學(xué)不明白的數(shù)學(xué)分析（五十三）

2023-02-14 23:38 作者:不能吃的大魚 0人讀過 | 我要投稿

才發(fā)現(xiàn)上一篇專欄的Tag好像加多了……

本來是打算一口氣把函數(shù)項級數(shù)的內(nèi)容都寫完，寫在一篇專欄里的……結(jié)果寫著寫著好像寫多了完全放不下了（）

所以沒辦法，又開了一篇，來繼續(xù)把函數(shù)項級數(shù)寫完~估計著掙的是最后一篇函數(shù)項級數(shù)的內(nèi)容了（嘿嘿）

上一篇我們將冪級數(shù)盡可能多地介紹了一些內(nèi)容，這一篇就要將與之關(guān)聯(lián)度極高的一部分內(nèi)容——函數(shù)的冪級數(shù)展開——介紹給大家~順便為大家介紹一個還比較有意思的內(nèi)容，就是用多項式去逼近函數(shù)。在這一部分會給大家介紹一個用于逼近的多項式——Bernstein多項式。雖然它的逼近效果未必很好，但是卻有著其他逼近方式所不一定具備的優(yōu)良性質(zhì)。

（后面在介紹到Fourier級數(shù)的時候還會介紹到另外幾種逼近方式，相較而言可能會比較容易被工程學(xué)、物理學(xué)等方向所應(yīng)用。）

Chapter? Fifteen? 函數(shù)列與函數(shù)項級數(shù)

15.5? 函數(shù)的冪級數(shù)展開式

看到冪級數(shù)的形式，其實就不難想到一個我們已經(jīng)介紹過的內(nèi)容——Taylor定理。畢竟，Taylor定理的表達式是這樣的：

$f(x)%3D%5Csum_%7Bk%3D0%7D%5En%20%5Cfrac%7Bf%5E%7B(k)%7D(x_0)%7D%7Bk!%7D%20(x-x_0)%5Ek%2BR_n(x)$

顯然，我們可以認為Taylor多項式是冪級數(shù)：

$%5Csum_%7Bn%3D0%7D%5E%E2%88%9E%20%5Cfrac%7Bf%5E%7B(n)%7D(x_0)%7D%7Bn!%7D(x-x_0)%5En%20$

的部分和函數(shù)列。因此，我們稱這一冪級數(shù)為Taylor級數(shù)。

特別地，當(dāng) $x_0%3D0$ 時，Taylor級數(shù)變?yōu)椋?/p>

$%5Csum_%7Bn%3D0%7D%5E%E2%88%9E%20%5Cfrac%7Bf%5E%7B(n)%7D(0)%7D%7Bn!%7Dx%5En%20$

對應(yīng)地，這一級數(shù)稱為Maclaurin級數(shù)。

如果一個函數(shù)在某一點處有任意階導(dǎo)數(shù)，那么我們就能求出這一函數(shù)在該點處的Taylor級數(shù)。不過，我們還需要認識到，由我們前面討論的有關(guān)冪級數(shù)的內(nèi)容來看，Taylor級數(shù)也應(yīng)該會受到收斂半徑的限制。（這恰好體現(xiàn)了Taylor展開只能反映函數(shù)在某一點附近的性質(zhì)，而距離該點越遠，在這一點處的展開對函數(shù)的估計能力越低。）

另外，我們也需要把我們對Taylor級數(shù)所預(yù)想的收斂能力放寬一些。也就是說，我們或許不應(yīng)該期待Taylor級數(shù)一般是收斂的，并且很好地收斂到函數(shù)附近。有的時候，或許我們都能夠看到函數(shù)的Taylor級數(shù)完全不收斂或者收斂但并不是收斂到函數(shù)本身。

因此，我們一般將函數(shù)與其Taylor級數(shù)之間的對應(yīng)關(guān)系記作：

$f(x)%5Csim%20%5Csum_%7Bn%3D0%7D%5E%E2%88%9E%20%5Cfrac%7Bf%5E%7B(n)%7D(x_0)%7D%7Bn!%7D%20x%5En$

