 獲得可數(shù)的 W 和
?使得 Lα?(?) 基本嵌入到 Lα(W) 中，因此滿足（足夠
of) ZFC 加上“W 是弱 # 生成的”?，F(xiàn)在讓 g 對(duì)于 Lα ?(W ? ) 是泛型的
Wˉ（的高度）到 ω 的 Lévy 塌縮；那么 Lα ?(W ? )[g] 是一個(gè)模型（足夠
of) ZFC，其中 W 是可數(shù)的并且是弱 # 生成的。通過(guò)假設(shè)
L?(W)[g] 滿足“?滿足 ?”，因此 W 確實(shí)滿足 ?。最后，
根據(jù)需要，W 也滿足 phi。?
總結(jié)一下：作為激進(jìn)的潛在主義者，我們可以輕松地與完整的#-
一代作為我們的高度最大化原則。但作為寬度現(xiàn)實(shí)主義者，我們相反
使用弱 # 代，以 V 的哥德爾延長(zhǎng) Lα(V ) 內(nèi)的理論表示。弱#代足以最大化宇宙的高度。正確表述后，超宇宙的還原適用于弱
#- Generation：推斷一階語(yǔ)句來(lái)自弱#- Generation
超宇宙計(jì)劃
足以表明，在 ZFC 中，我們可以證明它在所有弱 # 生成的情況下都成立
可數(shù)模型。
對(duì)于可數(shù)而言，弱 #- Generation 確實(shí)嚴(yán)格弱于 #- Generation
models: 假設(shè)0#存在，選擇α最小，使得α為第α個(gè)Silver
不可辨別（α 是可數(shù)的）?，F(xiàn)在讓 g 在 L 上泛型，Lévy 將 α 折疊為
ω。那么根據(jù)Lévy絕對(duì)性，Lα在L[g]中是弱#生成的，但不能
#-在 L[g] 中生成為 0# 不屬于 L 的通用擴(kuò)展。
在下文中，我將主要使用 # 代，因?yàn)槟壳皩?duì)弱 # 代的數(shù)學(xué)了解還很少。事實(shí)上，正如我們將在下一篇中看到的
部分， # 代與 IMH 的綜合是一致的，但這仍然是一個(gè)
弱#一代的開放問(wèn)題。
4.7 綜合
我們引入了 IMH 作為寬度最大值的標(biāo)準(zhǔn)，并引入了#- Generation 作為寬度最大值的標(biāo)準(zhǔn)。
高度最大值的標(biāo)準(zhǔn)。很自然地看到如何將這些組合成
承認(rèn)兩種形式的最大值的單一標(biāo)準(zhǔn)。我們?cè)谶@方面實(shí)現(xiàn)了這一目標(biāo)
綜合部分。請(qǐng)注意，IMH 意味著不存在無(wú)法訪問(wèn)的情況
然而#- Generation 意味著存在。所以我們不能簡(jiǎn)單地取合取
這兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn)。
# 生成的模型 M 滿足 IMH# 當(dāng)且僅當(dāng)句子在 a 中成立
# 生成的 M 的外部模型也包含在 M 的內(nèi)部模型中。
請(qǐng)注意，IMH# 與 IMH 的不同之處在于要求 M 和 M*
,
外部模型是 # 生成的（而 IMH 中考慮的外部模型是
隨意的）。此要求背后的動(dòng)機(jī)是強(qiáng)制寬度最大化
僅針對(duì)那些高度最大的模型。
定理 10. [15] 假設(shè)每個(gè)實(shí)數(shù)都有一個(gè) # 存在一個(gè)實(shí)數(shù) R，使得任何
# 生成的包含 R 的模型滿足 IMH#。
證明。(Woodin) 令 R 為具有以下性質(zhì)的實(shí)數(shù)： 每當(dāng) X 為
lightface 和非空 Π1
2
實(shí)數(shù)集，則 X 在 R 中具有遞歸元素。我們
聲稱任何包含 R 作為元素的 # 生成的模型 M 都滿足 IMH#。
假設(shè) Φ 在 M* 中成立
，#生成的 M 外部模型。讓 (m*
, U?
）是一個(gè)
為 M* 生成 #
。然后實(shí)數(shù) S 的集合 X 使得 S 編碼這樣一個(gè) (m*
, U?
)
（生成 phi 的模型）是光面 Π1
2
放。所以有這樣一個(gè)真正的遞歸
弗里德曼
R 因而在 M 中。但是 M 有一個(gè)滿足 phi 的內(nèi)部模型，即任意
由 M 中 X 的元素編碼的 # 生成的模型。 ?
