一眼丁真，鑒定為高聯(lián)難度的水題

下面是做此題時的詳細(xì)思路（水200字）

老規(guī)矩，先審題：

顯然(C,B)(D,A)是兩組位似對應(yīng)點(diǎn)，這就存在許多平行（CP∥BO、DP∥AO）。

再看看要證明的是比例相等，這里做的時候沒有使用中線長公式，因為有些丑陋。故而我先從BC/AD入手，開始化簡。

BC/AD=BC/PO·PO/AD=CR/PR·PR/RD=CR/RD

本人轉(zhuǎn)化比例式很喜歡使用正弦定理，這里又自然轉(zhuǎn)化了一步：

BC/AD=CR/RD=CR/CP·DP/RD=sin∠CPR/sin∠R·sin∠R/sin∠DPR=sin∠CPR/sin∠DPR

轉(zhuǎn)化到這里，再觀察一下QM/QN，也用正弦表示一下，得：

QM/QN=sin∠QNM/sin∠QMN

若想要BC/AD=QM/QN，只需證明：

sin∠CPR/sin∠DPR=sin∠QNM/sin∠QMN

做個大膽猜測，會有∠CPR=∠QNM、∠DPR=180°-∠QMN嗎？

在這里有些卡住，似乎無從下手。

我再重新看了一下條件，發(fā)現(xiàn)O,P;Q,R成調(diào)和點(diǎn)列，M、N分別是BC、AD的中點(diǎn)，這兩個條件卻均未用到，如何使得中點(diǎn)統(tǒng)一起來呢？

在這里，腦海中突然浮現(xiàn)非常熟知的調(diào)和點(diǎn)列的性質(zhì)：

那就嘗試一下：以O(shè)P為直徑作○S（畫精確圖?。?，我們驚奇地發(fā)現(xiàn)M、N都在○S上！

但轉(zhuǎn)念一想，這并不奇怪，因為M、N不妨可看做是另一對位似對應(yīng)點(diǎn)。

那么在默認(rèn)上述猜測成立的情況下，與上述調(diào)和性質(zhì)統(tǒng)一，得到了兩對“子母型”相似，進(jìn)而得到相等的角∠SNQ=∠R=∠SMQ，進(jìn)而得到QMNS共圓，則∠CPR=∠QNM、∠DPR=180°-∠QMN是顯而易見的。

那么，只需證○S經(jīng)過M、N即可，這由梯形中位線是顯而易見的。但在這里想體現(xiàn)一下M、N作為位似對應(yīng)點(diǎn)的性質(zhì)，便使用了同一法進(jìn)行證明。

至此，本題結(jié)束，下面是完整過程：

P.S.此題真的可以拿去給初學(xué)調(diào)和與位似者練手，但別告訴他這是禁書55（笑）