至于右側(cè)級數(shù)是否收斂，什么時候收斂，就是我們有待討論的問題了。

如果我們想要Taylor級數(shù)收斂到函數(shù)本身，那么由Taylor定理，就應(yīng)該是：

$%5Cforall%20%5Cvarepsilon%20%EF%BC%9E0%EF%BC%8C%5Cexists%20N%EF%BC%8C%5Cforall%20n%EF%BC%9EN%EF%BC%8Cx%5Cin(x_0-R%2Cx_0%2BR)%EF%BC%8C%5Cbigg%7Cf(x)-%5Csum_%7Bn%3D0%7D%5Em%20%5Cfrac%7Bf%5E%7B(n)%7D(x_0)%7D%7Bn!%7D%20(x-x_0)%5En%20%5Cbigg%7C%3D%7CR_m(x)%7C%EF%BC%9C%5Cvarepsilon%20.$

即余項一致收斂到0。

由此，我們可以推出一個用于判斷Taylor級數(shù)是否可以收斂于自身的充分條件：

$%5Cexists%20M%5Cin%20%5Cmathbf%20R%5E%2B%EF%BC%8CN%5Cin%20N%5E*%EF%BC%8C%5Cforall%20x%5Cin(x_0-R%2Cx_0%2BR)%EF%BC%8C%20n%EF%BC%9EN%EF%BC%8C%7Cf%5E%7B(n)%7D(x)%7C%5Cle%20M.$

簡單說，就是導(dǎo)函數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)一致有界。

（命題1）

Chapter? Fifteen? 函數(shù)列與函數(shù)項級數(shù)

15.6? 用多項式一致逼近連續(xù)函數(shù)

我們說，很多時候我們遇到的函數(shù)長得并不是很好看，以至于我們處理起來十分麻煩，同時也不便于我們來應(yīng)用。因此，我們很多時候就會有一種思路，就是嘗試利用一些比較容易被處理的函數(shù)來近似代替原本的函數(shù)。Taylor定理就是這樣一種想法付諸實踐的典型例子。

Taylor定理的實踐方式比較容易被接受，因為用于逼近原本函數(shù)的函數(shù)類型是多項式，而多項式是相當(dāng)容易研究的。更何況，多項式的系數(shù)有著屬于自己的意義，能夠直白地表達原本函數(shù)的性質(zhì)。

不過，Taylor定理雖然很多時候能夠被應(yīng)用得很好，但是也是一種比較苛刻且不容易滿足的逼近方式。畢竟，想要能夠使用Taylor多項式來逼近，首先就要求函數(shù)在逼近點處有任意階導(dǎo)數(shù)，這就很難做到；另外，Taylor級數(shù)作為一種冪級數(shù)，其收斂性受到收斂半徑的限制，一般而言在大范圍內(nèi)難以有好的逼近結(jié)果；同時，隨著逼近階數(shù)的增大，Taylor多項式還未必收斂到函數(shù)本身（上一節(jié)提到過的）。因此，我們?nèi)绻€想使用多項式取逼近函數(shù)，那么就得另尋他法，考慮一個更優(yōu)秀的多項式類別，來勝任這項工作。

我們先來介紹一下一致逼近的定義：

設(shè) $f$ 是定義在 $%5Ba%2Cb%5D$ 上的函數(shù)， $%5C%7BP_n(x)%5C%7D$ 是一多項式列。如果滿足：

$%5Cforall%20%5Cvarepsilon%20%EF%BC%9E0%EF%BC%8C%5Cexists%20N%EF%BC%8C%5Cforall%20n%EF%BC%9EN%EF%BC%8C%7Cf(x)-P_n(x)%7C%EF%BC%9C%5Cvarepsilon%20.$

則稱函數(shù) $f$ 在 $%5Ba%2Cb%5D$ 上能被多項式一致逼近。

從這一定義來看，顯然是滿足多項式列一致收斂于函數(shù) $f$ 。而由于多項式一定是連續(xù)函數(shù)，因此能被多項式一致逼近的函數(shù)一定是連續(xù)函數(shù)。那么，到底是不是所有的連續(xù)函數(shù)都能被多項式一致逼近呢？

答案是肯定的。為了研究這個問題，我們要先來介紹一個多項式——Bernstein多項式。我們先記：

$B_i%5En(x)%3D%20%7Bn%5Cchoose%20i%7D%20x%5Ei(1-x)%5E%7Bn-i%7D%5Cquad%20(i%3D0%2C1%2C%5Ccdots%20%2Cn)%5Cquad%20(x%5Cin%20%5B0%2C1%5D)$

