中國古代數(shù)學(xué)基本是在自然數(shù)框架下進行的。雖然中國最早認(rèn)識到負(fù)數(shù)、分?jǐn)?shù)、無理數(shù)、實數(shù)，但歷代算學(xué)家們最感興趣的仍是自然數(shù)。這一方面是計算工具導(dǎo)致的，不論籌算還是珠算，都要將實數(shù)化為有理數(shù)、再化為自然數(shù)。另一方面，也是因任何實測的結(jié)果本質(zhì)上都是自然數(shù)，無論你是度量、還是權(quán)衡，測量的數(shù)據(jù)總是最小刻度的整數(shù)倍。所以，中國古代數(shù)學(xué)有一個非常重要的概念，就是“率”，大家熟知的，有比率、概率、圓周率等等。所謂率，用現(xiàn)代話說，就是無量綱數(shù)。經(jīng)典物理中的“單位”在古代數(shù)學(xué)（現(xiàn)代物理中亦然）中是非常不重要的，所有的數(shù)學(xué)討論都要無量綱化。

之所以允許使用率，是跟秦始皇統(tǒng)一度量衡有關(guān)。中國的歷朝歷代，都有統(tǒng)一度量衡的傳統(tǒng)，所有天下的匠人都能在同一個標(biāo)準(zhǔn)下工作。像《營造法式》一開篇就講度量衡的標(biāo)準(zhǔn)，基本采用《唐六典》的規(guī)制。西方自然科學(xué)之所以強調(diào)單位，與他們的國家小、單位制始終不統(tǒng)一有關(guān)。因此可以這樣說，是文化源流的不同導(dǎo)致了科學(xué)范式的這種根本性差異。

由于是基于“率”的數(shù)學(xué)，單位不重要了，所以單用自然數(shù)來討論自然規(guī)律就變得非常自然。真要運用于實際時，只需要在率上面乘以相應(yīng)的乘率（單位）即可。正是由于以上原因，中國古代數(shù)學(xué)中，一個最重要的討論對象，就是余數(shù)。

余數(shù)的物理意義，從我們現(xiàn)代觀點來看，就是測量誤差。假設(shè)，一把尺子的最小刻度為5公分，那么1、2、3、4公分用這把尺子是無法測量出的，它們都是5的余數(shù)。討論余數(shù)在中國人的哲學(xué)觀中意義重大。正如我們討論占卜時候說的，占卜是在信息不充分的情況下，利用概率來決疑。而占卜當(dāng)中用的最多的，就是余數(shù)。

事實上，余數(shù)的出現(xiàn)，正是信息獲取不充分的結(jié)果。當(dāng)一個事物，我們無法認(rèn)清其內(nèi)部結(jié)構(gòu)時，可以把它看成一個黑匣子，利用能夠測量出的最小數(shù)據(jù)，再對這個數(shù)據(jù)的余數(shù)進行分析，就能從理性上判斷出這個事物可能的屬性。

最典型的一個案例，就是河圖洛書?！昂映鰣D，洛出書，圣人則之”，這一句話讓千百年來眾多智者想破了腦袋。到底什么是河圖、什么是洛書，這一直是爭議無窮的問題。

我這里采用宋朝版本的河洛。所謂河圖，就是把5和10兩個數(shù)字放在中間，1和6放下面，2和7放上面，3和8放左邊，4和9放右邊。所謂洛書，就是俗稱的九宮格。即

4 9 2

3 5 7

8 1 6

這個九宮格有兩種方法獲得，一種是把123456789按順序斜放成菱形，然后19、37交換即得，另一種，是把9個自然數(shù)倒序排，然后28、46交換即得。很顯然容易看出，這個正方形格子里，不管橫排、豎排、斜排的三個數(shù)字，求和均為15。

說實話，現(xiàn)代人看這個東西，真心覺得有點小兒科。這無非是把基本自然數(shù)做了一些簡單的排列組合啊，這有什么神奇之處，為什么歷代易學(xué)家們要殫精竭慮，還要號稱“河洛”是周易象數(shù)學(xué)的祖宗？