前一個(gè)定理的論證對(duì)于 IMH# 的最弱形式是特殊的。
來(lái)自[15]的原始論點(diǎn)，使用#生成的Jensen編碼來(lái)證明更強(qiáng)原理SIMH#(ω1)的一致性；參見(jiàn)定理 15。
推論 11. 假設(shè) phi 是一個(gè)句子，它在某些 Vκ 中成立，并且 κ 可測(cè)量。
那么就有一個(gè)傳遞模型，它同時(shí)滿足IMH#和句子 phi。
證明。令 R 如定理 10 的證明中所示，并令 U 為 κ 的正規(guī)測(cè)度。
結(jié)構(gòu) N = (H(κ
+), U) 是#；通過(guò)足夠大的序數(shù) ∞ 迭代 N
使得由 N 生成的下部模型 M = LP(N∞) 的序數(shù)高度為 ∞。
然后 M 是 # 生成的并包含真實(shí)的 R。因此 M 是
IMH#。此外，由于 M 是基本鏈的并集 Vκ = V
氮
κ?V
N1
κ1 ?···
其中 phi 在 Vκ 中為真，因此 phi 在 M 中也為真。 ?
請(qǐng)注意，在推論 11 中，如果我們將 ψ 視為任何大基數(shù)屬性，
保持一些 Vκ 且 κ 可測(cè)量，然后我們獲得 IMH# 模型，其中
也滿足了這個(gè)大基數(shù)的屬性。這意味著 IMH# 的兼容性
具有任意強(qiáng)的大基數(shù)性質(zhì)。
問(wèn)題 12. 使用弱 # 代重新表述 IMH#，如下所示： V 是弱的
#-生成并且對(duì)于每個(gè)句子 phi，如果表達(dá) V 的理論有一個(gè)外部
滿足 phi 且具有 α 可迭代生成 pre-# 的模型對(duì)于每個(gè) α 都是一致的，
那么 phi 在 V 的內(nèi)部模型中成立。這是一致的嗎？
上述弱 # 代的 IMH# 公式采用以下形式
對(duì)于可數(shù) V ：對(duì)于每個(gè)可數(shù) α 和所有 phi，V 是 α 生成的，如果 phi 成立
在 V 的 α 生成的外部模型中，對(duì)于每個(gè)可數(shù) α，則 phi 保持在內(nèi)部
V 的模型。尚不清楚這是否一致。
評(píng)論。#- Generation 的更弱形式斷言 V 只是 Ord(V ) +
Ord(V ) 生成的、足夠數(shù)量的迭代以獲得序數(shù)最大值。
然而，IMH 與這種非常弱的 # 代的合成產(chǎn)生了一致的結(jié)果
與大基數(shù)相矛盾的原則（實(shí)際上存在 # 表示任意
實(shí)數(shù)）。這些不同形式的 # 代及其與 IMH 的合成，
都需要進(jìn)一步的哲學(xué)討論。
我們現(xiàn)在已經(jīng)為 HP 奠定了基礎(chǔ)，并討論了兩個(gè)最基本的問(wèn)題
極大性原則、#- Generation 和 IMH。大部分?jǐn)?shù)學(xué)工作
超宇宙計(jì)劃
惠普仍有待完成。因此我將在剩下的時(shí)間里做什么
文章只是提出了一系列尚未完全確定的最大值標(biāo)準(zhǔn)
分析并給出了惠普打算如何進(jìn)行的風(fēng)格。這些
標(biāo)準(zhǔn)也稱為 H 公理，表述為元素的屬性
超宇宙 H，可表示為 H 內(nèi)的極大性屬性。
4.8 強(qiáng)IMH
我們對(duì) IMH 的討論始終是關(guān)于沒(méi)有參數(shù)的句子。如果我們引入?yún)?shù)，就會(huì)產(chǎn)生更強(qiáng)的形式。
首先注意將參數(shù)引入 IMH 的困難。例如
該聲明
“如果一個(gè)帶有參數(shù) ω 的句子
在
1 在 V 的外模型中成立，那么它在
內(nèi)模型”
不一致，因?yàn)閰?shù) ω
在
1
在外部模型中可以變得可數(shù)并且
因此上述對(duì)于句子“ω
在
1
是可數(shù)的”。如果我們?nèi)欢?/p>
要求 ω1 被保留，那么我們就得到了一致原理。
定理 13. 設(shè) SIMH(ω1) 為以下原理： 如果一個(gè)帶有參數(shù)的句子
ω1 在保留 ω1 的外部模型中成立，然后在內(nèi)部模型中成立。然后
SIMH(ω1) 是一致的（假設(shè)基數(shù)很大）。
證明。再次使用 PD 得到實(shí)數(shù) R，使得 M(S) 的理論，最小傳遞性
包含 S 的 ZFC 模型對(duì)于 R 之上的所有 S 圖靈來(lái)說(shuō)是固定的?，F(xiàn)在假設(shè) phi(ω1)
是 M(R) 的 ω1 保留外模型 N 中的句子為真，其中 ω1 表示
M(R) 的 ω1。那么就像IMH的一致性證明一樣，我們可以將N編碼為
M(S) 對(duì)于 R 之上的某個(gè)實(shí) S 圖靈，而且這種編碼是 ω1 保留的。
由于 phi(ω1) 在 M(S) 的可定義內(nèi)模型中成立，并且 ω1 在 M(R) 中是相同的，并且
M(S)，由此可知 M(R) 也有滿足 phi(ω1) 的內(nèi)模型。?
