這是一道我作業(yè)中遇到的題。我的第一反應(yīng)簡直和答案完全一致：S甲=圓柱底面面積，S乙=一個(gè)寬不大于2r，長為h的矩形。

但因?yàn)橹庇X，我遲疑了一下Really???？我腦中第一時(shí)間呈現(xiàn)的是這張圖

好，暫停一下，在具體解決問題之前，我們需要一些參數(shù)。

不妨設(shè)：r=甲乙圓柱半徑,h=甲乙圓柱高,H=切去部分的高度

答案使用了體積公式:甲的體積并沒有問題，但乙的切下部分從上到下不均勻。如果按答案的話算出的“ΔV乙”會(huì)比真實(shí)的“ΔV乙”大。所以S很明顯并不是截面的那個(gè)矩形，而應(yīng)該看成“月牙”的面積，高=h.

A-1:求S-思路

根據(jù)上述，主要問題已然明了：求“月牙”的面積S.

那么怎么求？半圓、圓的面積我們小學(xué)就學(xué)過，但這里的S是一個(gè)圓上用直線截下的一塊。我們已經(jīng)不能用初級(jí)方式去計(jì)算S了

求面積，在數(shù)學(xué)中有一個(gè)強(qiáng)大的工具：定積分。這時(shí)我們就應(yīng)第一時(shí)間想到它，因?yàn)橹灰澜馕鍪?、區(qū)間長就可以算出面積S。

A-2:求S-列式

首先我們要把整個(gè)圓放到平面直角坐標(biāo)系中，用x軸截取S，這樣比較方便。我們需要的差不多是這樣一個(gè)東西(圖A-2-I)

眾所周知，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

這里我們要讓圓下移(r-H),因?yàn)椤吧蠝p下加，左加右減”，則（PS:暫時(shí)先討論切去的高不大于半徑，其實(shí)算出這個(gè)，大于半徑的也就顯然了）

根據(jù)勾股定理，積分區(qū)間為

故

Emm…這個(gè)積分對(duì)于我還是有點(diǎn)難的

既然如此，不如將一個(gè)定積分拆解成拆成幾個(gè)不定積分，然后逐個(gè)擊破。

A-3:解S和ΔV乙

首先解第一項(xiàng)(∵r≥0,故原函數(shù)中的sgn(r)=1,省略)

代入，得

Step B-1:以具體數(shù)值比較ΔV甲與ΔV乙(H≤r,h=C_1,H=C_2)

根據(jù)上述，我們已知:

那么共有三個(gè)自變量:r=甲乙圓柱半徑,h=甲乙圓柱高,H=切去部分的高度.和兩個(gè)需要比較的因變量:ΔV甲,ΔV乙.本人能力有限，這步只能使用平面直角坐標(biāo)系中的圖像比較，即便如此，也需要剔除兩個(gè)自變量，不妨先設(shè)H,h為常數(shù)。

y=ΔV>0,x=r>0,H=2,h=10,H=2≤r=x,即僅考察第一象限或特定區(qū)域的圖像(下圖設(shè)非藍(lán)色區(qū)域?yàn)榭尚杏?/strong>)

為方便記憶，表達(dá)式很復(fù)雜的是ΔV乙，反之則是ΔV甲

很明顯的，當(dāng)2≤r<3.935…時(shí),ΔV甲<ΔV乙,符合題意;但當(dāng)r≥3.935…時(shí)ΔV甲≥ΔV乙

Step B-1.1:小總結(jié)

到這里，我們成功證明了“題目有BUG”為真命題。但我們讓“題目沒有BUG”，方法一很簡單：把“圓柱體”直接換成“矩體”。

方法二：不妨設(shè)ΔV甲<0.5V圓柱<ΔV乙.我形象地稱其為“參數(shù)比較法”，這里我們就不需要ΔV的表達(dá)式，在這里，0.5V圓柱將成為“參照物”，讓?duì)甲和ΔV乙與“參照物”比較，實(shí)現(xiàn)“曲線救國”(圖B-1.1-I),可得當(dāng)r<H<0.5h時(shí),ΔV甲<ΔV乙

雖然我們以及找到并解決了BUG，但我認(rèn)為我不該也不能止步于此。所以接下來，我們繼續(xù)從數(shù)值比較，在慢慢找到三變量之間數(shù)量關(guān)系對(duì)ΔV的影響

我知道這將非常困難，讓我直接解一個(gè)三元不等式是不可能的。接下來，必須全程依靠計(jì)算機(jī)的輔助

Step B-2:以具體數(shù)值比較ΔV甲與ΔV乙(H≤r,h=C_1,r=C_2)

同理，設(shè) y=ΔV>0,x=H>0,r=2,h=10,H≤r=2,即僅考察第一象限或特定區(qū)域的圖像

WOW!看來當(dāng)”r,h”確定時(shí),似乎是恒成立的

雖然很不明顯，但當(dāng)H很小時(shí)兩者大小發(fā)生了變化；并且隨H增大，差也會(huì)增大

Step C:標(biāo)量場(chǎng)

(r,h,H)=>(x,y,z)

應(yīng)該知道是什么意思

我也只是正為這個(gè)不等式發(fā)愁時(shí)偶然發(fā)現(xiàn)的標(biāo)量場(chǎng)——一個(gè)似曾相識(shí)的名詞

當(dāng)研究物理系統(tǒng)中溫度、壓力、密度等在一定空間內(nèi)的分布狀態(tài)時(shí)，數(shù)學(xué)上只需用一個(gè)代數(shù)量來描繪，這些代數(shù)量（即標(biāo)量函數(shù)）所定出的場(chǎng)就稱為數(shù)量場(chǎng)，也稱標(biāo)量場(chǎng)(www.baidu.com)

也就是說，在某一空間區(qū)域中，物理量的無窮集合[此處為(r,h,H)]表示一種場(chǎng)

我們此處使用實(shí)標(biāo)量場(chǎng)，僅考察第一卦限<=>(x,y,z)>0

此處用一個(gè)個(gè)紫色圓球表示標(biāo)量場(chǎng),最上方為z=1的平面，為演示單位長度，“覆蓋”在球上的面為F(x,y,z)=0

TIP:實(shí)際上球應(yīng)該是完全“覆蓋”在“里面”的，可能是用球表示點(diǎn)集導(dǎo)致的渲染問題

現(xiàn)在我們還缺H>r的討論，也沒那么復(fù)雜，只需在ΔV乙的表達(dá)式中將H替換成(2r-H)即可

然后就會(huì)發(fā)現(xiàn)非常的amazing啊，這個(gè)式子是”輪換對(duì)稱式”(并不符合嚴(yán)格定義，但有異曲同工之妙)

當(dāng)H>r時(shí),ΔV乙=V圓柱-ΔV乙(replaced)然后故計(jì)重施

整合

其實(shí)滿足ΔV甲<ΔV乙的區(qū)域大概也就一半模樣

D:總結(jié)

這個(gè)問題的后半(C)到這里也就不了了之，我不確定該不等式的解集，甚至不知道是否有明確的解集，像二元一次不等式用可行域表示也說不定?？傊畬?duì)于此，我想把這個(gè)問題留給以后

至于前半(AB)，我們也證明了“題目有BUG”并提出了改進(jìn)方法，此處不多作說明。

……

再會(huì)。

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