為了找到問題的答案，我也不知翻了多少書，后來總算有一點心得。

首先，河洛是一個整體，河圖是本、洛書是用，河圖主靜、洛書主動，河圖數(shù)至10，窮盡了十進制的基本自然數(shù)，洛書至9，則是窮盡所有用數(shù)。

其次，河圖本質(zhì)上是一個體現(xiàn)同余的圖案。如果以5為模，那么1和6、2和7、3和8、4和9、5和10，均是同余數(shù)。如果把這10個數(shù)字組成一個加法模10的整數(shù)群（Z10），很容易發(fā)現(xiàn)，這個整數(shù)群有兩個正規(guī)子群，也就是{5、10}和{2、4、6、8、10}，而且這兩個子群互不包含。前一個子群同構(gòu)于加法模2群（Z2），后一個同構(gòu)于加法模5群（Z5）。這樣的特征，使得我們可以將這十個數(shù)分別去和陰陽與五行對應(yīng)。或者說，我們可以用陰陽和五行分別對余數(shù)進行分類，就像我們在群論中所做的那樣。分類的思想在中國古代影響深遠，它和我們現(xiàn)代人用元素周期表對元素分類有許多異曲同工之處。

第三，洛書本質(zhì)上是定義了一系列的矢量集合。根據(jù)大衍之?dāng)?shù)的規(guī)則，天1生水，地6成之，這就相當(dāng)于定義了一個從1指向6的矢量。同理，也定義了從2指向7、從3指向8、從4指向9的矢量。把這幾個矢量畫在洛書上，實際是給出了一個五行的演化方向圖。

如果你認(rèn)為這就完了，那還遠遠沒到。河洛之學(xué)能夠講的門道實在是非常的多。若把上下左右四方的四個奇數(shù)一分為二，把相應(yīng)的一半分別放在其左右兩隅，再與相應(yīng)的數(shù)字相加，你會發(fā)現(xiàn)，東南、西南、東北、西北四隅的數(shù)字之和全是9！比起前面的九宮格，這可就相當(dāng)nontrivial了，基本上已經(jīng)有了現(xiàn)代直角坐標(biāo)系的雛形。事實上，洛書中定義的四方、四隅，本質(zhì)上就是坐標(biāo)系的概念，歷代數(shù)術(shù)都是按此討論的，只是我們沒有明確講出“坐標(biāo)系”這三個字罷了。

除了河洛，還有一個很多人很感興趣的東西，那就是易經(jīng)八卦。八卦到底是怎么來的，或者說，八卦里的陰陽爻到底是怎么來的，這說法不下十種吧。其中有一種我非常不滿的，就是郭沫若的說法。他說陽爻就是代表男根，陰爻就是代表女陰。這個觀點我不得不吐槽一下，誰家男根還能橫著長嗎？真要模擬男根樣，那也得是畫條豎線、而不是橫線吧？

我個人更傾向于認(rèn)為陰陽爻是來自木工活里的榫卯結(jié)構(gòu)。一方面，榫卯結(jié)構(gòu)出現(xiàn)得非常早，河姆渡就有這樣的考古遺跡，另一方面，榫卯結(jié)構(gòu)相互咬合的特性，很好地反映了陰陽互抱的原則。當(dāng)然，這只是我個人看法，姑妄聽之吧。

現(xiàn)代人一講周易八卦，馬上就會聯(lián)想到二進制。二進制是什么，加一倍法嘛，1、2、4、8、16……聽上去的確和二進制有許多相似之處。但馬上一定會有人說，這絕對是往自己臉上貼金。周易數(shù)卦到64就結(jié)束了，也沒往后進行，這和二進制現(xiàn)在在計算機上的用處，相去太遠。如果你是這樣理解加一倍法的，那就太天真了。到底什么才是真正的加一倍法？

