升壓拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)在功率電子領(lǐng)域非常重要，但是電感值的選擇并不總是像通常假設(shè)的那樣簡(jiǎn)單。在 dc - dc 升壓轉(zhuǎn)換器中，所選電感值會(huì)影響輸入電流紋波、輸出電容大小和瞬態(tài)響應(yīng)。選擇正確的電感值有助于優(yōu)化轉(zhuǎn)換器尺寸與成本，并確保在所需的導(dǎo)通模式下工作。本文講述的是在一定范圍的輸入電壓下，計(jì)算電感值以維持所需紋波電流和所選導(dǎo)通模式的方法，并介紹了一種用于計(jì)算輸入電壓上限和下限模式邊界的數(shù)學(xué)方法。

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導(dǎo)通模式

升壓轉(zhuǎn)換器的導(dǎo)通模式由相對(duì)于直流輸入電流 (I) 的電感紋波電流峰峰值 (ΔI) 的大小決定。這個(gè)比率可定義為電感紋波系數(shù) (K)。電感越高，紋波電流和 K 就越低。

??(1) ， 其中 ???(2)
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在連續(xù)導(dǎo)通模式 (CCM) 中，正常開關(guān)周期內(nèi)，瞬時(shí)電感電流不會(huì)達(dá)到零 (圖1)。因此，當(dāng) ΔI 小于 I 的2倍或 K?<2時(shí)，CCM 維持不變。MOSFET 或二極管必須以 CCM 導(dǎo)通。這種模式通常適用于中等功率和高功率轉(zhuǎn)換器，以最大限度地降低元件中電流的峰值和均方根值。當(dāng) K?> 2 且每個(gè)開關(guān)周期內(nèi)都允許電感電流衰減到零時(shí)，會(huì)出現(xiàn)非連續(xù)導(dǎo)通模式 (DCM) (圖2)。直到下一個(gè)開關(guān)周期開始前，電感電流保持為零，二極管和 MOSFET 都不導(dǎo)通。這一非導(dǎo)通時(shí)間即稱為 tidle。DCM 可提供更低的電感值，并避免輸出二極管反向恢復(fù)損耗。
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圖1?– CCM 運(yùn)行
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圖2?– DCM 運(yùn)行

當(dāng) K?= 2 時(shí)，轉(zhuǎn)換器被認(rèn)為處于臨界導(dǎo)通模式 (CrCM) 或邊界導(dǎo)通模式 (BCM)。在這種模式下，電感電流在周期結(jié)束時(shí)達(dá)到零，正如 MOSFET 會(huì)在下一周期開始時(shí)導(dǎo)通。對(duì)于需要一定范圍輸入電壓 ( V）的應(yīng)用，固定頻率轉(zhuǎn)換器通常在設(shè)計(jì)上能夠在最大負(fù)載的情況下在指定 V 范圍內(nèi)，以所需要的單一導(dǎo)通模式 (CCM 或 DCM) 工作。隨著負(fù)載減少，CCM 轉(zhuǎn)換器最終將進(jìn)入 DCM 工作。在給定 V 下，使導(dǎo)通模式發(fā)生變化的負(fù)載就是臨界負(fù)載（I）。在給定 V 下，引發(fā) CrCM / BCM 的電感值被稱為臨界電感（L），通常發(fā)生于最大負(fù)載的情況下。

紋波電流與 VIN

眾所周知，當(dāng)輸入電壓為輸出電壓 (V) 的一半時(shí)，即占空比 (D) 為50％時(shí) (圖3)，在連續(xù)導(dǎo)通模式下以固定輸出電壓工作的 DC－DC 升壓轉(zhuǎn)換器的電感紋波電流最大值就會(huì)出現(xiàn)。這可以通過(guò)數(shù)學(xué)方式來(lái)表示，即設(shè)置紋波電流相對(duì)于 D 的導(dǎo)數(shù) (切線的斜率) 等于零，并對(duì) D 求解。簡(jiǎn)單起見(jiàn)，假定轉(zhuǎn)換器能效為100％。