顯然， $B_i%5En%5Cge%200$ ；而由二項式定理，我們也能知道：

$%5Csum_%7Bi%3D0%7D%5En%20B_i%5En(x)%3D1$

我們特別指出有關(guān) $B_i%5En(x)$ 的一個性質(zhì)：

$%5Cbigg(%5Csum_%7Bi%3D0%7D%5En%20a_iB_i%5En(x)%5Cbigg)'%3Dn%5Csum_%7Bi%3D0%7D%5E%7Bn-1%7D%20(a_%7Bi%2B1%7D-a_i)B_i%5E%7Bn-1%7D$

（命題1）

考慮到我們給出的有關(guān) $B_i%5En(x)$ 的性質(zhì)，結(jié)合我們之前多次使用過的方法，利用求和為1的性質(zhì)，構(gòu)造：

$B_n(f%3Bx)%3D%5Csum_%7Bi%3D0%7D%5En%20f(%5Cfrac%7Bi%7D%7Bn%7D)B_i%5En(x)%20%5Cquad%20(x%5Cin%5B0%2C1%5D)$

稱為函數(shù) $f$ 的n次Bernstein多項式。

由于后續(xù)證明與應(yīng)用的需要，我們這里來計算兩個簡單的例子：

例1： $f(x)%3Dx$

直接計算得：

$%5Cbegin%20%7Bequation%7D%0A%5Cbegin%20%7Baligned%7D%0AB_n(x%3Bx)%26%3D%5Csum_%7Bi%3D0%7D%5En%20f(%5Cfrac%7Bi%7D%7Bn%7D)B_i%5En(x)%5C%5C%0A%26%3D%5Csum_%7Bi%3D0%7D%5En%20%5Cfrac%7Bi%7D%7Bn%7D%20B_i%5En(x)%5C%5C%0A%26%3D%20%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5En%20%7Bn-1%5Cchoose%20i-1%7D%20x%5Ei(1-x)%5E%7Bn-i%7D%5C%5C%0A%26%3D%5Csum_%7Bi%3D0%7D%5E%7Bn-1%7D%20%7Bn-1%5Cchoose%20i%7D%20x%5E%7Bi%2B1%7D(1-x)%5E%7Bn-1-i%7D%5C%5C%0A%26%3Dx%5Csum_%7Bi%3D0%7D%5E%7Bn-1%7D%20%7Bn-1%5Cchoose%20i%7Dx%5Ei(1-x)%5E%7B(n-1)-i%7D%5C%5C%0A%26%3Dx%5Csum_%7Bi%3D0%7D%5E%7Bn-1%7D%20B_i%5E%7Bn-1%7D%5C%5C%0A%26%3Dx%0A%5Cend%20%7Baligned%7D%0A%5Cend%20%7Bequation%7D$

例2： $f(x)%3Dx%5E2$

還是直接計算：

$%5Cbegin%20%7Bequation%7D%0A%5Cbegin%20%7Baligned%7D%0AB_n(x%5E2%3Bx)%26%3D%5Csum_%7Bi%3D0%7D%5En%20f(%5Cfrac%7Bi%7D%7Bn%7D)B_i%5En(x)%5C%5C%0A%26%3D%5Csum_%7Bi%3D0%7D%5En%20%5Cfrac%7Bi%5E2%7D%7Bn%5E2%7D%20B_i%5En(x)%5C%5C%0A%26%3D%20%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5En%20%5Cfrac%7Bi%7D%7Bn%7D%20%7Bn-1%5Cchoose%20i-1%7D%20x%5Ei(1-x)%5E%7Bn-i%7D%5C%5C%0A%26%3D%5Csum_%7Bi%3D0%7D%5E%7Bn-1%7D%20%5Cfrac%7Bi%2B1%7D%7Bn%7D%20%7Bn-1%5Cchoose%20i%7D%20x%5E%7Bi%2B1%7D(1-x)%5E%7Bn-1-i%7D%5C%5C%0A%26%3Dx%5Csum_%7Bi%3D0%7D%5E%7Bn-1%7D%20%5Cfrac%7Bi%2B1%7D%7Bn%7D%20%7Bn-1%5Cchoose%20i%7Dx%5Ei(1-x)%5E%7B(n-1)-i%7D%5C%5C%0A%26%3Dx%5Cbigg(%5Cfrac%7Bn-1%7D%7Bn%7D%20%5Csum_%7Bi%3D0%7D%5E%7Bn-1%7D%20%5Cfrac%7Bi%7D%7Bn-1%7D%20B_i%5E%7Bn-1%7D%2B%5Cfrac%7B1%7D%7Bn%7D%20%5Csum_%7Bi%3D0%7D%5E%7Bn-1%7D%20B_i%5E%7Bn-1%7D%5Cbigg)%5C%5C%0A%26%3Dx(%5Cfrac%7Bn-1%7D%7Bn%7D%20B_%7Bn-1%7D(x%3Bx)%2B%5Cfrac%7B1%7D%7Bn%7D)%5C%5C%0A%26%3D%5Cfrac%7Bn-1%7D%7Bn%7Dx%5E2%2B%5Cfrac%7B1%7D%7Bn%7Dx%20%20%20%0A%5Cend%20%7Baligned%7D%0A%5Cend%20%7Bequation%7D$

