鄭濤（Tao Steven Zheng）著

【問題】

立體幾何有一個神奇的體積公式叫似柱狀體積公式（prismoidal formula）：

其中 是似柱狀的高、 是上底面積、 是中截面面積、 是下底面積。

使用似柱狀體積公式（prismoidal formula）來推導以下立體形狀的體積：

（1）立方體（Cube）
（2）拋物面（Paraboloid）
（3）球體（Sphere）
（4）牟合方蓋（Bicylinder）

【題解】

（1）立方體

設立方體的邊長為 。立方體的上底、中截面、下底是等面積的正方形，所以，。

（2）拋物面

設 為拋物面的高。 拋物面的下底是一個半徑為 的圓，上底是沒有面積的點。從

拋物面的體積 發(fā)現(xiàn)了拋物面橫截面的半徑函數(shù)是

在 ，中截面的半徑是 ，所以中截面面積是 。

（3）球體

設 為球體的半徑。 上底、下底都是沒有面積的點；因此，。 中截面是圓，其面積是 。

（4）牟合方蓋

設牟合方蓋的高和中截面邊長為 。牟合方蓋的上底、下底都是沒有面積的點，所以， 。中截面是一個正方形，其面積為 。