R語言極值理論：希爾HILL統(tǒng)計量尾部指數(shù)參數(shù)估計可視化
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極值理論對樣本尾部分布的極值指數(shù)的估計方法主要有兩類：半?yún)?shù)方法和全 參數(shù)方法，前者主要是基于分布尾部的 Hill 估計量，后者則主要基于廣義帕累托分布。
尾部指數(shù)的希爾HILL統(tǒng)計量估計。更具體地說，我們看到如果?
， 和?
，然后希爾HILL估計為?
?
?
。 然后?
?在某種意義上滿足某種一致性?
?,如果?
，即?
?（在收斂速度的附加假設(shè)下，?
）。此外，在附加的技術(shù)條件下
為了說明這一點，請考慮以下代碼。首先，讓我們考慮一個帕累托生存函數(shù)，以及相關(guān)的分位數(shù)函數(shù)
> Q=fuction(p){unro(funion(x) S(x)-(1-p),loer=1,per=1e+9)$root}
我們將考慮更復(fù)雜的生存函數(shù)。這是生存函數(shù)和分位數(shù)函數(shù)，
> plot(u,Veie(Q)(u),type="l")
在這里，我們需要 分位數(shù)函數(shù)從這個分布中生成一個隨機樣本，
> X=Vectorize(Q)(runif(n))
hill統(tǒng)計量在這里
> abline(h=alpha)
我們現(xiàn)在可以生成數(shù)千個隨機樣本，并查看這些估計器（對于某些特定的?
的）。
> for(s in 1:ns){+ X=Vectorize+ H=hill+ hilk=function(k)+ HilK[s,]=Vectorize+ }
如果我們計算平均值，
> plot(15*(1:10),apply(2,mean)
我們得到了一系列可以被認(rèn)為是無偏的估計量。
現(xiàn)在，回想一下，處于 Fréchet 分布并不意味著?
， 和?
, 但意味著
對于一些緩慢變化的函數(shù)?
，不一定恒定！為了了解可能發(fā)生的情況，我們必須稍微具體一些。這只能通過查看生存函數(shù)的性質(zhì)。假設(shè)，這里有一些輔助函數(shù)?
?
這個（正）常數(shù)?
?以某種方式與生存函數(shù)與冪函數(shù)之比的收斂速度有關(guān)。
更具體地說，假設(shè)
然后，使用獲得二階正則變化性質(zhì)?
，然后，如果?
?趨向于無窮大太快，那么估計就會有偏差。?如果?
，那么，對于一些?
,
這個結(jié)果的直觀解釋是，如果?
?太大，并且如果基礎(chǔ)分布不完全?是帕累托分布，那么希爾估計量是有偏的。這就是我們所說的意思
如果?
?太大，?
?是有偏估計量
如果?
?太小，?
?是一個不穩(wěn)定的估計量
（后者來自樣本均值的屬性：觀察越多，均值的波動性越?。?/p>
讓我們運行一些模擬以更好地了解正在發(fā)生的事情。使用前面的代碼，生成具有生存函數(shù)的隨機樣本實際上是極其簡單的
> Q=function(p){uniroot(function(x) S(x)-(1-p)}
如果我們使用上面的代碼。
希爾hill變成
> abline(h=alpha)
但它僅基于一個樣本。再次考慮數(shù)千個樣本，讓我們看看 Hill 統(tǒng)計量如何，
所以這些估計量的（經(jīng)驗）平均值是
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