上述論點(diǎn)利用了 Jensen 編碼保留 ω1 的事實(shí)。這是
然而，除非 CH 成立，否則 ω2 不保持，因此我們有以下
開放式問(wèn)題：
問(wèn)題 14. 設(shè) SIMH(ω1, ω2) 為以下原則：如果一個(gè)帶有參數(shù) ω1, ω2 的句子在 ω1 保留和 ω2 保留的外模型中成立，那么它成立
在內(nèi)部模型中。那么SIMH(ω1, ω2)是否一致（假設(shè)基數(shù)很大）？
弗里德曼
SIMH(ω1, ω2) 意味著 CH 失敗，因?yàn)槿魏文Ｐ投季哂谢鶖?shù)保留
外部模型，其中有從 ω2 到實(shí)數(shù)的注入。有類似的嗎
M?
不滿足CH的最小模型M(R)的(R)？有編碼嗎
定理表明 M* 的任何外部模型
(R) 保留 ω1 和 ω2 有
M* 形式的進(jìn)一步外部模型
(S)，也具有相同的 ω1 和 ω2？如果是這樣，那么
我們可以建立 SIMH(ω1, ω2) 的一致性。
SIMH 最通用的形式使用絕對(duì)參數(shù)。如果某個(gè)公式在保留的所有外部模型中定義了參數(shù) p，則該參數(shù) p 是絕對(duì)的
基數(shù)達(dá)到并包括 p 的遺傳基數(shù)，即
p 的傳遞閉包。那么絕對(duì)參數(shù) p 的 SIMH(p) 表明如果
帶有參數(shù) p 的句子保存在保留基數(shù)向上的外部模型中
到 p 的遺傳基數(shù)，則它在內(nèi)部模型中成立。完整的 SIMH
（強(qiáng)內(nèi)模型假設(shè)）指出這對(duì)于每個(gè)絕對(duì)參數(shù)都成立
p。
SIMH 與萊維絕對(duì)性的增強(qiáng)密切相關(guān)。例如，
將 Lévy(ω1) 定義為帶有參數(shù) ω1 的 Σ1 公式是絕對(duì)值的陳述
對(duì)于 ω1 保留的外部模型；這是從 SIMH(ω1) 得出的，因此是
持續(xù)的。但Lévy(ω1, ω2)的一致性，即Σ1與參數(shù)的絕對(duì)性
保留這些基數(shù)的外部模型的 ω1、ω2 是開放的。
SIMH#
具有 # 代的 SIMH 的綜合可以表述如下： V
如果 V 是 # 生成的并且每當(dāng)句子 phi 具有絕對(duì)值時(shí)，則滿足 SIMH#
參數(shù)保存在 # 生成的外部模型中，其基數(shù)與 V up 相同
對(duì)于這些參數(shù)的遺傳基數(shù)， phi 也適用于
五。一個(gè)特殊情況是 SIMH#(ω1)，其中唯一涉及的參數(shù)是 ω1，我們
只關(guān)心 ω1 保留的外部模型。
定理 15。 [15] 假設(shè)大基數(shù)，SIMH#(ω1) 是一致的。
證明。假設(shè)有一個(gè)伍丁紅衣主教，上面有一個(gè)不可訪問(wèn)的。對(duì)于每個(gè)實(shí)數(shù)
R 令 M#(R) 為 Lα[R]，其中 α 最小，因此 Lα[R] 是 # 生成的。伍丁
上面不可訪問(wèn)的基數(shù)意味著有足夠的投射確定性來(lái)啟用
