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## 材料力學(上）

- 概念

? - 剛度：抵抗變形的能力

? - 強度：抵抗破壞的能力 [破壞：不可逆、非彈性形變]

? - 穩(wěn)定性：保持穩(wěn)定平衡狀態(tài)的能力

- 基本假設

? - 材料是連續(xù)的、均勻的

? - 各向同性假設

? - 只研究小變形問題

- 基本變形：拉壓、彎曲、剪切、扭轉(zhuǎn)

- 軸向拉伸壓縮

? - 條件：1. 等直桿 or 分段等直 2.受力沿軸向<雖然局部受力平衡，但會因為內(nèi)力的維持而產(chǎn)生形變>

? - 在研究某一向度x時：集中力[集中載荷]{集中在一點:$F(x_0)$} & 分布力[分布載荷]{有一定的分布線密度:$f(x)$}

? ? - 對均布荷載，有$F=ql$

? - 軸力圖：軸向內(nèi)力F-截面坐標x【F表示0-x區(qū)段右側(cè)所受力】

? ? - 沒有載荷的區(qū)段：$F=Const$

? ? - 集中載荷處：F有對應大小的階躍

? ? - 均布載荷區(qū)段：F-x成一次函數(shù)

? - 假設軸向力在截面上均勻分布，稱力的面密度為應力,若力正交于截面，稱作正應力：$\sigma=\frac {F_N}A$

? ? - 在集中載荷附近，或者桿件形狀改變區(qū)域附近，應力分布復雜，不適用于均勻分布假設

? ? - 特殊橫截面的桿件也不適用于均勻分布假設

? ? - 外力在桿端分布方式不同，但合力相同，則只影響接觸點局部區(qū)域

? - 彈性形變

? ? - 胡克定律的軸向力形式：$\frac{\delta l}{l}=\frac{F_N}{EA}\quad$ $E$為材料的楊氏彈性模量，E越小，材料越“軟”；$EA$稱作拉壓剛度

? ? - 應力：$\sigma=\frac {F_N}A\quad$ 應變[相對變形量：去除了量綱]：$\epsilon=\frac {\delta l}l\quad$ 因此：$\epsilon=\frac 1E \sigma$

? - 拉壓桿時的橫向形變

? ? - 拉桿時：$\Delta l>0 \Delta d<0$

? ? - 壓桿時：$\Delta l<0 \Delta d>0$

? ? - 軸向應變：$\epsilon=\frac {\delta l}l\quad$ 橫向應變：$\epsilon'=\frac {\delta d}d\quad$ 則材料的泊松比$\nu=|\frac {\epsilon'}{\epsilon}|=-\frac {\epsilon'}{\epsilon}$

? ? - 橫向應變可以用截面內(nèi)任意線段的應變指代[甚至曲線長度也可] [本質(zhì)是橫截面的線度膨脹]

? - 應力-應變曲線（以低碳鋼拉伸為例）

? ? - 彈性階段OB [形變可完全恢復]（B:最大$\sigma_e$稱為彈性極限）

? ? ? - 線性階段OA [適用于胡克定律：應力-應變成比例]（A:最大$\sigma_p$稱為比例極限）

? ? - 屈服階段 [應力上下快速波動、均值基本不變，應變大幅增加，為塑性形變] （D:屈服階段的周期波動最小值$\sigma_s$稱為屈服極限）

? ? - 強化階段 [曲線恢復光滑、爬升至最高點G]（G:最大$\sigma_b$稱為強度極限）

? ? ? - 強化卸載：若在強化階段某一點[稱作卸載點]開始減小應力，則應力-應變關系以滿足胡克定律的形式線性下降直至橫軸

? ? ? - 再加載：強化卸載后，材料相較最初有不可逆拉伸，此時應力從0重新增大，則材料狀態(tài)沿強化卸載曲線原路返回至卸載點

? ? ? ? - 再加載為冷作硬化[冷處理硬化]：$\sigma_p\uparrow$：線性階段擴大；$\quad\sigma_b$不變； 相同應力情況下應變減小：材料變硬、可塑性降低

? ? - 破壞階段[頸縮階段：截面積縮小直至斷裂]

? ? ? - 塑性伸長率：$\delta=\frac{\delta l}l$ 拉斷時最大應變

? - 低碳鋼壓縮的應力應變規(guī)律

? ? - 在彈性、屈服階段，壓縮與拉伸的曲線基本重合（但壓縮曲線沒有屈服抖動），即E、$\epsilon_s$相同

? ? - 隨著應力進一步增大，應力-應變曲線呈現(xiàn)下凸

? ? - 壓縮后，材料呈現(xiàn)鼓型[中間鼓出]

? - 對于無屈服階段的塑性材料，在$\epsilon=0.2\%$處做胡克定律直線，與曲線交點稱為名義屈服極限點，得到$\sigma_{p0.2}$，直線左側(cè)為名義彈性階段

? - 許用正應力：$[\sigma]=\frac{\sigma_u}n\quad$ n>1為安全系數(shù)

