深探特征根的奧妙

2023-06-22 16:24 作者:現(xiàn)代微積分 0人讀過 | 我要投稿

在學(xué)習(xí)數(shù)列時(shí)我們會(huì)遇到這么一種遞推式，如： $a_1%3D1%2Ca_2%3D1%2Ca_%7Bn%2B2%7D-5a_%7Bn%2B1%7D%2B6a_n%3D0$

其對(duì)應(yīng)的特征根方程為 $t%5E2-5t%2B6%3D0$ ，求出特征根 $t_1%3D2%2Ct_2%3D3$ ，于是得出 $a_n%3DC_1%5Ccdot%202%5En%2BC_2%5Ccdot%203%5En$ ，然后...

"等等，你一步究竟是為什么呀?"

"你記住這么個(gè)結(jié)論就行了，方便于你解題，考試不用你推導(dǎo)!"

其實(shí)這是很多人都尚未解決的疑點(diǎn)，今兒不妨先脫離教條主義的束縛，讓我們一探究竟！

ps:筆者雖然還不知道前人究竟是怎么想到這個(gè)方法的，但我可以盡我所能把這其中的邏輯以及這個(gè)方法的合理性講清楚，詳見下文~

由于這是一個(gè)二階遞推，因此我們最初的想法是考慮將其移項(xiàng)化為

$a_%7Bn%2B2%7D%2B%5Clambda%20a_%7Bn%2B1%7D%3Dq(a_%7Bn%2B1%7D%2B%5Clambda%20a_%7Bn%7D)$ ，然后令 $%5Cleft%20%5C%7B%20a_%7Bn%2B1%7D%2B%5Clambda%20a_%7Bn%7D%20%5Cright%20%5C%7D%20$ 是等比數(shù)列完成初步降階

(也就是把含3項(xiàng)間的關(guān)系向含兩項(xiàng)間的關(guān)系轉(zhuǎn)化，降低難度)

因此，我們需要一個(gè)助手來幫我們化成上述形式，因此一位名叫"多項(xiàng)式"的助手來也！

請(qǐng)來的助手長這樣： $t%5E2-5t%2B6%3D0$

然后其進(jìn)行了如下的騷操作變換：

$%5Cbegin%7Balign*%7D%0A%26t%5E2-5t%2B6%3D0%5C%5C%0A%5CLeftrightarrow%20%26(t-2)(t-3)%3D0%5C%5C%0A%5CLeftrightarrow%20%26t(t-2)-3(t-2)%3D0%5C%5C%0A%5CLeftrightarrow%20%26t%5E2-2t%3D3(t-2)%5C%5C%0A%5Cend%7Balign*%7D$

"遞推式"小兄看后瞬間學(xué)會(huì)了，于是化成了

$a_%7Bn%2B2%7D-2a_%7Bn%2B1%7D%3D3(a_%7Bn%2B1%7D-2a_n)$

于是助手的這一幫助以巨大的成功告終！

但是...其實(shí)"遞推式"小兄很懶，因?yàn)樗豢吹搅酥?span id="s0sssss00s" class="color-pink-03">最開始和最后的模樣，不過我們還真得慶幸他在中間開小差了，畢竟中間的過程正是小兄學(xué)不會(huì)的！

ps:下面的文字可能會(huì)啰嗦繁瑣些，可以粗略瀏覽，后面那張圖是最重要的

這個(gè)故事我想了許久才造出來的，姑且就稱為《小兄的小差》吧，有些尬()

先來解釋下為什么助手能教會(huì)小兄？

這是助手的變形：

$%5Cbegin%7Balign*%7D%0A%26t%5E2-5t%2B6t%5E0%3D0%5C%5C%0A%5CLeftrightarrow%20%26(t-2t%5E0)(t-3t%5E0)%3D0%5C%5C%0A%5CLeftrightarrow%20%26t(t-2t%5E0)-3(t-2t%5E0)%3D0%5C%5C%0A%5CLeftrightarrow%20%26t%5E2-2t%3D3(t-2t%5E0)%5C%5C%0A%5Cend%7Balign*%7D$

由于每一步推導(dǎo)都是充要的，因此可以選擇省略中間過程，得：

$%5Cbegin%7Balign*%7D%0A%26t%5E2-5t%2B6t%5E0%3D0%5C%5C%0A%5CLeftrightarrow%20%26t%5E2-2t%3D3(t-2t%5E0)%5C%5C%0A%5Cend%7Balign*%7D$

