一、整體感受：這類一致連續(xù)題目，和day11連起來，都屬于非常經(jīng)典的書中習題，這類“結論題”，要做到拿來會默。

二、本質：仍然是計算題，想要提高這類語言敘述題的水平，只能是多寫、多練。

三、具體題目

（一）北京工業(yè)大學、廣西大學

很經(jīng)典，書中有原題。

思路：

1、先證明f+g一致連續(xù)，用一下一致連續(xù)定義就可以了。

2、再舉出反例說明f*g不一定一致連續(xù)。注意不一致連續(xù)的說明，如何取ε0，是任取δ’，x'=1/δ'+δ'/2，x''=1/δ’這些細節(jié)書寫清楚.? ?

（二）哈工大

也很經(jīng)典，也是書上定理。

關鍵點：這里g(x)有界是關鍵點。

第一問思路：

1、利用題干中g(x)有界定義，可以存在一個M

2、使用f(x)連續(xù)，由于這里存在符合，可以把這個f(x)連續(xù)看成f(u)連續(xù)，這里把u看成g(x).利用在R上連續(xù)，必然在閉區(qū)間[-M,M]上連續(xù)，必然一致連續(xù)。寫出在這個范圍中一致連續(xù)的定義，注意是關于u',u''的。這里取的一個δ'>0在下面的證明過程很重要

3、利用g(x)一致連續(xù)的定義，寫出來，此時一致連續(xù)中的ε就是上述的δ'.

4、注意到這里g(x'),g(x'')∈[-M,M]，便可利用2中一致連續(xù)的結論得出最后要證明的復合函數(shù)的一致連續(xù)性

第二問思路：

舉反例，取f(x)=x^2,g(x)=x,取xn=(n+1)^(1/2),yn=n^(1/2),不滿足一致收斂的充要條件，可見day11有補充該一致收斂的充要條件

（三）重慶大學

很經(jīng)典的結論題，基本每本數(shù)分參考書、裴禮文上面也有。

說明：

1、這里證充要條件，對于“有界”這個條件只有在證充分條件的時候才使用到；

2、對于無窮區(qū)間也有一樣的結果.

問題轉化：實際上想讓你證明的是：

“有界區(qū)間上一致連續(xù)”←→“f(x)可把Cauchy列映成Cauchy列”

思路：

1、必要性證明：證明必要性簡單，只要寫出一致連續(xù)的定義，然后再寫出Cauchy數(shù)列的定義，使得an,am之差符合上面所說的自變量之差小于δ，便可得到f(an)也是Cauchy數(shù)列。

2、充分性證明：利用“f(x)可把Cauchy列映成Cauchy列”，采取反證法，寫出非一致連續(xù)的定義（注意學習怎么寫）。然后依次取δ=1/n(n=1,2,3,....),是δ依次取，不是xn依次取，這一點特別注意。存在xn,yn∈I，雖然滿足|xn-yn|＜δ=1/n,但是|f(xn)-f(yn)|≥ε0.再由I的有界，利用有界函數(shù)必有收斂子列｛xnk｝，由于|xn-yn|＜δ=1/n→0（n→∞），所以｛yn｝中也有相應的子列｛ynk｝,也收斂于相同的極限。

所以記一個新數(shù)列｛zn｝：xn1,yn1,...,xnk,ynk,....由于｛zn｝收斂，得出其為Cauchy列。

但是｛f(zn)｝:f(xn1),f(yn1),....,f(xnk),f(ynk),.....而之前已經(jīng)有|f(xnk)-f(ynk)|≥ε0，所以不是Cauchy列，這與題干中寫的“f(x)可把Cauchy列映成Cauchy列”矛盾了，所以假設錯誤，說明f(x)在I上一致連續(xù)。

四、需要學習的，未掌握的

1、Cauchy列定義？

2、Cauchy列的充要條件？

一個數(shù)列收斂的充分必要條件是它是Cauchy列（基本列）