現(xiàn)在，我們來看看利用這兩個簡單函數(shù)的Bernstein多項式，能夠做出什么樣的東西來。

我們很容易就能夠得到：

$%5Cbegin%20%7Bequation%7D%0A%5Cbegin%20%7Baligned%7D%0AB_n(f%C2%B1g%3Bx)%26%3D%5Csum_%7Bi%3D0%7D%5En%20(f%C2%B1g)(%5Cfrac%7Bi%7D%7Bn%7D%20)%20B_i%5En(x)%5C%5C%0A%26%3D%5Cbigg(%5Csum_%7Bi%3D0%7D%5En%20f(%5Cfrac%7Bi%7D%7Bn%7D%20)B_i%5En(x)%5Cbigg)%C2%B1%5Cbigg(%5Csum_%7Bi%3D0%7D%5En%20g(%5Cfrac%7Bi%7D%7Bn%7D)B_i%5En(x)%5Cbigg)%20%5C%5C%0A%26%3DB_n(f%3Bx)%C2%B1B_n(g%3Bx)%0A%5Cend%20%7Baligned%7D%0A%5Cend%20%7Bequation%7D$

于是，我們可以嘗試利用組合的方式來得到一些結(jié)果。比如說：

$B_n(nx%5E2-x%3Bx)%2BxB_n(x%3Bx)%3Dnx%5E2$

現(xiàn)在來看我們需要做怎樣的組合來幫助我們證明任意連續(xù)函數(shù)都能夠被多項式逼近。

我們提到過，我們證明這一問題的思路是采用我們之前常用的方法，很多時候我們稱之為擬合法，大致思路就是：

也就是說通過構(gòu)造類似的序列來與已知序列形式接近，從而簡化證明。

為了完整的證明這一定理，我們接下來要對等號右側(cè)的絕對值進行深入討論。首先，由前面我們所說過的，函數(shù) $f$ 一定連續(xù)，因此其在 $%5B0%2C1%5D$ 上一定一致連續(xù)。因此就有：

$%5Cforall%20%5Cvarepsilon%20%EF%BC%9E0%EF%BC%8C%5Cexists%20%5Cdelta%20%EF%BC%9E0%EF%BC%8C%5Cforall%20(x%2Cy%5Cin%20%5B0%2C1%5D%3B%7Cx-y%7C%EF%BC%9C%5Cdelta)%20%EF%BC%8C%7Cf(x)-f(y)%7C%EF%BC%9C%5Cvarepsilon%20.$

取 $y%3D%5Cfrac%7Bi%7D%7Bn%7D%20$ ，則有：

$%5Cbegin%20%7Bequation%7D%0A%5Cbegin%20%7Baligned%7D%0A%7C%20f(x)-B_n(f%3Bx)%7C%26%3D%5Cbigg%7C%5Csum_%7Bi%3D0%7D%5En%20f(x)B_i%5En(x)-%5Csum_%7Bi%3D0%7D%5En%20f(%5Cfrac%7Bi%7D%7Bn%7D)B_i%5En(x)%5Cbigg%7C%5C%5C%0A%26%3D%5Cbigg%7C%5Csum_%7Bi%3D0%7D%5En%20(f(x)-f(%5Cfrac%7Bi%7D%7Bn%7D))B_i%5En(x)%5Cbigg%7C%5C%5C%0A%26%5Cle%20%5Csum_%7Bi%3D0%7D%5En%20%7Cf(x)-f(%5Cfrac%7Bi%7D%7Bn%7D%20)%7CB_i%5En(x)%5C%5C%0A%26%3D%5Csum_%7BA%7D%20%7Cf(x)-f(%5Cfrac%7Bi%7D%7Bn%7D%20)%7CB_i%5En(x)%2B%5Csum_%7BB%7D%20%7Cf(x)-f(%5Cfrac%7Bi%7D%7Bn%7D%20)%7CB_i%5En(x)%5C%5C%0A%26%EF%BC%9C%5Cvarepsilon%20%2B%5Csum_%7BB%7D%20%7Cf(x)-f(%5Cfrac%7Bi%7D%7Bn%7D%20)%7CB_i%5En(x)%0A%5Cend%20%7Baligned%7D%0A%5Cend%20%7Bequation%7D$