現(xiàn)在我們把中間的過程先拋之腦后，但看上面這一推導(dǎo)。我們發(fā)現(xiàn)，如果將 $t%5E2%2Ct%5E1%2Ct%5E0$ 換成 $a_%7Bn%2B2%7D%2Ca_%7Bn%2B1%7D%2Ca_n$ ，那么這一推導(dǎo)的充要性依然成立

因?yàn)槲覀兛梢酝ㄟ^這么一條路徑完成：

$%5Cbegin%7Balign*%7D%0A%26t%5E2-2t%3D3(t-2t%5E0)%5C%5C%0A%5CLeftrightarrow%20%26t%5E2-2t%3D3t-6t%5E0%5C%5C%0A%5CLeftrightarrow%20%26t%5E2-5t%2B6t%5E0%3D0%5C%5C%0A%5Cend%7Balign*%7D$

在這條路徑中進(jìn)行上述的替換是沒有任何問題的，因?yàn)槎囗?xiàng)式的運(yùn)算可以提取系數(shù)①，拆解某一項(xiàng)(這里的拆解指如 $t%3D2t-t$ 這種運(yùn)算)②。而①②運(yùn)用到遞推式中也是可行的，因此，類比上式，我們進(jìn)行替換得到：

$%5Cbegin%7Balign*%7D%0A%26a_%7Bn%2B2%7D-2a_%7Bn%2B1%7D%3D3(a_%7Bn%2B1%7D-2a_n)%5C%5C%0A%5CLeftrightarrow%20%26a_%7Bn%2B2%7D-2a_%7Bn%2B1%7D%3D3a_%7Bn%2B1%7D-6a_n%5C%5C%0A%5CLeftrightarrow%20%26a_%7Bn%2B2%7D-5a_%7Bn%2B1%7D%2B6a_n%3D0%5C%5C%0A%5Cend%7Balign*%7D$

嗯，這很完美！但關(guān)鍵問題來了，既然助手能幫上忙，那為啥又不讓小兄從頭到尾學(xué)完呢？

有意思的是我們請(qǐng)來的助手雖看上去像個(gè)形式記號(hào)

(瞧上文，不就是把 $t%5E2%2Ct%5E1%2Ct%5E0$ 換成 $a_%7Bn%2B2%7D%2Ca_%7Bn%2B1%7D%2Ca_n$ 嘛，這么簡單小兄當(dāng)然能學(xué)會(huì)了)

但我們利用的正是形式記號(hào)不同于原先遞推式的功能！

我們來看到助手中這詭異的第二步！

$%5Cbegin%7Balign*%7D%0A%26t%5E2-5t%2B6t%5E0%3D0%5C%5C%0A%5CLeftrightarrow%20%26%5Cboxed%7B(t-2t%5E0)(t-3t%5E0)%3D0%7D%5C%5C%0A%5CLeftrightarrow%20%26t(t-2t%5E0)-3(t-2t%5E0)%3D0%5C%5C%0A%5CLeftrightarrow%20%26t%5E2-2t%3D3(t-2t%5E0)%5C%5C%0A%5Cend%7Balign*%7D$

他居然會(huì)因式分解！

這點(diǎn)就無法被小兄學(xué)到，因?yàn)?strong>把一個(gè)高次式分成若干個(gè)低次式是助手的獨(dú)有功能，如 $t%5E2%3Dt%5Ccdot%20t$ ，而遞推式中的 $a_%7Bn%2B2%7D%2Ca_%7Bn%2B1%7D%2Ca_n$ 只是一次的，因此 $a_%7Bn%2B2%7D%3Da_%7Bn%2B1%7Da_%7Bn%2B1%7D$ 這種明顯就違背遞推式的運(yùn)算法則了，遞推式是一次，只能進(jìn)行前文提到的兩種運(yùn)算：提取系數(shù)①，拆解某一項(xiàng)(這里的拆解指如 $t%3D2t-t$ 這種運(yùn)算)②

這就是為什么說 $t%5E2%2Ct%2Ct%5E0$ 是形式記號(hào)，因?yàn)槲覀冎籧ase這3者在以 $%5Ctext%7B~%7Dt%5E2%2B%5Ctext%7B~%7Dt%5E1%2B%5Ctext%7B~%7Dt%5E0$ 的形式出現(xiàn)的情況，也只有當(dāng)這種形式出現(xiàn)時(shí)才能類比到遞推式的運(yùn)算中！

