在數(shù)據(jù)分析過(guò)程中，往往需要數(shù)據(jù)服從正態(tài)分布，正態(tài)分布，也稱(chēng)“常態(tài)分布”，又名高斯分布，在求二項(xiàng)分布的漸近公式中得到。很多方法都需要數(shù)據(jù)滿(mǎn)足正態(tài)分布，比如方差分析、獨(dú)立t檢驗(yàn)、線(xiàn)性回歸分析（因變量）等。如果說(shuō)沒(méi)有這個(gè)前提可能會(huì)導(dǎo)致分析不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)鹊?。所以進(jìn)行數(shù)據(jù)正態(tài)性檢驗(yàn)很重要。那么如何進(jìn)行正態(tài)性檢驗(yàn)？接下來(lái)進(jìn)行說(shuō)明。

一、檢驗(yàn)方法

SPSSAU共提供三種正態(tài)性檢驗(yàn)的方法，分別是描述法、正態(tài)性檢驗(yàn)以及圖示法，其中圖示法包括直方圖以及P-P/Q-Q圖。

1.1描述法

理論上講，標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布偏度和峰度均為0，但現(xiàn)實(shí)中數(shù)據(jù)無(wú)法滿(mǎn)足標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，因而如果峰度絕對(duì)值小于10并且偏度絕對(duì)值小于3，則說(shuō)明數(shù)據(jù)雖然不是絕對(duì)正態(tài)，但基本可接受為正態(tài)分布。從上表可以看出例子中峰度為1.160絕對(duì)值小于10，偏度為-1.084絕對(duì)值小于3。說(shuō)明數(shù)據(jù)基本可以接受為正態(tài)分布。

1.2 正態(tài)性檢驗(yàn)

SPSSAU的正態(tài)性檢驗(yàn)包括三種：正態(tài)性shapro-WiIk檢驗(yàn)、正態(tài)性Kolmogorov-Smirnov檢驗(yàn)和Jarque-Bera檢驗(yàn)。

背景簡(jiǎn)單描述：調(diào)查一個(gè)班級(jí)的53名學(xué)生的身高，判斷搜集的數(shù)據(jù)是否滿(mǎn)足μ=140.79，σ=8.6的正態(tài)分布。

由于n>50,所以檢驗(yàn)方法選擇K-S檢驗(yàn)或者J-B檢驗(yàn)。如果利用K-S檢驗(yàn)進(jìn)行證明，步驟如下：

H0：x服從μ=140.79，σ=8.6的正態(tài)分布

H1：x不服從μ=140.79，σ=8.6的正態(tài)分布

附表如下：

（圖片來(lái)源于：網(wǎng)絡(luò)侵刪）

因?yàn)闃颖境^(guò)35，并且α=0.05，所以D約為1.36/

≈0.187；

相應(yīng)指標(biāo)

首先計(jì)算K-S檢驗(yàn)中的D統(tǒng)計(jì)量，計(jì)算公式如下：

【D=max left{D^{+}, D^{-} ight}】

【D^{+}=left|F_{n}left(x_{(k)} ight)-F_{0}left(x_{(k)} ight) ight|】

【D^{-}=left|F_{n}left(x_{(k)} ight)-F_{0}left(x_{(k-1)} ight) ight|】

首先將數(shù)據(jù)按從小到大進(jìn)行排序,用x進(jìn)行描述，k代表次序，然后計(jì)算其標(biāo)準(zhǔn)化的數(shù)據(jù)，標(biāo)準(zhǔn)化公式為：

【x^{prime}=rac{x-mu}{sigma}】

接著算出每個(gè)數(shù)據(jù)的頻次，并記錄好累積頻次，然后計(jì)算

【F_{n}left(x_{(k)} ight)】，

(N為累積頻次)，n為樣本量即例子中的53。

【F_{0}left(x_{(k)} ight)】為給定的累計(jì)分布可以利用excel自行算出，函數(shù)為：‘=NORM.DIST(x，mean，sd，TRUE) mean和sd就為mu和sigma。進(jìn)而可以求出

和

；各個(gè)步驟的計(jì)算如下：

所以可以算出D為0.218，D大于0.187，所以拒絕原假設(shè)，接受備擇假設(shè)所以不滿(mǎn)足。

同時(shí)可以使用SPSSAU進(jìn)行檢驗(yàn)更為方便，數(shù)據(jù)格式如下：

將數(shù)據(jù)上傳到SPSSAU進(jìn)行分析，操作如下：

分析結(jié)果如下：

從上述結(jié)果得到，樣本量大于50，所以選擇K-S檢驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)統(tǒng)計(jì)量D為0.218（和計(jì)算的一樣），p值小于0.05，所以模型顯著，拒絕原假設(shè)，數(shù)據(jù)不服從正態(tài)分布。

