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量綱分析（dimension analysis）1.基礎(chǔ)

2023-08-15 22:08 作者:awyayb 0人讀過(guò) | 我要投稿

? 一個(gè)完整的單位需要很多個(gè)基本單位，用力學(xué)來(lái)及例子的話，就像我們所熟知的cgs制或MKS制。對(duì)于cgs制來(lái)說(shuō)三個(gè)基本單位對(duì)應(yīng)的是c是厘米（centimeter），g是克（gram），s是秒（second）。那么對(duì)應(yīng)到量綱就是 $%5BL%5D%E9%95%BF%E5%BA%A6%EF%BC%8C%5BM%5D%E8%B4%A8%E9%87%8F%EF%BC%8C%5BT%5D%E6%97%B6%E9%97%B4$ 。在牛頓力學(xué)中，任何物理量的量綱都可以被這三個(gè)量綱的冪平方的乘積所表示，稱之為導(dǎo)出量。假設(shè)一個(gè)力學(xué)中的物理量 $Q$ ，可以把他的量綱表示為 $dim%7BQ%7D%3DL%5E%7B%5Calpha%20%7DM%5E%7B%5Cbeta%20%7DT%5E%7B%5Cgamma%20%7D$ ,其中 $%5Calpha%EF%BC%8C%20%5Cbeta%20%EF%BC%8C%5Cgamma%20$ 被稱為量綱的指數(shù)，所以說(shuō)基本量做排列組合就是導(dǎo)出量。

? 對(duì)于我們所熟知的速度v和加速度a都有如下關(guān)系：

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? $v%3D%5Cfrac%7Bdx%7D%7Bdt%7D%20%5Cimplies%20%5Bv%5D%3D%5B%5Cfrac%7Bx%7D%7Bt%7D%5D%3D%5Cfrac%7BL%7D%7BT%7D$

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? $a%3D%5Cfrac%7Bdx%7D%7Bdt%5E2%7D%20%5Cimplies%20%5Ba%5D%3D%5B%5Cfrac%7Bdx%7D%7Bdt%5E2%7D%5D%3D%5Cfrac%7BL%7D%7BT%5E2%7D$

? 由于 $a%3D%5Cfrac%7Bdv%7D%7Bdt%7D%3D%5Cfrac%7Bd%5E2x%7D%7Bdt%5E2%7D$ ，所以可以得出結(jié)論，高階微分 $%5Cfrac%7Bd%5Ek%20x%7D%7Bdt%5Ek%7D$ 的量綱為 $%5B%5Cfrac%7Bd%5Ekx%7D%7Bdt%5Ek%7D%5D%3D%5Cfrac%7BL%7D%7BT%5Ek%7D$

所以說(shuō)指數(shù)在變量上代表量綱，而指數(shù)在“d”上只代表微分次數(shù)。

? 那么可以看到密度的量綱 $%5B%5Crho%20%5D%3D%5B%5Cfrac%7Bm%7D%7BV%7D%5D%3D%5Cfrac%7BM%7D%7BL%5E3%7D%3DML%5E%7B-3%7D$ ，還有力的量綱 $%5BF%5D%3D%5Bm%5D%5Ba%5D%3DM%5Cfrac%7BL%7D%7BT%5E2%7D%3DMLT%5E%7B-2%7D$ 等等。

無(wú)量綱?

? 除了上述所說(shuō)的量綱數(shù)，還有很大一部分的數(shù)是沒(méi)有量綱的，也就是所規(guī)定的在量綱指數(shù)都為零時(shí)? $dimQ%3D1$ ?，所以我們說(shuō)無(wú)量綱數(shù)就是量綱為 $1$ 的數(shù)。

? 那么什么樣的數(shù)是無(wú)量綱數(shù)，顯然，如果分子分母的量綱同時(shí)全部消去，那么長(zhǎng)度之比，質(zhì)量之比，相對(duì)誤差……都是無(wú)量綱的。所以可以從圓弧的角度來(lái)看角度的定義：

??