而這一形式記號(hào)不只是被湊出來的，正是因?yàn)樗?strong>把一個(gè)高次式分成若干個(gè)低次式的獨(dú)有功能，才完成了由 $t%5E2-5t%2B6t%5E0%3D0$ 向 $t%5E2-2t%3D3(t-2t%5E0)%5C$ 的轉(zhuǎn)化！

仔細(xì)思考會(huì)發(fā)現(xiàn)這個(gè)過程極其的微妙。

如上圖，綠色框框部分是小兄能夠?qū)W會(huì)的(也就是兩種運(yùn)算見可以類比的)，紅色部分是助手的獨(dú)有功能。

也就是說助手有兩種途徑由 $t%5E2-5t%2B6%3D0$ 到 $t%5E2-2t%3D3(t-2)$ ；而小兄只有一種途徑由 $a_%7Bn%2B2%7D-4a_%7Bn%2B1%7D%2B6a_n%3D0$ 到 $a_%7Bn%2B2%7D-2a_%7Bn%2B1%7D%3D3(a_%7Bn%2B1%7D-2a_n)$ 。我們請(qǐng)出助手的目的，正是想利用了助手的獨(dú)有功能，讓他更快捷地走到 $t%5E2-2t%3D3(t-2)$ ，然后再用小兄能學(xué)會(huì)的方式(也即變形至兩種運(yùn)算法則相同時(shí))教會(huì)他。

我的語言表述可能還不太形象，但上面的這幅圖一定2要仔細(xì)斟酌其豐富內(nèi)涵！其涵蓋了特征根方法的底層邏輯！

因此，現(xiàn)在助手教會(huì)了小兄第一步，變形為：

$a_%7Bn%2B2%7D-2a_%7Bn%2B1%7D%3D3(a_%7Bn%2B1%7D-2a_n)$

于是 $%5Cleft%20%5C%7B%20a_%7Bn%2B1%7D-2a_n%20%5Cright%20%5C%7D%20$ 是以 $a_2-2a_1%3D-1$ 為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，即

$a_%7Bn%2B1%7D-2a_n%3D(-1)%5Ctimes%203%5E%7Bn-1%7D$ ①

同理，我們借助助手，化為：

$%5Cbegin%7Balign*%7D%0A%26t%5E2-5t%2B6%3D0%5C%5C%0A%5CLeftrightarrow%20%26(t-2)(t-3)%3D0%5C%5C%0A%5CLeftrightarrow%20%26t(t-3)-2(t-3)%3D0%5C%5C%0A%5CLeftrightarrow%20%26t%5E2-3t%3D2(t-3)%5C%5C%0A%5Cend%7Balign*%7D$

只取第一步和最后一步進(jìn)行類比，有：

$%5Cbegin%7Balign*%7D%0A%26a_%7Bn%2B2%7D-5a_%7Bn%2B1%7D%2B6a_%7Bn%7D%3D0%5C%5C%0A%5CLeftrightarrow%20%26a_%7Bn%2B2%7D-3a_%7Bn%2B1%7D%3D2(a_%7Bn%2B1%7D-3a_%7Bn%7D)%5C%5C%0A%5Cend%7Balign*%7D$

于是 $%5Cleft%20%5C%7B%20a_%7Bn%2B1%7D-3a_n%20%5Cright%20%5C%7D%20$ 是以 $a_2-3a_1%3D-2$ 為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，即

$a_%7Bn%2B1%7D-3a_n%3D(-2)%5Ctimes%202%5E%7Bn-1%7D$ ②

聯(lián)立①②得： $%5Cboxed%7Ba_n%3D(-1)%5Ctimes%203%5E%7Bn-1%7D%2B2%5Ctimes%202%5E%7Bn-1%7D%7D$

利用助手這一獨(dú)有的功能，我們對(duì)其進(jìn)行拓展

設(shè) $%5Cleft%20%5C%7B%20a_n%20%5Cright%20%5C%7D%20$ 滿足m階線性遞推： $a_%7Bn%2Bm%7D%2B%5Ctext%7B~%7Da_%7Bn%2Bm-1%7D%2B%5Ctext%7B~%7Da_%7Bn%2Bm-2%7D%2B%5Ccdots%20%2Ba_n%3D0$ (~表系數(shù))，其對(duì)應(yīng)的特征多項(xiàng)式(助手)為：

$t%5Em%2B%5Ctext%7B~%7Dt%5E%7Bm-1%7D%2B%5Ctext%7B~%7Dt%5E%7Bm-2%7D%2B%5Ccdots%20%2B1%3D0$