同時(shí)SPSSAU還提供了JB檢驗(yàn)：

Jarque-Bera檢驗(yàn)中，p值小于0.05，所以模型顯著，拒絕原假設(shè)，數(shù)據(jù)不服從正態(tài)分布（針對(duì)SPSSAU提供統(tǒng)計(jì)量為卡方值的原因:有證明顯示在正態(tài)性假定下，JB統(tǒng)計(jì)量漸近地服從自由度為2的卡方分布）。

1.3 圖示法

直方圖

直方圖若呈現(xiàn)‘中間高，兩邊低，左右基本對(duì)稱(chēng)的鐘形圖’則基本服從正態(tài)分析，但是數(shù)據(jù)量過(guò)少等也可能影響結(jié)果導(dǎo)致很難呈現(xiàn)出標(biāo)準(zhǔn)的正態(tài)分布，如果是這種情況如果看見(jiàn)‘鐘形’也可以可以接受的。上圖可以看出，數(shù)據(jù)呈現(xiàn)的分布并不對(duì)稱(chēng)，但是也出現(xiàn)近似‘鐘形’曲線(xiàn)，所以也可以勉強(qiáng)接受。

P-P圖

P-P圖是將觀(guān)察累積概率作為X軸，將正態(tài)累積概率作為Y軸，作散點(diǎn)圖，反映實(shí)際累積概率與理論累積概率的符合程度。如果散點(diǎn)分布近似‘對(duì)角線(xiàn)’則可以認(rèn)為正態(tài)分布，從圖中可以看出數(shù)據(jù)散點(diǎn)分布不是很滿(mǎn)足要求，但是也近似為‘對(duì)角線(xiàn)’所以勉強(qiáng)接受。

Q-Q圖

Q-Q圖和P-P圖功能一致，分析上大致沒(méi)有區(qū)別。

二、如何進(jìn)行正態(tài)性檢驗(yàn)

SPSSAU分析位置

（1）通用方法板塊

SPSSAU【通用方法】→描述/ SPSSAU【通用方法】→正態(tài)性檢驗(yàn)；

（2）可視化板塊

SPSSAU【可視化】→直方圖/ SPSSAU【可視化】→p-p/q-q圖；

三、其它學(xué)習(xí)資料

正態(tài)性檢驗(yàn)視頻學(xué)習(xí)資料：https://www.bilibili.com/video/av69017119/

直方圖分析方法視須解瀆：https://www.bilibili.com/video/av69465913/

P-P/Q-Q圖分析方法視頻解讀：https://www.bilibili.com/video/av69468707/

四、非正態(tài)數(shù)據(jù)怎么辦

針對(duì)上述幾種方法，正態(tài)性檢驗(yàn)最為嚴(yán)謹(jǐn)，但是實(shí)際數(shù)據(jù)由于樣本量較少等原因，即使數(shù)據(jù)總體正態(tài)但統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)出來(lái)也顯示非正態(tài)，實(shí)用性沒(méi)有圖示法直觀(guān)且接受性沒(méi)有圖示法高，所以在分析中常常圖示法應(yīng)用的比較多，如果在分析中數(shù)據(jù)嚴(yán)重不正態(tài)應(yīng)該怎么辦呢？接下來(lái)進(jìn)行說(shuō)明。

（1）將數(shù)據(jù)取對(duì)數(shù)處理

注意：原數(shù)據(jù)需要數(shù)據(jù)大于0，如果不滿(mǎn)足也可以取lg（x+k）等。

（2）開(kāi)根號(hào)

（3）取倒數(shù)

當(dāng)數(shù)據(jù)波動(dòng)較大時(shí)可以?xún)?yōu)先考慮

（4）Johnson轉(zhuǎn)換

（5）?計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)中常用的BOX-COX變換

（6）移除可能異常值

通常情況下，數(shù)據(jù)經(jīng)過(guò)處理會(huì)變得相對(duì)“正態(tài)”一些；此步可使用SPSSAU的“生成變量”功能即可完成。

或者嚴(yán)重不符合正態(tài)分布無(wú)法進(jìn)行分析也可以使用其他分析方法，比如非參數(shù)檢驗(yàn)等。