海倫公式

?????海倫（Heron?of?Alexandria，公元62年左右，生平不詳），古希臘數(shù)學(xué)家、力學(xué)家、機(jī)械學(xué)家。

約公元62年活躍于亞歷山大，他評論過《幾何原本》，但這些作品后來都失傳了。

1896年被發(fā)現(xiàn)的《Metrica》中出現(xiàn)了一種海倫公式的證明方法，該公式指出S△ABC=√s(s-a)(s-b)(s-c)，其中a=BC，b=AC，c=AB，s=（a+b+c)/2，阿基米德也許知道這一公式，但我們沒有證據(jù)。

這里，我們只看看前面關(guān)于內(nèi)接圓的部分：

設(shè)：

點(diǎn)D為圓ABC的圓心，DE,DF,DG為邊上的垂線（像歐幾里得證明中那樣），這三條線長度為r

∵AB⊥DE

∴S△ABD=AB·r/2

同理S△BCD=BC·r/2，S△ACD=AC·r/2

∴S△ABC=rs

這是一個(gè)有趣的結(jié)論

現(xiàn)在我們不管海倫的證明，來看看外接圓

設(shè)：

點(diǎn)A'為圓ABC的圓心，A'E’,A'F’,A'G’為邊上的垂線（像歐幾里得證明中那樣），這三條線長度為rA

∵AB⊥A'E’

∴S△ABA'=AB·rA/2

同理S△A'BC=BC·rA/2，S△ACA'=AC·rA/2

∴S△ABC=rA（AB+AC-BC)/2

∴S△ABC=rA（AB+AC+BC-2BC)/2

∴S△ABC=rA（s-a)

同理S△ABC=rs?=rA(s–a)?=rB(s–b)?=rC(s–c)

這些半徑之間還有其它的關(guān)系

例如：

1/r?=?1/rA?+?1/rB?+?1/rC,