有這么個(gè)記號(hào)對(duì)應(yīng)： $t%5Em%5Cto%20a_%7Bn%2Bm%7D%2Ct%5E%7Bm-1%7D%5Cto%20a_%7Bn%2Bm-1%7D%2C%5Ccdots%20%2Ct%5E%7B0%7D%5Cto%20a_%7Bn%2B0%7D$

現(xiàn)在利用助手的獨(dú)有功能快速轉(zhuǎn)化

設(shè)該多項(xiàng)式的根為 $t_1%2Ct_2%2C%5Ccdots%20%2Ct_m$

那么根據(jù)因式定理，其可以分解為：

$(t-t_1)(t-t_2)%5Ccdots%20(t-t_m)%3D0$

取定其中一個(gè)因式，如取 $(t-t_1)$ ，將剩余部分乘入得：

$%5Bt(t-t_2)%5Ccdots%20(t-t_m)%5D-%5Bt_1(t-t_2)%5Ccdots%20(t-t_m)%5D%3D0$

即 $%5Bt(t-t_2)%5Ccdots%20(t-t_m)%5D%3D%5Bt_1(t-t_2)%5Ccdots%20(t-t_m)%5D$

對(duì)比左右兩邊，我們發(fā)現(xiàn)左邊多出一個(gè)t，右邊多出一個(gè) $t_1$ ?，F(xiàn)在不妨事先思考：倘若我們將左邊展開，那么左邊的展開式每一項(xiàng)一定會(huì)比右邊的展開式對(duì)應(yīng)項(xiàng)高1次！(因?yàn)?span id="s0sssss00s" class="color-pink-03">多乘了個(gè)t)

因此在這一(可類比/模仿的)步中將該記號(hào)替換回，即得到其中一個(gè)等比數(shù)列。

同理，把每個(gè)特征根都用一遍，就能得到n個(gè)等比數(shù)列，以此解方程組即得。

ps:當(dāng)然，這只是針對(duì)一般情況，特殊情況如重根、復(fù)數(shù)根之類的我們先放一邊。能利用特征多項(xiàng)式(助手)的獨(dú)特功能推廣到這一般情況已經(jīng)是一步質(zhì)的飛躍了！

另外，特征多項(xiàng)式(助手)在解線性微分方程時(shí)也會(huì)用上。

引理： $t'%3D%5Clambda%20t%5CRightarrow%20t%3DCe%5E%7B%5Clambda%20%20x%7D$ (分離變量易得)

比如解微分方程 $y''-5y'%2B6y%3D0$

同樣，我們請(qǐng)出助手 $t%5E2-5t%2B6%3D0$

只取第一步和最后一步進(jìn)行類比，有：

$%5Cbegin%7Balign*%7D%0A%26y''-5y'%2B6y%3D0%5C%5C%0A%5CLeftrightarrow%20%26y''-2y'%3D3(y'-2y)%5C%5C%0A%5Cend%7Balign*%7D$

這時(shí) $y''-2y'$ 恰比 $y'-2y$ 高一階，于是作換元 $t%3Dy'-2y$ 得：

$t'%3D3t%5CRightarrow%20t%3DC_1e%5E%7B3x%7D$

即 $y'-2y%3DC_1e%5E%7B3x%7D$ ①

同理，助手再進(jìn)行另一種變形：

只取第一步和最后一步進(jìn)行類比，有：

$%5Cbegin%7Balign*%7D%0A%26y''-5y'%2B6y%3D0%5C%5C%0A%5CLeftrightarrow%20%26y''-3y'%3D2(y'-3y)%5C%5C%0A%5Cend%7Balign*%7D$

這時(shí) $y''-3y'$ 恰比 $y'-3y$ 高一階，于是作換元 $u%3Dy'-3y$ 得：

$u'%3D2u%5CRightarrow%20u%3DC_2e%5E%7B2x%7D$

即 $y'-3y%3DC_2e%5E%7B2x%7D$ ②

由①②得： $y%3DC_1'e%5E%7B3x%7D%2BC_2'e%5E%7B2x%7D$

ps:這里的 $C_1'%2CC_2'$ 仍是任意常數(shù)，只是區(qū)別于 $C_1%2CC_2$ (在解上述方程組中有對(duì)應(yīng)關(guān)系)