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根據(jù)???(3)、??(4) 和???(5),
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并通過(guò) CCM 或 CrCM 的電感伏秒平衡??(6),
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則???(7).
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將導(dǎo)數(shù)設(shè)置為零, ????(8)
我們就能得出???(9). ?
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圖3?– CCM 中的電感紋波電流

CCM 工作

為了選擇 CCM 升壓轉(zhuǎn)換器的電感值 (L)，需要選擇最高 K 值，確保整個(gè)輸入電壓范圍內(nèi)都能夠以 CCM 工作，并避免峰值電流受 MOSFET、二極管和輸出電容影響。然后計(jì)算得出最小電感值。K最高值通常選在0.3和0.6之間，但對(duì)于 CCM 可以高達(dá)2.0。如前所述，當(dāng) D = 0.5 時(shí)，出現(xiàn)紋波電流 ΔI 最大值。那么，多少占空比的情況下會(huì)出現(xiàn) K 最大值呢？我們可以通過(guò)派生方法來(lái)求得。

假設(shè) η = 100%， 則???(10), ?
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然后將(2)、(6)、(7) 和 (10) 代入(1) ，得出:
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?(11) ?????????????????????????
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??(12). ?
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對(duì) D 求解，可得??(13).

D = 1 這一偽解可被忽略，因?yàn)樗诜€(wěn)態(tài)下實(shí)際上是不可能出現(xiàn)的 (對(duì)于升壓轉(zhuǎn)換器，占空比必須小于1.0)。因此，當(dāng) D =? 或 V?= ?V 時(shí)的紋波因數(shù) K 最高，如圖4所示。使用同樣的方法還能得出在同一點(diǎn)的最大值 L、L 和 I。
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圖4?– 當(dāng) D =? 時(shí) CCM 紋波系數(shù) K 最高值

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對(duì)于 CCM 工作，最小電感值 (L)應(yīng)在最接近 ? V 的實(shí)際工作輸入電壓 (V) 下進(jìn)行計(jì)算。根據(jù)應(yīng)用的具體輸入電壓范圍，V 可能出現(xiàn)在最小 V、最大 V、或其間的某個(gè)位置。解方程 (5) 求 L，并根據(jù) V下的 K 重新計(jì)算，可得出

??(14)，其中 V 為最接近?V 的實(shí)際工作 V。??
???
對(duì)于臨界電感與 V?和 I 的變化，KRF?= 2，可得出
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??(15).
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在給定 V?和 L 值的條件下，當(dāng) K?= 2時(shí)，即出現(xiàn)臨界負(fù)載 (I)：
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??(16)
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DCM 工作?

如圖5所示，在一定工作 V和輸出電流 (I) 下的電感值小于 L時(shí)，DCM 模式工作保持不變。對(duì)于 DCM 轉(zhuǎn)換器，可選擇最短的空閑時(shí)間以確保整個(gè)輸入電壓范圍內(nèi)均為 DCM 工作。tidle 最小值通常為開關(guān)周期的3％-5％，但可能會(huì)更長(zhǎng)，代價(jià)是器件峰值電流升高。然后采用 tidle 最小值來(lái)計(jì)算最大電感值 (L)。L 必須低于 V 范圍內(nèi)的最低 L。對(duì)于給定的 V，電感值等于 L(tidle= 0) 時(shí)引發(fā) CrCM。

圖5?– L?與標(biāo)準(zhǔn)化 V?的變化

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為計(jì)算所選最小空閑時(shí)間 (tidle) 的 L，首先使用 DCM 伏秒平衡方程求出 t (所允許的 MOSFET 導(dǎo)通時(shí)間最大值) 與 V 的函數(shù)，其中 t 為電感放電時(shí)間。
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??(17)，其中