? ? - 塑性材料：$\sigma_u=\sigma_s or \sigma_{p0.2}$

? ? - 脆性材料[$\epsilon_b$很小，且?guī)缀鯖]有頸縮階段直接斷裂]：$\sigma_u=\sigma_b$

- 扭轉(zhuǎn)

? - 條件：1.分段等直圓桿 2.在桿兩端、作用面垂直于軸線的一對力偶[旋向相反]<雖然局部力矩平衡，但是會因為力矩而產(chǎn)生形變>

? - 特點：橫截面繞軸轉(zhuǎn)動，原母線變?yōu)槁菪€；橫截面上只有切向內(nèi)力

? - 深入理解：設想圓柱為一捆筷子，微觀視角下，所謂扭轉(zhuǎn)即筷子的局部剪切形變，故扭轉(zhuǎn)切向內(nèi)力面密度沿半徑成正比

? - 由：$\tau_\rho= k\rho\quad$ 則：力矩 $T=\int\rho dF=\int\rho\tau_\rho dA=k\int\rho^2dA \quad $

? ?令極慣性矩：$I_\rho=\int\rho^2dA\quad$ 則：$kI_\rho=T\quad \tau_\rho=\frac{T\rho}{I_\rho}$

? ?令扭轉(zhuǎn)截面系數(shù)：$W_p=I_\rho/R$，則圓周上切內(nèi)力密度$\tau_{max}=\frac{T}{W_p}$

? ? ?- 對圓截面：$I_\rho=\frac{\pi d^4}{32}\quad W_p=\frac{\pi d^3}{16}$

? - 扭轉(zhuǎn)切向內(nèi)力垂直于半徑，旋向與該側(cè)截面對應桿端的扭矩相同

? - 強度條件：許用切應力$[\tau]$，則$\frac{T}{W_p}<[\tau]$

? ? - 剛度條件：$\frac{\phi_{max}}{l}<[\phi']$

? - 胡克定律的扭轉(zhuǎn)力形式：$\delta\phi=\frac{Ml}{GI_\rho}\quad G$為切變模量； $GI_\rho$為扭轉(zhuǎn)剛度【可由胡克定律的切應力形式推導】

? - 非圓桿的兩種扭轉(zhuǎn)

? ? - 自由扭轉(zhuǎn)（純扭轉(zhuǎn)）[等直桿兩端可自由翹曲，原橫截面間的翹曲程度完全相同，桿內(nèi)無正應力]

? ? - 約束扭轉(zhuǎn)[桿內(nèi)有附加正應力]

? - 矩形截面桿

? ? - 最大切應力在矩形長邊的中點處，矩形任意一邊的切應力分布呈現(xiàn)上凸形，即中點為局部最大，矩形中心和四頂點切應力為0，從中心向外切應力逐漸增大

- 剪切

? - 胡克定律的切應力形式：$\delta\theta=\frac 1G \frac FA\quad$ $\frac FA$為剪切應力

? - 單剪切[一對力偶]

? ? - 雙剪切[三力兩偶] [彎曲平衡受力]