利用助手這一獨(dú)有的功能，我們對(duì)其進(jìn)行拓展

設(shè)m階齊次線性微分方程： $y'%5E%7B(m)%7D%2B%5Ctext%7B~%7Dy'%5E%7B(m-1)%7D%2B%5Ctext%7B~%7Dy'%5E%7B(m-2)%7D%2B%5Ccdots%20%2By%3D0$ (~表系數(shù))，其對(duì)應(yīng)的特征多項(xiàng)式(助手)為：

$t%5Em%2B%5Ctext%7B~%7Dt%5E%7Bm-1%7D%2B%5Ctext%7B~%7Dt%5E%7Bm-2%7D%2B%5Ccdots%20%2B1%3D0$

有這么個(gè)記號(hào)對(duì)應(yīng)： $t%5Em%5Cto%20y'%5E%7B(m)%7D%2Ct%5E%7Bm-1%7D%5Cto%20y'%5E%7B(m-1)%7D%2C%5Ccdots%20%2Ct%5E%7B0%7D%5Cto%20y$

現(xiàn)在利用助手的獨(dú)有功能快速轉(zhuǎn)化

設(shè)該多項(xiàng)式的根為 $t_1%2Ct_2%2C%5Ccdots%20%2Ct_m$

那么根據(jù)因式定理，其可以分解為：

$(t-t_1)(t-t_2)%5Ccdots%20(t-t_m)%3D0$

取定其中一個(gè)因式，如取 $(t-t_1)$ ，將剩余部分乘入得：

$%5Bt(t-t_2)%5Ccdots%20(t-t_m)%5D-%5Bt_1(t-t_2)%5Ccdots%20(t-t_m)%5D%3D0$

即 $%5Bt(t-t_2)%5Ccdots%20(t-t_m)%5D%3D%5Bt_1(t-t_2)%5Ccdots%20(t-t_m)%5D$

因此在這一(可類比/模仿的)步中將該記號(hào)替換回，即得到其中一組解 $u%3DC_1e%5E%7Bt_1x%7D$ (u為對(duì)那個(gè)左右剛好差一階的部分換元)。

同理，把每個(gè)特征根都用一遍，就能得到n組解，以此解方程組即得。

這里順便再推廣到非齊次線性微分方程：

$y'%5E%7B(m)%7D%2B%5Ctext%7B~%7Dy'%5E%7B(m-1)%7D%2B%5Ctext%7B~%7Dy'%5E%7B(m-2)%7D%2B%5Ccdots%20%2By%3Df(x)$

設(shè) $y%3Du%2Bg(x)$ (g(x)為待定的函數(shù))，代入得：

$%5Cbegin%7Balign%7D%0A%26u'%5E%7B(m)%7D%2B%7B%5Ccolor%7BRed%7D%20%7Bg'%5E%7B(m)%7D(x)%7D%7D%20%2B%5Ctext%7B~%7Du'%5E%7B(m-1)%7D%2B%7B%5Ccolor%7BRed%7D%20%7B%5Ctext%7B~%7Dg'%5E%7B(m-1)%7D(x)%7D%7D%20%5C%5C%0A%26%2B%5Ctext%7B~%7Du'%5E%7B(m-2)%7D%2B%7B%5Ccolor%7BRed%7D%20%7B%5Ctext%7B~%7Dg'%5E%7B(m-2)%7D(x)%7D%7D%20%2B%5Ccdots%20%2Bu%2B%7B%5Ccolor%7BRed%7D%20%7Bg(x)%7D%7D%20%3D%7B%5Ccolor%7BRed%7D%20%7Bf(x)%7D%7D%20%0A%5Cend%7Balign%7D$

待定g(x)，令上面紅色部分相等，即

$%5Cbegin%7Balign%7D%0A%26%7B%5Ccolor%7BRed%7D%20%7Bg'%5E%7B(m)%7D(x)%7D%7D%20%2B%7B%5Ccolor%7BRed%7D%20%7B%5Ctext%7B~%7Dg'%5E%7B(m-1)%7D(x)%7D%7D%20%5C%5C%0A%26%2B%7B%5Ccolor%7BRed%7D%20%7B%5Ctext%7B~%7Dg'%5E%7B(m-2)%7D(x)%7D%7D%20%2B%5Ccdots%20%2B%7B%5Ccolor%7BRed%7D%20%7Bg(x)%7D%7D%20%3D%7B%5Ccolor%7BRed%7D%20%7Bf(x)%7D%7D%20%0A%5Cend%7Balign%7D$