我們使用馬丁引理來(lái)找到一個(gè)實(shí)數(shù) R，使得 M#(S) 的理論是常數(shù)
對(duì)于 S Turing-above R。我們聲稱 M#(R) 滿足 SIMH#(ω1)：事實(shí)上，令 M 為
# 生成的 ω1 保留 M#(R) 的外部模型，滿足某個(gè)句子 phi(ω1)。
令 α 為 M#(R) 的序數(shù)高度（= M 的序數(shù)高度）。從結(jié)果來(lái)看
超宇宙計(jì)劃
之前引用的 Jensen 的觀點(diǎn)（[6] 的定理 9.1），M 有一個(gè) # 生成的 ω1 保留
對(duì)于一些實(shí) S，且 R ≤ T S，外模型 W 的形式為 Lα[S]。當(dāng)然 α 是最小的
因此 Lα[S] 是 # 生成的。所以 W 等于 M#(S) 并且 W 的 ω1 等于 ω1
M#(R)。通過(guò)R的選擇，M#(R)也有一個(gè)可定義的內(nèi)模型，滿足
ψ(ω1).?
然而，與 SIMH(ω1, ω2) 一樣，SIMH#(ω1, ω2) 的一致性是開放的。
4.9 極大值協(xié)議
該協(xié)議旨在將高度和寬度最大值的研究組織為三個(gè)
階段。
第 1 階段。最大化序數(shù)（高度最大值）。
第 2 階段。最大化序數(shù)后，最大化基數(shù)。
第 3 階段。最大化序數(shù)和基數(shù)后，最大化冪集（寬度
最大）。
第 1 階段由 # 代負(fù)責(zé)。所以我們現(xiàn)在關(guān)注第二階段，即基數(shù)最大化。
根據(jù)第一階段，我們現(xiàn)在假設(shè) V 是 # 生成的，并且在討論時(shí)
V 的外部模型我們只考慮那些也是 # 生成的模型。
我們想要一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)，它表示對(duì)于每個(gè)基數(shù) κ, κ
+ 一樣大
盡可能。首先，讓我們考慮 κ = ω 的情況，因此我們想要最大化
ω1。當(dāng)然，基本問(wèn)題如下。作為 #- 的集合通用擴(kuò)展
生成的模型也是 # 生成的：
事實(shí)。V 有一個(gè) # 生成的外部模型，其中 ω
在
1
是可數(shù)的。
但我們肯定想要這樣的東西： ω
L[x]
1
對(duì)于每個(gè)實(shí)數(shù) x 都是可數(shù)的。這
這樣做的原因是 ω
L[x]
1
，與 ω 不同
在
1
一般來(lái)說(shuō)，在 V 和所有的之間是絕對(duì)的
它的外部模型。
定義 16. 令 p 為 V 中的一個(gè)參數(shù)，P 為 V 中的一組參數(shù)。然后
如果存在參數(shù)來(lái)自 P 的公式 phi，則 p 相對(duì)于 P 是強(qiáng)絕對(duì)的
弗里德曼
定義 V 中的 p 以及所有 # 生成的 V 保留基數(shù)的外部模型
直到并包括 中提到的參數(shù)的遺傳基數(shù)
10
.