- 彎曲

? - 條件：1.等直桿[梁] 2.三力兩偶

? - 特點：1.母線彎曲 2.任意兩橫截面做相對轉(zhuǎn)動

? - 概念

? ? - 簡支梁：梁的兩端擱置在支座上，并在一端加設水平約束，該處的支座稱為鉸支座，另一端支座稱為可動支座。理論上簡支梁可繞鉸支座轉(zhuǎn)動

? ? - 剪力：平行橫截面的內(nèi)力

? ? - 彎矩：梁內(nèi)正應力的力矩（用于平衡剪切力力矩）

? ? - 集中力偶：可以通過在梁中某一點徑向剛接一段桿件，并在桿件末端施加軸向力獲得【對徑向受力平衡無影響，只影響力矩】

? - 深入理解：梁內(nèi)應力分布十分復雜，故人為地將應力進行軸向、徑向分解，得到正應力和剪應力

? - 剪力圖-彎矩圖：通過對徑向列力的平衡方程，求得0-x區(qū)段受到剪力$F_s$；通過對桿端列力矩平衡方程，求得0-x區(qū)段所受彎矩

? ? - 注意：剪力圖為$\uparrow\rightarrow$；彎矩圖為$\downarrow\rightarrow$

? ? 1. $q=0 \quad F_s=C\quad M:Linear$

? ? 2. $q=C \quad F_s:Linear\quad M:Parabola$

? ? 3. 集中力($q$沖激) $F_s$突變 $M$折角

? ? 4. 集中力偶 $F_s$無影響 $M$突變

? - 符號規(guī)定

? ? - 剪切力為正：使梁有順時針轉(zhuǎn)動趨勢【力矩$\otimes$】

? ? - 彎矩為正：軸向正應力力矩$\odot$

? ? - 分布荷載集度：$q(x)$向上為正，向下為負

? - 剪力、彎矩、q

? ? - $\frac{dF_s(x)}{dx}=q(x)$

? ? ? - $F_s(x_2)=F_s(x_1)+\int_{x_1}^{x_2}q(x)dx$

? ? - $\frac{dM(x)}{dx}=F_s(x)$

? ? ? - $M(x_2)=M(x_1)+\int_{x_1}^{x_2}F_s(x)dx$

? ? ? - $\frac{d^2M(x)}{dx^2}=q(x)$

? - 純彎曲：$F_s=0\quad M=C\quad$否則稱為橫力彎曲

? ? - 假設純彎曲后原橫截面仍為平面，且與軸線正交【正因為母線與橫截面正交，說明截面之間沒有剪切形變，故$F_s=0$】

? ? - 設梁受到正彎曲【$M>0$下凸】，則梁從上到下分為受壓區(qū)、中性層、受拉區(qū)；設截面左右對稱，梁在寬度方向無應力變化，在高度方向有變化

? ? - 梁高不大時，可將橫力彎曲近似應用純彎曲公式

? ? - 設梁彎曲的曲率半徑為$\rho$，則距中性層$h$處的正應力$\sigma=E\epsilon=E\frac{h}{\rho}$

? ? - 設梁自由扭轉(zhuǎn)，即正應力合力為0；$\int_A\sigma dA=0\rightarrow\int_A hdA\quad$ 故中性軸[中性層與截面交線]為形心軸

? ? - 正應力力矩：$M=\int h\sigma dA=\frac{E}{\rho}\int h^2dA\rightarrow\frac 1\rho=\frac{M}{EI_z}\quad I_z$為關于形心軸的轉(zhuǎn)動慣量；$EI_z$為彎曲剛度；$\sigma=\frac{Mh}{I_z}$，令彎曲截面系數(shù)$W_z=\frac{I_z}{h_{max}}$，得最大正應力$\sigma_{max}=\frac{M}{W_z}$

? ? ? - 對圓截面：$I_z=\frac{\pi d^4}{64}\quad W_z=\frac{\pi d^3}{32}$

? ? ? - 正應力強度條件：$\sigma_{t,max}<[\sigma_t]\quad\sigma_{c,max}<[\sigma_c]$ 最大拉應力和壓應力都不能超過許用值

? ? - 由$M=C \quad E=C' \quad I_z=C''$得$\rho=C'''$故純彎曲的梁成圓弧形

? - 彎曲切應力分布：對矩形截面，橫截面上切應力方向豎直，在寬度方向應力大小相同

? ? - $\tau=\frac{F_sS_z}{bI_z}$

? ? ? - $F_s$：截面剪力

? ? ? - $S_z$：所計算點處下側(cè)對中性軸的靜距

? ? ? - $I_z$：截面對中性軸的轉(zhuǎn)動慣量

? ? ? - $b$：橫截面的寬度

? ? - 對矩形截面，$\tau=\frac{F_s}{2I_z}(\frac{h^2}{4}-y^2)\quad h$為截面總高度，$y$ 為計算點到中性軸的豎直距離；$\tau_{max}=\frac {3F_s}{2A} \quad A$為截面積

? ? - 切應力強度條件：$\tau_{max}<\tau$

- 梁的彎曲位移【忽略軸向位移，只考慮徑向】

? - 撓度：某一點在梁彎曲后的豎向位移w【向下為正】【$\downarrow\rightarrow$】

? - 撓度曲線：$w=f(x)$表征每一點的撓度，也即彎曲后梁的形狀

? - 在撓度曲線上$x=x_0$點做切線，切線與水平線夾角稱作轉(zhuǎn)角【斜率<0時轉(zhuǎn)角取正】，可得$\theta(x)\approx\tan\theta(x)=\frac {dw}{dx}$

? - 曲率微分方程(純彎曲)：$\frac 1\rho=\frac{|M(x)|}{EI_z}\approx|w''(x)|\rightarrow\frac{M(x)}{EI_z}=-w''(x)$

? ? - 初始條件$w(0)=0$

? ? - 簡支梁：$w(a)=0$

? ? - 懸臂梁：$w'(0)=0$

- 超靜定

? - 靜定問題：構(gòu)件的受力情況通過靜力平衡就能唯一確定

? - 超靜定問題：未知數(shù)個數(shù)多于靜力學平衡方程

? ? - 可以添加幾何約束方程，如：$\Delta l=0$

? ? - 一般來說，剛度大的桿件受力大，剛度小的桿件受力?。皇褂贸o定結(jié)構(gòu)可以提高結(jié)構(gòu)的強度(提高最大受力)和剛度(減小形變)

? ? - 超靜定結(jié)構(gòu)會產(chǎn)生 溫度應力 (因溫度變化、熱脹冷縮、桿件形變而產(chǎn)生的額外應力)

? ? ? - $\Delta l_t=\frac{Fl}{EA}\pm \alpha \Delta t\quad$ 原桿壓縮則-，拉伸則+

? ? - 由于加工誤差、在裝配時產(chǎn)生過盈配合，超靜定結(jié)構(gòu)會有 裝配應力（未有外力承載時已有內(nèi)力）