其中，有：

$A%3D%5C%7Bi%5Cin%20N%5E*%3A%5Cbigg%7C%5Cfrac%7Bi%7D%7Bn%7D-x%5Cbigg%7C%EF%BC%9C%5Cdelta%20%20%5C%7D%EF%BC%8CB%3D%5C%7Bi%5Cin%20N%5E*%3A%5Cbigg%7C%5Cfrac%7Bi%7D%7Bn%7D-x%5Cbigg%7C%5Cge%20%5Cdelta%20%20%5C%7D$

對于第二項，由于 $f$ 在區(qū)間 $%5B0%2C1%5D$ 上連續(xù)，則有：

$%7Cf(x)%7C%5Cle%20M%5CRightarrow%20%7Cf(%5Cfrac%7Bi%7D%7Bn%7D)-f(x)%7C%5Cle%202M%20$

于是，就有：

$%5Cbegin%20%7Bequation%7D%0A%5Cbegin%20%7Baligned%7D%0A%5Csum_%7BB%7D%20%7Cf(x)-f(%5Cfrac%7Bi%7D%7Bn%7D)%7CB_i%5En(x)%26%5Cle%20%20%5Csum_%7BB%7D%202MB_i%5En(x)%5C%5C%26%5Cle%20%5Csum_%7BB%7D%20%5Cfrac%7B2M%7D%7B%5Cdelta%20%7D%5Cbigg%7C%5Cfrac%7Bi%7D%7Bn%7D-x%5Cbigg%7CB_i%5En(x)%20%20%0A%5Cend%20%7Baligned%7D%0A%5Cend%20%7Bequation%7D$

但是，由于放縮最右側(cè)出現(xiàn)了絕對值，不便于我們繼續(xù)討論，所以我們要想辦法去掉絕對值。最為簡單直白的做法就是：

$%5Cbegin%20%7Bequation%7D%0A%5Cbegin%20%7Baligned%7D%0A%5Csum_%7BB%7D%20%7Cf(x)-f(%5Cfrac%7Bi%7D%7Bn%7D)%7CB_i%5En(x)%26%5Cle%20%5Csum_%7Bi%3D0%7D%5En%202MB_i%5En(x)%5C%5C%0A%26%5Cle%20%5Cunderline%20%7B%5Csum_%7Bi%3D0%7D%5En%20%5Cfrac%7B2M%7D%7B%5Cdelta%20%5E2%7D%5Cbigg(%5Cfrac%7Bi%7D%7Bn%7D-x%5Cbigg)%5E2B_i%5En(x)%7D%20%20%0A%5Cend%20%7Baligned%7D%0A%5Cend%20%7Bequation%7D$

那我們就研究一下最右側(cè)的項，看看能否使用例1和例2的結(jié)果組合出好的放縮結(jié)果：

$%5Cbegin%20%7Bequation%7D%0A%5Cbegin%20%7Baligned%7D%0A%5Csum_%7Bi%3D0%7D%5En%20%5Cbigg(%5Cfrac%7Bi%7D%7Bn%7D-x%5Cbigg)%5E2%20B_i%5En(x)%26%3D%5Csum_%7Bi%3D0%7D%5En%20%0A%5Cfrac%7Bi%5E2%7D%7Bn%5E2%7DB_i%5En(x)-2x%5Csum_%7Bi%3D0%7D%5En%20%5Cfrac%7Bi%7D%7Bn%7D%20B_i%5En(x)%2Bx%5E2%5Csum_%7Bi%3D0%7D%5En%20B_i%5En(x)%5C%5C%0A%26%3D%20B_n(x%5E2%3Bx)-2xB_n(x%3Bx)%2Bx%5E2%5C%5C%0A%26%3D%5Cfrac%7Bn-1%7D%7Bn%7Dx%5E2%2B%5Cfrac%7B1%7D%7Bn%7Dx%20-2x%5E2%20%2Bx%5E2%5C%5C%0A%26%3D%5Cfrac%7B1%7D%7Bn%7D%20x(1-x)%5C%5C%0A%26%5Cle%20%5Cfrac%7B1%7D%7B4n%7D%20%0A%5Cend%20%7Baligned%7D%0A%5Cend%20%7Bequation%7D$