在上面圖片中，可以得到 $%5Ctheta%20%3D%5Cfrac%7BL%7D%7BR%7D$ 這樣的結(jié)論，進(jìn)而可以發(fā)現(xiàn)分子分母的量綱都是長(zhǎng)度，所以進(jìn)而可以得出結(jié)論角度 $%5Ctheta%20$ 是不帶有量綱的，所以也可以推得在不代表長(zhǎng)度的時(shí)候，圓周率 $%5Cpi$ 也是無(wú)量綱數(shù)。 $%5B%5Cpi%5D%3D%5Cfrac%7B%5BC%5D%7D%7B%5B2R%5D%7D%3D1$ 。那么同理， $sin%7B%5Ctheta%20%7D%2Ccos%7B%5Ctheta%20%7D$ ?等三角函數(shù)也是無(wú)量綱數(shù)，一個(gè)函數(shù)的量綱是根據(jù)變量加上函數(shù)的操作后得到的，角度是無(wú)量綱數(shù)那么顯然三角函數(shù)也是無(wú)量綱數(shù)。作為函數(shù)中非常重要的部分，所有的超越函數(shù)也是無(wú)量綱數(shù)，例如指數(shù)函數(shù)，對(duì)數(shù)函數(shù)，雙曲函數(shù)等只要不是子變量之間僅有代數(shù)運(yùn)算的函數(shù)，都是無(wú)量綱數(shù)。至于原因，對(duì)超越函數(shù)進(jìn)行泰勒展開(kāi)可以發(fā)現(xiàn)，他們中包含各階多項(xiàng)式，也就是說(shuō)如果具有量綱的話，超越函數(shù)包含各階量綱。

? 對(duì)于量綱在數(shù)學(xué)中的簡(jiǎn)單應(yīng)用，可依據(jù)一個(gè)很著名的例子。諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)獲得者Richard?Feynman 先生在進(jìn)行對(duì)海倫公式的處理：

海倫公式：設(shè) $%5CDelta%20ABC$ 三邊長(zhǎng)分別為 $a%2Cb%2Cc$ ，那么可以得到三角形面積 $S_%7B%5CDelta%20ABC%7D%3D%5Csqrt%7Bp(p-a)(p-b)(p-c)%7D%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20(p%3D%5Cfrac%7Ba%2Bb%2Bc%7D%7B2%7D)$

可以先假設(shè)面積函數(shù) $S_%7B%5CDelta%20ABC%7D%3Df(%7Ba%2Cb%2Cc%7D)$ ，也就是說(shuō)面積函數(shù)是只和 $a%2Cb%2Cc$ 有關(guān)的（聽(tīng)起來(lái)像句廢話）。那么接下來(lái)可以先考慮三角形的退化情況，也就是兩邊之和等于第三邊時(shí)面積為零。所以當(dāng) $a%2Bc%3Db$ 或 $a%2Bb%3Dc$ 或 $b%2Bc%3Da$ 時(shí) $f%7B(a%2Cb%2Cc)%7D%3D0$ 。所以可以得到? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? $f%7B(a%2Cb%2Cc)%7D%3Dg%7B(a%2Cb%2Cc)%7D(a%2Bb-c)(a%2Bc-b)(b%2Bc-a)$

? 接著可以繼續(xù)根據(jù)三角形輪換對(duì)稱的特性得知，由于 $a%2Cb%2Cc$ 在沒(méi)有規(guī)定具體的邊時(shí)是互相等價(jià)的，所以會(huì)出現(xiàn) $(a%2Bb%2Bc)$ 這一項(xiàng)。那么可以猜測(cè)? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? $f%7B(a%2Cb%2Cc)%7D%3D(a%2Bb%2Bc)((a%2Bb-c)(a%2Bc-b)(b%2Bc-a)$

但是對(duì)比一下量綱就會(huì)發(fā)現(xiàn)如果上述函數(shù)為三角形面積，那么 $%5Bf%5D%3DL%5E4%5Cneq%20L%5E2%3DS_%7B%5CDelta%20ABC%7D$

兩邊的量綱并不相等，因?yàn)閷?duì) $f%7B(a%2Cb%2Cc)%7D$ 開(kāi)根號(hào)就可以正好得到相同的量綱，所以可以得到? ? ? ? ? ? ? ? ? $S_%7B%5CDelta%20ABC%7D%3Dk%5Ccdot%5Csqrt%7B(a%2Bb%2Bc)(a%2Bb-c)(a%2Bc-b)(b%2Bc-a)%7D$

? 接下來(lái)就考慮一種特殊的情況來(lái)求出 $k$ 值，假設(shè)三角形三邊長(zhǎng)分別為3,4,5。由于是直角三角形可以輕易得到 $S%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Ctimes%203%20%20%5Ctimes%204%3D6$ ,接著帶入到上述面積函數(shù)中。 $S%3Df%7B(3%2C4%2C5)%7D%3Dk%5Ccdot%20%5Csqrt%7B(3%2B4%2B5)(3%2B4-5)(3%2B5-4)(4%2B5-3)%7D%3D6$