通常我們會(huì)取 P 由某個(gè)無(wú)限基數(shù) κ 的所有子集組成，在
在這種情況下，上述定義中的基數(shù)保留指的是基數(shù)最多
并包括κ。
卡最大(κ
+)（對(duì)于 κ 來(lái)說(shuō)是無(wú)限基數(shù)）。假設(shè)序數(shù) α 是強(qiáng)的
相對(duì)于 κ 子集的絕對(duì)值。那么 α 的基數(shù)最多為 κ。
可以證明，如果 κ 是正則的，則在
哪個(gè)CardMax(先生
+) 成立。
問(wèn)題 17. CardMax 是否一致，其中 CardMax 表示 CardMax(κ
+) 為
所有無(wú)限基數(shù) κ，無(wú)論是正則基數(shù)還是奇異基數(shù)？
內(nèi)部基數(shù)極大性
實(shí)現(xiàn)基數(shù)極大性的另一種方法是將 V 的基數(shù)與那些相關(guān)聯(lián)
其內(nèi)部模型。兩個(gè)大的內(nèi)部模型是HOD，遺傳性的階級(jí)
序數(shù)可定義集，以及較小的內(nèi)部模型 S，即 [13] 的穩(wěn)定核心。V 是
每個(gè)模型的類通用性。
令M表示內(nèi)部模型。
M-基本違規(guī)。對(duì)于每個(gè)無(wú)限基數(shù) k, k
+ 大于 κ
+ M。
在[9]中表明HOD-基數(shù)違規(guī)是一致的。我們能否加強(qiáng)
這？
問(wèn)題 18. 對(duì)于每個(gè)無(wú)限基數(shù) κ, κ 是否一致
+ 無(wú)法訪問(wèn)，
HOD 中可測(cè)量甚至超緊湊？這與 HOD 替換為一致嗎
穩(wěn)定核心S？
Shelah 的結(jié)果表明，對(duì)于某些固定的情況，κ 的所有子集都屬于 HODx
當(dāng) κ 是不可數(shù)共尾性的奇異強(qiáng)極限基數(shù)時(shí)，κ 的子集 x。
根據(jù)[8]，這在可數(shù)共尾性上不一定成立。
問(wèn)題 19. 對(duì)于每個(gè)無(wú)限基數(shù) κ, κ 是否一致
+ 大于
K
+ Sx（相對(duì)于 x 的穩(wěn)定核心）對(duì)于 κ 的每個(gè)子集 x？
10我們感謝一位裁判指出早期版本的基數(shù)極大性
較弱的參數(shù)絕對(duì)性假設(shè)是不一致的。類似的現(xiàn)象與弱
絕對(duì)參數(shù)出現(xiàn)在[18]的定理10中。
超宇宙計(jì)劃
HOD 和 S 之間的一個(gè)主要區(qū)別是，雖然任何集合都是集合通用的
HOD，S 的情況并非如此。
問(wèn)題 20. 對(duì)于每個(gè)無(wú)限基數(shù) κ，κ 的某個(gè)子集是否一致
+
對(duì)于 κ 的任何子集 x 來(lái)說(shuō)，Sx 不是集合通用的嗎？
對(duì)這三個(gè)問(wèn)題中任何一個(gè)的積極回答都會(huì)產(chǎn)生強(qiáng)大的內(nèi)部影響力。
V 的基數(shù)極大原則。
第三階段：最大化序數(shù)和基數(shù)后，最大化冪集。
這是我們重新審視 SIMH 的地方，但僅限于 # 代和
基本保存。再次假設(shè) V 是 # 生成的。
如果存在無(wú)參數(shù)公式，則 V 中的參數(shù) p 是基數(shù)絕對(duì)的
在 V 的所有 # 生成的外部模型中定義 p ，這些模型與 V 具有相同的基數(shù)。
SIMH#(CP)（保留基數(shù) SIMH#）。假設(shè) p 是絕對(duì)基數(shù)
參數(shù)，V
?
是 # 生成的 V 的外部模型，與 V 和具有相同的基數(shù)
是一個(gè)帶有參數(shù) p 的句子，它在 V 中成立
?
。那么 ψ 在內(nèi)模型中成立
V 的。
問(wèn)題 21. SIMH#(CP) 是否一致？
請(qǐng)注意，SIMH#(CP) 意味著 CH 的嚴(yán)重故障。
4.10 寬度不可辨
極大協(xié)議的替代方案（理想情況下應(yīng)與
它）是寬度不可辨別性。動(dòng)機(jī)是提供 V 寬度的描述
類似于 #- Generation 提供的高度描述。
回想一下，通過(guò)#- Generation，我們得出以下結(jié)論：
V0?V1?···?V=V∞?V∞+1?···
其中i < j，Vi
是 Vj 的排名初始段。此外，型號(hào) Vi
形成一個(gè)
強(qiáng)烈意義上的難以辨別的模型的集合。這張照片的結(jié)果是
從高度反射開始的分析，首先是 V 必須
有無(wú)限多個(gè)初始段 Vi ，它們是 V 中的基本段。
類似地，我們引入寬度反射。我們想說(shuō) V 有
正確的內(nèi)部模型是“V 中的基本模型”。當(dāng)然，這不可能是字面上的意思
弗里德曼
正確，就好像 V0 是 V 的基本子模型，其序數(shù)與 V 相同，那么它是
容易看出 V0 等于 V 。相反，我們使用基本嵌入。
寬度反射。對(duì)于每個(gè)序數(shù) α，都有一個(gè)適當(dāng)?shù)幕咀幽Ｐ?H
V 使得 Vα ? H 且 H 是服從的，即 H ∩ Vβ 對(duì)于每個(gè)序數(shù)都屬于 V
b.
