“復(fù)變函數(shù)”形考任務(wù)5

（各章綜合練習(xí)書面作業(yè)）

計算及證明題（每小題10分，共計100分）

數(shù)據(jù)來自：電大之家 ，可前往查看 diandahome.com/197215.html

復(fù)變函數(shù)的極限和連續(xù)性

函數(shù)的極限

定義

??設(shè)函數(shù)w=f(z)w=f(z)w=f(z)定義在z0z_0z0的去心鄰域0<∣z?z0∣<ρ0<|z-z_0|<\rho0<∣z?z0∣<ρ內(nèi)。如果有一確定的數(shù)AAA存在，對于任意給定的ε>0\varepsilon>0ε>0，相應(yīng)地必有一正數(shù)δ(ε)(o<δ≤ρ)\delta(\varepsilon)(o<\delta\leq\rho)δ(ε)(o<δ≤ρ)，使得當(dāng)o<∣z?z0∣<δo<|z-z_0|<\deltao<∣z?z0∣<δ時有
??????????∣f(z)?A∣<ε|f(z)-A|<\varepsilon∣f(z)?A∣<ε
那么稱AAA為f(z)f(z)f(z)當(dāng)zzz趨向于z0z_0z0時的極限，記作lim?z?z0f(z)=A\lim\limits_{z-z_0}f(z)=Az?z0limf(z)=A，或記作當(dāng)z→z0z\to z_0z→z0時，f(z)→Af(z)\to Af(z)→A
定義中zzz趨向于z0z_0z0的方式是任意的

定理一

??設(shè)f(z)=u(x,y)+iv(x,y)f(z)=u(x,y)+iv(x,y)f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，A=u0+iv0A=u_0+iv_0A=u0+iv0，z0=x0+iy0z_0=x_0+iy_0z0=x0+iy0，那么lim?z?z0f(z)=A\lim\limits_{z-z_0}f(z)=Az?z0limf(z)=A的充要條件是
??????lim?y→y0x→x0u(x,y)=u0\lim\limits_{ ^{x \to x_0 }_{ ^{y \to y_0}}}u(x,y)=u_0y→y0x→x0limu(x,y)=u0，lim?y→y0x→x0v(x,y)=v0\lim\limits_{ ^{x \to x_0 }_{ ^{y \to y_0}}}v(x,y)=v_0y→y0x→x0limv(x,y)=v0

定理二

??如果lim?z→z0f(z)=A\lim\limits_{z\to z_0}f(z)=Az→z0limf(z)=A，lim?z→z0g(z)=B\lim\limits_{z\to z_0}g(z)=Bz→z0limg(z)=B，那么

1. lim?z→z0[f(z)±g(z)]=A±B\lim\limits_{z\to z_0}[f(z)\pm g(z)]=A\pm Bz→z0lim[f(z)±g(z)]=A±B

2. lim?z→z0f(z)g(z)=AB\lim\limits_{z\to z_0}f(z)g(z)=ABz→z0limf(z)g(z)=AB

3. lim?z→z0f(z)g(z)=AB\lim\limits_{z\to z_0}\frac{f(z)}{g(z)}=\frac{A}{B}z→z0limg(z)f(z)=BA?(B≠0)(B\neq 0)(B=0)

參考答案來源于：電大之家https://www.diandahome.com/197215.html