13-2 非正弦周期函數(shù)分解為傅里葉級(jí)數(shù)

1.?非正弦周期函數(shù)

(1)?非正弦周期交流信號(hào)的特點(diǎn)：不是正弦波；按周期規(guī)律變化。

(2)?非正弦周期交流信號(hào)可用周期函數(shù)f(t)=f（t+nT）表示,其中T為周期，n為自然數(shù)。

(3)?一般電工里遇到的周期函數(shù)都能滿足狄里赫利條件，可以展開成收斂的傅里葉級(jí)數(shù)。

?2.?周期函數(shù)展開為傅里葉級(jí)數(shù)

(1)?周期函數(shù)f(t)展開成收斂的傅里葉級(jí)數(shù)的兩種形式，以及它們之間的關(guān)系如圖,其中ω1=2π/T。

(2)?傅里葉級(jí)數(shù)是一個(gè)無窮三角級(jí)數(shù)。第1項(xiàng)A0/2稱為f(t)的恒定分量（或直流分量）；第2項(xiàng)A1m*cos(ωt+φ1)稱為1次諧波（或基波）；其它項(xiàng)Akm*cos(kωt+φk)稱為k次諧波。

(3)?將一個(gè)周期函數(shù)展開成或分解為一系列諧波之和的傅里葉級(jí)數(shù)稱為諧波分析。

(4)?當(dāng)n=k時(shí)，傅里葉級(jí)數(shù)中系數(shù)ak（k=0,1,2…）的表達(dá)式如圖。

?(5)?當(dāng)n=k時(shí)，傅里葉級(jí)數(shù)系數(shù)bk（k=1,2…）的表達(dá)式如圖。

(6)?頻譜函數(shù)Akm*e^(jφk)的表達(dá)式如圖。

(7)?一般用線段的高度表示各次諧波振幅，畫出Akm-kω1的圖形,這種圖形稱為幅度頻譜（圖）；用同樣的方法畫出φk-kω1的圖形，稱為相位頻譜（圖）。一般所說的頻譜（圖）指的是幅度頻譜。它提供一種從諧波的幅度和譜線密度兩個(gè)方面研究函數(shù)f(t)的頻率特性的圖像方法。

?3.?簡化系數(shù)的求解

(1)?由函數(shù)的對(duì)稱性簡化系數(shù)的求解

①　偶函數(shù)的圖形具有縱軸對(duì)稱的性質(zhì)，即f(t)=-f(t)，故bk=0，φk=0，即級(jí)數(shù)展開式中不含sin項(xiàng)（奇函數(shù)）。

②　奇函數(shù)的圖形關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，即f(t)=-f(-t)故ak=0，即級(jí)數(shù)展開式中不含零項(xiàng)和cos項(xiàng)（偶函數(shù)）。

③　奇諧波函數(shù)具有鏡像對(duì)稱性質(zhì)，即該波形移動(dòng)半周期后與橫軸對(duì)稱，即f(t)=-f(t+T/2)，故a2k=b2k=0，即級(jí)數(shù)展開式不含偶次諧波。

(2)?任意一個(gè)非正弦周期函數(shù)都可以分解為一個(gè)偶函數(shù)和一個(gè)奇函數(shù)之和，即f(t)=fe(t)+fo(t)，其中fe(t)=1/2[f(t)+f(-t)],fo(t)=1/2[f(t)-f(-t)]

(3)?Akm與計(jì)時(shí)起點(diǎn)無關(guān)，而φk與計(jì)時(shí)起點(diǎn)有關(guān)。由于ak和bk與φk有關(guān)，因此它們也隨計(jì)時(shí)起點(diǎn)變動(dòng)而變動(dòng)，函數(shù)的奇偶性也不同，但函數(shù)是否為奇諧波函數(shù)與計(jì)時(shí)起點(diǎn)無關(guān)。因此適當(dāng)選擇計(jì)時(shí)起點(diǎn)有時(shí)會(huì)使函數(shù)的級(jí)數(shù)展開式簡化。

(8)?在實(shí)際運(yùn)算看，把一個(gè)非正弦周期函數(shù)分解為傅里葉級(jí)數(shù)后，只能截取有限的項(xiàng)數(shù)，而截取項(xiàng)數(shù)的多少，要根據(jù)級(jí)數(shù)的收斂速度和電路的頻率特性兩個(gè)方面的情況來定。

?例1：周期性方波信號(hào)的分解