同等效果：
寬度反射。對(duì)于每個(gè)序數(shù) α，都有一個(gè)不平凡的基本嵌入
j : V0 → V ，臨界點(diǎn)至少為 α ，使得 j 是可以接受的，即 j ? (Vβ)
V0
對(duì)于每個(gè)序數(shù) β 都屬于 V。
如果存在一個(gè)不平凡的服從 j ： V0 → V ，如第二個(gè)所示，我們寫 V0 < V
寬度反射的公式。這種關(guān)系是傳遞性的。
命題 22. (a) 如果 V0 < V 則 V0 是 V 的真內(nèi)模型。
(b) 寬度反射相對(duì)于拉姆齊基數(shù)的存在是一致的。
證明。(a) 這是根據(jù)庫(kù)南定理得出的，即不存在非平凡的
從 V 到 V 的基本嵌入。
(b) 假設(shè) κ 是拉姆齊。那么可以得出以下形式的任何結(jié)構(gòu)
M = (Vκ,ε, . . .) 具有無(wú)界的不可辨別集合，即無(wú)界子集
I 的 κ 使得對(duì)于每個(gè) n，來(lái)自 I 的任意兩個(gè)遞增 n 元組滿足相同的條件
M 中的公式?，F(xiàn)在將其應(yīng)用于 M = (Vκ,ε, <)，其中 < 是 Vκ 的良序
長(zhǎng)度κ。令 J 為 I 的任意無(wú)界子集，使得 I \ J 為無(wú)界且對(duì)于
任意 α < κ，設(shè) H(J ∪ α) 表示 M 中 J ∪ α 的 Skolem 殼。則 H(J ∪ α) 為
Vκ 的基本子模型，不等于 Vκ，因?yàn)?I \ J 中沒(méi)有元素
大于α就屬于它。由于 Vκ 包含 κ 的所有有界子集，因此可以得出以下結(jié)論
H(J ∪ α) 是可行的。?
上面 (b) 中的參數(shù)的一個(gè)變體產(chǎn)生任意長(zhǎng)的一致性
有限鏈 V0 < V1 < · · · < Vn。但獲得無(wú)限這樣的鏈似乎更
困難，我們甚至可以更雄心勃勃地問(wèn)：
問(wèn)題 23. 長(zhǎng)度 Ord + 1 的 V0 < V1 < ...... < V 是否一致
Vi 的聯(lián)盟
等于 V 嗎？
后者將是制定一致的標(biāo)準(zhǔn)的良好開端。
寬度不可辨別性，類似于寬度最大值的標(biāo)準(zhǔn)
#- Generation 提供的高度最大值。
超宇宙計(jì)劃
4.11 全知
通過(guò) OMT(V )，即 V 的外模型理論，我們指的是具有
V 中的任意參數(shù)在 V 的所有外部模型中都成立。我們已經(jīng)看到
使用 V 邏輯，OMT(V ) 可在 V 上定義
+。然而對(duì)于許多宇宙 V ，
OMT(V ) 實(shí)際上是 V 上的一階可定義的。據(jù)說(shuō)這些宇宙是
無(wú)所不知。
回想一下塔斯基關(guān)于真理的不可定義性的結(jié)果的以下版本：
命題 24. 參數(shù)來(lái)自 V 且在 V 中成立的句子集合為
在 V 中不能用參數(shù)（一階）定義。
然而令人驚訝的是，麥克·斯坦利證明了 OMT(V ) 確實(shí)可以是 V -
可定義的。
定理 25. (M.Stanley [30]) 假設(shè)在 V 中存在一個(gè)真類可測(cè)基數(shù)，并且該類實(shí)際上是 V
+-平穩(wěn)，即 Ord(V ) 是正則的
相對(duì)于V
+-可定義函數(shù)，此類與 Ord(V ) 中的每個(gè)俱樂(lè)部相交
這是V
+-可定義。那么 OMT(V ) 是 V 可定義的。
證明。使用 V 邏輯，我們可以翻譯這樣的陳述：一階句子 phi
（參數(shù)來(lái)自 V ）在 V 的所有外部模型中都適用于句子的有效性
披
?