我們把1、2、4、8、16按這樣的規(guī)則拆開來，即

1

11

121

1331

14641

……

其中，每一行所有數(shù)字的和，正是1、2、4、8、16……你一定會問，我為什么要做這樣的拆分呢？很簡單，這里的每一行，除了數(shù)字相加正是加一倍法外，還有一個特征，它們都是11的冪。即，分別是11的0次、1次、2次、3次、4次冪。11對應(yīng)的是2，其相應(yīng)的0次、1次、2次、3次、4次冪正是1、2、4、8、16。是不是很神奇？而最神奇的地方是，上面這個東西正是我們說的楊輝三角。楊輝三角是三角垛積術(shù)的基礎(chǔ)，利用這個垛積術(shù)，就可以立即求出各種曲線的微積分，從而建立整個現(xiàn)代數(shù)學(xué)體系。所以周易八卦并非我們所想的那么簡單。

最后再說幾句勾股術(shù)。在傳說中幾百種證明的方式中，趙爽對勾股定理的證明無疑是最簡單明確的。勾股術(shù)的應(yīng)用前面其實已經(jīng)提到了許多，不必再過度重復(fù)。這里既然講自然數(shù)，就講一講中國古人怨念最深的那個數(shù)吧，大衍之?dāng)?shù)。周易系辭中有一句話，叫“大衍之?dāng)?shù)五十，其用四十有九”。這里的大衍之?dāng)?shù)，就是天地之?dāng)?shù)，是天地的極限。但是，原文中到此為止，并沒有提及這個大衍之?dāng)?shù)50是怎么確定的。于是，歷朝歷代的象數(shù)大家們，便殫精竭慮，窮盡各種可能的加減乘除組合，要將這個大衍數(shù)給出更加本原的解釋。

以朱熹為例，他牽強附會的能力無敵到極限。他給出的解釋是，一個邊長為7的正方形，中間內(nèi)切一個直徑為7的圓形，正方形變長為28，圓形周長為22（取九章算術(shù)給出的圓周率密率22/7），于是兩者相加就是50。另一方面，由于正方形的面積恰是7*7=49，即大衍之?dāng)?shù)的用數(shù)，于是朱熹認(rèn)為，他完美地解釋了大衍之?dāng)?shù)的來源。

在大衍之?dāng)?shù)的眾多解釋中，朱熹的解釋確實有許多出彩的地方，畢竟他將圓和方這兩個最重要的東西結(jié)合在了一起。圓和方對于中國古代的重要性，主要體現(xiàn)在工匠制作上。木工制作中，無非是割圓取方、或破方取圓。比如，一根圓木要切成正方形，就涉及方形外接圓的問題。由于方圓的重要性，制作方圓的規(guī)矩也成為了最重要的工具，方圓也被賦予了天地的含義。所以朱熹用方圓的周長來解釋大衍之?dāng)?shù)，的確相當(dāng)有創(chuàng)造性。

不過，我個人還是傾向于認(rèn)為大衍之?dāng)?shù)就是來源于勾股術(shù)。很簡單，勾三股四弦五，三者平方相加，正是50。勾股是中國古代數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，三四五又是自然數(shù)中最基本的勾股數(shù)，以其作為大衍之?dāng)?shù)，是最直觀且容易想到的。同樣，這只是一家之言，姑妄聽之吧。

中國人對于數(shù)目字的天賦，蘊含在我們的文字基因中。我們從小就背九九乘法表，可你見過外國人背這個的嗎？eight eight sixty four，是不是聽著就覺得別扭。中國古代沒有出現(xiàn)像阿拉伯?dāng)?shù)字那樣簡易的計數(shù)法，原因是我們總是把數(shù)字推到極其簡單的少數(shù)幾個數(shù)字上，而大多數(shù)的運算則都放在了計算工具中。我們對于自然數(shù)執(zhí)著地問詢了數(shù)千年、玩耍了數(shù)千年、附會了數(shù)千年、追求了數(shù)千年，以至于每一個自然數(shù)都有了它不一樣的文化含義。今天，我們已經(jīng)進入了真正的數(shù)字化時代，我們這個民族、這個當(dāng)之無愧的數(shù)字化的民族，沒理由不在這個時代重新崛起。