【趣味數(shù)學(xué)題】比值審斂法

2021-10-13 19:40 作者:AoiSTZ23 0人讀過 | 我要投稿

鄭濤（Tao Steven Zheng）著

【問題】

題一：考慮下面的無窮級(jí)數(shù)。使用比值審斂法（ratio test）來確定各無窮級(jí)數(shù)是收斂還是發(fā)散的級(jí)數(shù)。

（1） $%5Csum_%7Bn%3D1%7D%5E%5Cinfty%5Cfrac%7Bn%7D%7B2%5En%7D%20$

（2） $%20%5Csum_%7Bn%3D1%7D%5E%5Cinfty%5Cfrac%7B2%5En%7D%7Bn%7D%20$

題二： 求以下無窮級(jí)數(shù)的收斂半徑（radius of convergence）和收斂區(qū)間（interval of convergence）。

$%5Csum_%7Bn%3D1%7D%5E%5Cinfty%5Cfrac%7B4%5En%7D%7Bn%7D(x-3)%5En%20$

【題解】

題一
（1）
$%5Clim_%7Bn%5Cto%5Cinfty%7D%20%5Cleft%7C%20%5Cfrac%7Ba_%7Bn%2B1%7D%7D%7Ba_n%7D%20%5Cright%7C%20$

$%5Clim_%7Bn%5Cto%5Cinfty%7D%20%5Cleft%7C%20%5Cfrac%7B%5Cfrac%7Bn%2B1%7D%7B2%5E%7Bn%2B1%7D%7D%7D%7B%5Cfrac%7Bn%7D%7B2%5En%7D%7D%5Cright%7C$

$%5Clim_%7Bn%5Cto%5Cinfty%7D%20%5Cleft%7C%20%5Cfrac%7Bn%2B1%7D%7B2n%7D%20%5Cright%7C%20%3D%20%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%20$

由于該極限小于1，因此級(jí)數(shù)收斂。

（2）
$%20%5Clim_%7Bn%5Cto%5Cinfty%7D%20%5Cleft%7C%20%5Cfrac%7Ba_%7Bn%2B1%7D%7D%7Ba_n%7D%20%5Cright%7C%20$

$%5Clim_%7Bn%5Cto%5Cinfty%7D%20%5Cleft%7C%20%5Cfrac%7B%5Cfrac%7B2%5E%7Bn%2B1%7D%7D%7Bn%2B1%7D%7D%7B%5Cfrac%7B2%5En%7D%7Bn%7D%7D%20%5Cright%7C%20$

$%5Clim_%7Bn%5Cto%5Cinfty%7D%20%5Cleft%7C%20%5Cfrac%7B2n%7D%7Bn%2B1%7D%20%5Cright%7C%20%3D%202%20$

由于該極限大于1，因此級(jí)數(shù)發(fā)散。

題二

$%5Clim_%7Bn%5Cto%5Cinfty%7D%20%5Cleft%7C%20%5Cfrac%7Ba_%7Bn%2B1%7D%7D%7Ba_n%7D%20%5Cright%7C%20%3C%201%20$

$%20%5Clim_%7Bn%5Cto%5Cinfty%7D%20%5Cleft%7C%20%5Cfrac%7B4%5E%7Bn%2B1%7D%7D%7Bn%2B1%7D%20%7B(x-3)%7D%5E%7Bn%2B1%7D%20%5Ccdot%20%5Cfrac%7Bn%7D%7B4%5En%20%7B(x-3)%7D%5E%7Bn%7D%7D%20%5Cright%7C%20%3C%201$

$%5Clim_%7Bn%5Cto%5Cinfty%7D%20%5Cleft%7C%20%5Cfrac%7B4n%7D%7Bn%2B1%7D(x-3)%20%5Cright%7C%20%3C%201$

$%20%5Clim_%7Bn%5Cto%5Cinfty%7D%20%5Cleft%7C%20%5Cfrac%7B4n%7D%7Bn%2B1%7D%5Cright%7C%20%7Cx-3%7C%20%3C%201$

$%204%7Cx-3%7C%20%3C%201%20$

$%20%7Cx-3%7C%20%3C%20%5Cfrac%7B1%7D%7B4%7D$

我們發(fā)現(xiàn)收斂半徑為 $%20R%20%3D%20%5Cfrac%7B1%7D%7B4%7D$ 。

求解收斂區(qū)間

$%5Cfrac%7B-1%7D%7B4%7D%20%3C%20x-3%20%3C%20%5Cfrac%7B1%7D%7B4%7D$

$%5Cfrac%7B11%7D%7B4%7D%20%3C%20x%20%3C%20%5Cfrac%7B13%7D%7B4%7D%20$

這是比值審斂法得出的結(jié)論，但是我們還要確定每個(gè)端點(diǎn)是否收斂。所以我們必須應(yīng)用其他方法。

端點(diǎn)（一）：? $x%3D%5Cfrac%7B11%7D%7B4%7D$

$%20%5Csum_%7Bn%3D1%7D%5E%5Cinfty%5Cfrac%7B4%5En%7D%7Bn%7D%7B%5Cleft(%5Cfrac%7B-1%7D%7B4%7D%5Cright)%7D%5E%7Bn%7D$

$%5Csum_%7Bn%3D1%7D%5E%5Cinfty%5Cfrac%7B(-1)%5En%7D%7Bn%7D%20$

通過交錯(cuò)級(jí)數(shù)判別法（alternating series test），該級(jí)數(shù)收斂。

端點(diǎn)（二）：? $x%20%3D%20%5Cfrac%7B13%7D%7B4%7D$

$%5Csum_%7Bn%3D1%7D%5E%5Cinfty%5Cfrac%7B4%5En%7D%7Bn%7D%7B%5Cleft(%5Cfrac%7B1%7D%7B4%7D%5Cright)%7D%5E%7Bn%7D$