在 V 邏輯中，可以通過(guò) V 表達(dá)的事實(shí)
+ 由 Σ1 句子組成。使用這個(gè)我們表明
V 的所有外部模型中都成立的 phi 集合是 V 可定義的。
由于 Ord(V ) 相對(duì)于 V 是正則的
+-可定義的功能我們可以組建一個(gè)俱樂(lè)部
Ord(V ) 中的 C，使得對(duì)于 C 中的 κ，存在來(lái)自 Hyp(Vκ) 的 Σ1 基本嵌入
進(jìn)入V
+（具有臨界點(diǎn) κ，將 κ 發(fā)送到 Ord(V )）。事實(shí)上C可以選擇為
在
+-可定義。
對(duì)于 C 中的任意 κ 令 phi
?
κ 是 Vκ 邏輯的句子，使得 phi 在所有外部都成立
Vκ 當(dāng)且僅當(dāng) phi 的模型
?
K
有效（Hyp(Vκ) 的 Σ1 屬性）。通過(guò)基本性， phi
?
K
已驗(yàn)證
當(dāng)且僅當(dāng)
?
已驗(yàn)證。
現(xiàn)在假設(shè) phi 在 V 的所有外部模型中都成立，即 phi
?
已驗(yàn)證。那么 ψ
?
K
是
對(duì)于 C 中的所有 κ 均有效，并且由于可測(cè)量值形成 V
+-固定類，有一個(gè)
可測(cè)量 κ 使得 phi
?
K
已驗(yàn)證。
相反，假設(shè) ψ
?
K
對(duì)于某些可測(cè)量的 κ 是有效的。現(xiàn)在選擇正常的
測(cè)量 κ 上的 U 并迭代 (H(κ
+), U) 用于 Ord(V ) 步驟以獲得有根據(jù)的
結(jié)構(gòu)（H*
，U*)。（這個(gè)結(jié)構(gòu)是有根據(jù)的，對(duì)于任何可接受的集合A，任何
弗里德曼
A 中的測(cè)量可以迭代，而不會(huì)失去 α 步驟的有根據(jù)性，對(duì)于任何
A 中的序數(shù) α。）然后 H*
等于 Hyp(V
?
）對(duì)于一些V
＊ ? V 。根據(jù)基本原理，
句子 ψ
?
V ? 斷言 phi 在 V 的所有外部模型中都成立
?
已驗(yàn)證。但作為
在
?
是 V 的內(nèi)部模型， phi 也適用于 V 的所有外部模型。
因此，如果對(duì)于某個(gè)可測(cè)量的 κ 屬于 OMT(Vκ)，則 phi 恰好屬于 OMT(V )，并且這是一階可表達(dá)的。?
全知需要可測(cè)量的基數(shù)嗎？事實(shí)上，斯坦利能夠
只使用拉姆齊紅衣主教，但就全知的一致性而言，我們有
下列的：
定理 26. ([16]) 假設(shè) κ 不可訪問(wèn)且 GCH 成立。然后有
Vκ[G] 形式的全知模型，其中 G 是 V 的泛型。此外，Vκ[G]
帶有可定義的井序。
全知證明可以用任意的外在來(lái)對(duì)待真理
以類似于集合泛型擴(kuò)展中的真值的方式進(jìn)行內(nèi)部建模
使用集合強(qiáng)制的標(biāo)準(zhǔn)可定義性和真值引理來(lái)處理。事實(shí)上，
情況甚至更好，因?yàn)檎麄€(gè)外模型理論是一階可定義的，
不僅僅是該理論對(duì)有限復(fù)雜性句子的限制，
強(qiáng)制設(shè)置的情況。（主要區(qū)別在于，在強(qiáng)制設(shè)置的情況下，地面
模型 V 在其集合通用擴(kuò)展中是統(tǒng)一可定義的，因此完整的
OMT(V ) 不能由命題 24 在 V 中一階可定義。全知 V
出于同樣的原因，不能在其任意外部模型中統(tǒng)一定義。）
另請(qǐng)注意，根據(jù)定理 25，全知與 # 代可以很好地綜合：
我們只需要使用具有足夠多可測(cè)量基數(shù)的模型。
4.12 惠普的未來(lái)
我們已經(jīng)討論了類型 1 的證據(jù)，它來(lái)自集合論作為集合論的一個(gè)分支
數(shù)學(xué)，以及類型 2 的證據(jù)，來(lái)自集合論作為基礎(chǔ)的作用