于是，就有：

$%7Cf(x)-B_n(x)%7C%5Cle%20%5Cvarepsilon%20%2B%5Cfrac%7B%20M%7D%7B2n%5Cdelta%20%5E2%7D%20$

令：

$N%3D%5Cbigg%20%5B%20%5Cfrac%7BM%7D%7B2%5Cvarepsilon%20%5Cdelta%20%5E2%7D%5Cbigg%5D%2B1%20$

則有：

$%5Cforall%20%5Cvarepsilon%20%EF%BC%9E0%EF%BC%8C%5Cexists%20N%EF%BC%8C%5Cforall%20n%EF%BC%9EN%EF%BC%8C%7Cf(x)-B_n(x)%7C%EF%BC%9C2%5Cvarepsilon%20.$

進一步，對于定義在區(qū)間 $%5Ba%2Cb%5D$ 上的函數(shù) $f$ ，只要對函數(shù)：

$g(t)%3Df(a%2Bt(b-a))%3Dg(%5Cfrac%7Bx-a%7D%7Bb-a%7D)%3Df(x)%20%20%5Cquad%20(t%5Cin%5B0%2C1%5D)$

用其Bernstein多項式 $B_n(g%3Bt)$ 一致逼近，就能得到：

$B_n(f%3B%5Cfrac%7Bx-a%7D%7Bb-a%7D%20)%5Crightarrow%20f(x)%5Cquad%20(n%5Crightarrow%20%E2%88%9E)$

這就說明函數(shù) $f$ 的Bernstein多項式能夠一致逼近函數(shù)本身。于是我們就有：

任意定義在有限閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)可以用多項式一致逼近。

（Weierstrass逼近定理）

不過，我們需要指出的是，用Bernstein多項式去逼近函數(shù)，很多時候收斂速度是很慢的，這是保證了任意且一致逼近所犧牲掉的部分，這也導(dǎo)致了這一逼近方式對于數(shù)值計算的意義就不是很大了。但是，很多時候，Bernstein多項式能夠展現(xiàn)出驚人的實用性，體現(xiàn)在很多構(gòu)造上。至于數(shù)值計算，就數(shù)學(xué)分析而言，本來也不怎么在我們的研究范疇里。

思考：

將下列函數(shù)展開成Maclaurin級數(shù)：

（1） $e%5E%7Bx%5E2%7D$ ；

（2） $(1%2Bx)%5Cln%20(1%2Bx)$ ；

（3） $(1%2Bx%5E2)%5Carctan%20x$ ；

（4） $%5Carcsin%20x$ ；

（5） $%5Cint_0%5Ex%20%5Cfrac%7B%5Csin%20t%7D%7Bt%7D%20%5Ctext%20dt$
證明：設(shè)函數(shù) $f$ 及其所有導(dǎo)數(shù)在區(qū)間 $%5B0%2Cr%5D$ 上都是非負的，則 $f$ 能在 $%5B0%2Cr%5D$ 上展開成Maclaurin級數(shù)：

$f(x)%3D%5Csum_%7Bn%3D0%7D%5E%E2%88%9E%20%5Cfrac%7Bf%5E%7B(n)%7D(0)%7D%7Bn!%7Dx%5En%20%5Cquad%20(0%5Cle%20x%EF%BC%9Cr)$
證明：Bernstein的保形性質(zhì)：

（1）

$B_n(f%3Bx)%3Df(0)%EF%BC%8CB_n(f%3B1)%3Df(1)$ ；

（2） $f$ 與 $B_n(f)$ 保持相同的正（負）定性；

（3） $f$ 與 $B_n(f)$ 保持相同的單調(diào)性；

（4）若 $f$ 是凸函數(shù)，則 $B_n(f)$ 也是凸函數(shù)。