???(18)
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可得出
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??(19).
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平均 (直流) 電感電流等于轉(zhuǎn)換器直流輸入電流，通過(guò)重新排列 (17)，可得出 t 相對(duì)于 t 的函數(shù)。簡(jiǎn)單起見(jiàn)，我們將再次假設(shè) P?= P。
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??(20) ，其中??(21).
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將方程 (3)、(5)、(10)、(19) 和 (21) 代入 (20)，求得 V 下的 L
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??(22).
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L 遵循類似于 L?的曲線，且同在 V?= ?V時(shí)達(dá)到峰值。為確保最小 tidle，要計(jì)算與此工作點(diǎn)相反的實(shí)際工作輸入電壓 (V ) 下的最低 L 值。根據(jù)應(yīng)用的實(shí)際輸入電壓范圍，V 將等于最小或最大工作 V。若整體輸入電壓范圍高于或低于 ? V（含? V），則 V 是距 ? V 最遠(yuǎn)的輸入電壓。若輸入電壓范圍覆蓋到了 ? V，則在最小和最大 V 處計(jì)算電感，并選擇較低 (最差情況下) 的電感值?；蛘?，以圖表方式對(duì) V 進(jìn)行評(píng)估，以確定最差情況。
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輸入電壓模式邊界?

當(dāng)升壓轉(zhuǎn)換器的輸出電流小于 I 與 V

的最大值時(shí)，如果輸入電壓增加到高于上限模式邊界或下降到低于下限模式邊界，即 I 大于 I 時(shí)，則將引發(fā) CCM 工作。而 DCM 工作則發(fā)生于兩個(gè) V 的模式邊界之間，即 I 小于 I 時(shí)。要想以圖表方式呈現(xiàn) V 下的這些導(dǎo)通模式邊界，在相同圖表中繪制臨界負(fù)載 (使用所選電感器) 與輸入電壓和相關(guān)輸出電流的變化曲線。然后在 X 軸上找到與兩條曲線相交的兩個(gè) V 值 (圖6)。

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圖6?– 輸入電壓模式邊界

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要想以代數(shù)方式呈現(xiàn) V 的模式邊界，首先將臨界負(fù)載的表達(dá)式設(shè)置為等于相關(guān)輸出電流，以查找交點(diǎn)：
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??(23).
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這可以重寫為一個(gè)三次方程，K 可通過(guò)常數(shù)計(jì)算得出
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??(24) ????其中

??(25).
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這里，三次方程通式 x3 + ax2 + bx + c = 0 的三個(gè)解可通過(guò)三次方程的三角函數(shù)解法得出 [1] [2]。在此情況下，x1 項(xiàng)的“b”系數(shù)為零。我們將解定義為矢量 V。
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我們知道
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??(26)、 ?

????(27)、 ??以及

??(28),
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????(29).
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由于升壓轉(zhuǎn)換器的物理限制，任何 V?≤ 0或V?> V 的解均可忽略。兩個(gè)正解均為模式邊界處 V的有效值。
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模式邊界 – 設(shè)計(jì)示例?

我們假設(shè)一個(gè)具有以下規(guī)格的 DCM 升壓轉(zhuǎn)換器：

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V ?= 12 V
I ?= 1 A
L ?= 6 μH
F?= 100 kHz
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首先，通過(guò) (25) 和 (28) 計(jì)算得出 K和 θ：
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將 V 和計(jì)算所得的 θ 值代入 (29)，得出模式邊界處的 V 值：
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忽略偽解 (-3.36 V)，我們?cè)?4.95 V 和 10.40 V 得到兩個(gè)輸入電壓模式邊界。這些計(jì)算值與圖7所示的交點(diǎn)相符。
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圖7?– 計(jì)算得出的模式邊界

結(jié)論?

電感值會(huì)影響升壓轉(zhuǎn)換器的諸多方面，若選擇不當(dāng)，可能會(huì)導(dǎo)致成本過(guò)高、尺寸過(guò)大、或性能不佳。通過(guò)了解電感值、紋波電流、占空比和導(dǎo)通模式之間的關(guān)系，設(shè)計(jì)人員就能夠確保輸入電壓范圍內(nèi)的所需性能。

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參考文獻(xiàn)?

[1]?H. W. Turnbull, Theory of Equations, Chapter IX, Edinburgh & London: Oliver and Boyd, 1952.

[2]?I. J. Zucker, "The cubic equation - a new look at the irreducible case,"?The Mathematical Gazette,?vol. 92, no. 524, pp. 264-268, July 2008.

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