對(duì)于數(shù)學(xué)。在第一種情況下，證據(jù)是根據(jù)其對(duì)集合論數(shù)學(xué)發(fā)展的價(jià)值來(lái)判斷的，在第二種情況下，證據(jù)是根據(jù)其價(jià)值來(lái)判斷的
解決數(shù)學(xué)其他領(lǐng)域的獨(dú)立性（并為其提供工具）。
在這兩種情況下，證據(jù)的權(quán)重都是由研究人員的共識(shí)來(lái)衡量的
在外地工作。
第 3 類證據(jù)還通過(guò)一組研究人員的共識(shí)來(lái)衡量
理論（及其哲學(xué)），而是源于對(duì)內(nèi)在本質(zhì)的分析
超宇宙計(jì)劃
由最大迭代概念表示的集合概念的極大性特征。超宇宙計(jì)劃提供了一種推導(dǎo)數(shù)學(xué)的策略
這種觀念的后果。
為了更清楚地說(shuō)明 HP 如何得出最大值的結(jié)果
V 的我將討論#- Generation 的情況以及對(duì)最佳最大值的搜索
標(biāo)準(zhǔn)。
#一代是惠普的一大成功。它為高度最大值提供了強(qiáng)大的數(shù)學(xué)標(biāo)準(zhǔn)，這意味著所有先前已知的高度最大值
原理并提供了關(guān)于如何最大化 V 的高度的優(yōu)雅描述
類似于通過(guò)大基數(shù)的存在（或等效地，通過(guò) 0# 的存在）使 L 的高度最大化的方式。有充分的理由相信
#- Generation 將被集合論學(xué)家和哲學(xué)家社區(qū)接受
集合論作為高度極大值的明確表達(dá)。
寬度最大值當(dāng)然比高度最大值困難得多，
各種可能的寬度最大值的制定、分析和綜合
標(biāo)準(zhǔn)尚處于早期階段?；镜?IMH 是一個(gè)好的開始，但必須綜合起來(lái)
與#一代。目前最大的挑戰(zhàn)是處理配方
使用參數(shù)的寬度最大值。最大協(xié)議是
一個(gè)有前途的方法。但需要強(qiáng)調(diào)的是，數(shù)學(xué)上
寬度最大原則的分析具有挑戰(zhàn)性，并且肯定存在一些問(wèn)題
程序開發(fā)中出現(xiàn)錯(cuò)誤，導(dǎo)致網(wǎng)絡(luò)原則不一致
（這種情況已經(jīng)發(fā)生過(guò)好幾次了）。這種錯(cuò)誤的轉(zhuǎn)彎不會(huì)損害
該計(jì)劃，而是提供對(duì)本質(zhì)的有價(jià)值的進(jìn)一步理解
最大化。
HP 的目標(biāo)是經(jīng)過(guò)大量數(shù)學(xué)工作后得出最佳結(jié)果
集合域的高度和寬度的極大值準(zhǔn)則，提供
最大迭代概念的完整數(shù)學(xué)分析。正如已經(jīng)說(shuō)過(guò)的，
這種標(biāo)準(zhǔn)是否最佳的驗(yàn)證取決于研究人員的共識(shí)
研究集合論及其哲學(xué)。最大迭代的可導(dǎo)性
概念指的是這種廣受追捧的最佳標(biāo)準(zhǔn)的形式推導(dǎo)性。的
最有趣的是從極大性導(dǎo)出的一階陳述，但它是
已經(jīng)明確該計(jì)劃中正在制定的標(biāo)準(zhǔn)，例如
本文提到的幾乎都是非一階的。我的預(yù)測(cè)是
最佳標(biāo)準(zhǔn)將包括某種形式的 SIMH，因此意味著
CH 的（一階）失效。
弗里德曼
我仍然樂(lè)觀地認(rèn)為，當(dāng)這個(gè)計(jì)劃的發(fā)現(xiàn)結(jié)合起來(lái)時(shí)
隨著集合論的進(jìn)一步研究及其在解決其他數(shù)學(xué)領(lǐng)域的獨(dú)立性問(wèn)題中的應(yīng)用，論文所表達(dá)的預(yù)測(cè)
集合論真理將得到令人滿意的實(shí)現(xiàn)。但首先有很多工作要做
做完了。
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R.Solovay 和 H.Woodin）。
已收到\j已收到
