熱愛(ài)數(shù)學(xué)的寶寶們，大家好，老碧又來(lái)了！

昨天我們看了書上對(duì)實(shí)數(shù)范圍內(nèi)和的定義，并且驗(yàn)證了，這個(gè)定義下兩個(gè)實(shí)數(shù)的和，在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)不僅存在，而且唯一，滿足運(yùn)算的“封閉律”。

今天，我們就來(lái)驗(yàn)證，在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)的“加法”也滿足交換群的四個(gè)性質(zhì)——

13加法的性質(zhì)

書中首先給出了實(shí)數(shù)加法的前三個(gè)性質(zhì)——

其中——

1. 交換律

2. 結(jié)合律

3. 有恒元——0

書中給出了第三個(gè)性質(zhì)的證明——

我們可以按照同樣的思路，利用實(shí)數(shù)加法的定義，依次給出這三個(gè)性質(zhì)的證明——

交換律的證明——

1. 我們?nèi)稳蓚€(gè)實(shí)數(shù)f、g，我們分別用兩組有理數(shù)從兩個(gè)方向無(wú)限接近它們，a<f<a'，b<g<b'，對(duì)所有的（/任意的）a、b、a'、b'，有a+b<f+g<a'+b'；

2. 同理，b+a<g+f<b'+a'；

3. 因?yàn)橛欣頂?shù)加法滿足交換律，所以a+b=b+a，a'+b'=b'+a'，所以對(duì)所有的（/任意的）a、b、a'、b'，還滿足不等式，b+a<f+g<b'+a'；

4. 結(jié)合2、3，以及實(shí)數(shù)和的唯一性，可知對(duì)任意實(shí)數(shù)f，g，f+g=g+f。

即實(shí)數(shù)加法滿足交換律。

結(jié)合律的證明——

1. 我們?nèi)稳∪齻€(gè)實(shí)數(shù)l、m、n，我們分別用兩組有理數(shù)從兩個(gè)方向無(wú)限接近它們，a<l<a'，b<m<b'，c<n<c'，對(duì)所有的（/任意的）a、b、c、a'、b'、c'，a+b<l+m<a'+b',b+c<m+n<b'+c'；

2. 由實(shí)數(shù)的和的定義，（a+b）+c<（l+m）+n<（a'+b'）+c'，a+（b+c）<l+（m+n）<a'+（b'+c'）；

3. 由有理數(shù)結(jié)合律可知，（a+b）+c=a+（b+c），（a'+b'）+c'=a'+（b'+c'）；

4. 結(jié)合2、3，以及實(shí)數(shù)和的唯一性，可知（l+m）+n=l+（m+n）。

即實(shí)數(shù)加法滿足結(jié)合律。

存在恒元0的證明——

1. 任取實(shí)數(shù)k，用兩組有理數(shù)從兩個(gè)方向無(wú)限接近它，a<k<a'，0也是一個(gè)實(shí)數(shù)，那么也存在兩組有理數(shù)可以無(wú)限接近它b<0<b'，顯然b都是負(fù)數(shù)，b‘都是正數(shù)，顯然，a+b<k+0<a'+b’；

2. 由1顯然可得a+b<a+0<a'+0<a'+b'，即a+b<a<a'<a'+b'；

3. 結(jié)合1、2，可得a+b<a<k<a'<a'+b'；

4. 結(jié)合1、3，以及實(shí)數(shù)和的唯一性，可知k+0=k。

即實(shí)數(shù)中也存在和有理數(shù)一樣的數(shù)0，使得任何實(shí)數(shù)和0的和等于這個(gè)實(shí)數(shù)。

書中接著驗(yàn)證了實(shí)數(shù)加法也滿足有理數(shù)加法的第四個(gè)性質(zhì)——

即——

4.任何一個(gè)實(shí)數(shù)都有逆元——對(duì)于任意的實(shí)數(shù)a，都存在另一個(gè)實(shí)數(shù)-a，使得，a+（-a）=0，稱-a和a互為相反數(shù)。

每個(gè)實(shí)數(shù)都有相反數(shù)的證明，利用了”有理數(shù)分劃“這個(gè)工具，有理數(shù)必然有相反數(shù)，所以只需要證明無(wú)理數(shù)有相反數(shù)，即對(duì)任意一個(gè)無(wú)理數(shù)a，能找到一個(gè)實(shí)數(shù)（-a）滿足，a+(-a)=0，即可——

1. 任意一個(gè)無(wú)理數(shù)a對(duì)應(yīng)一個(gè)有理數(shù)分劃，且，這個(gè)無(wú)理數(shù)不屬于上組或下組；
   

2. 這個(gè)無(wú)理數(shù)a確定的有理數(shù)分劃下組的所有數(shù)的相反數(shù)必然大于其上組所有數(shù)的相反數(shù)，故，且由有理數(shù)關(guān)于0的對(duì)稱性可知，這些相反數(shù)組成的集合依然是全體有理數(shù)，故而，所有相反數(shù)構(gòu)成一個(gè)有理數(shù)分劃，其界數(shù)就是我們要找的（-a）；——我們由此構(gòu)造了（-a），下面要驗(yàn)證其滿足a+（-a）=0的條件——

3. 我們記a確定的有理數(shù)分劃下組的任意元素為x，上組任意元素為x'，那么（-a）的下組任意元素為-x‘，上組任意元素為-x，其中x<a<x'，-x'<-a<-x，由此可知x-x'<a+(-a)<x'-x；

4. 顯然，x-x'=-（x'-x），它們互為相反數(shù)，所以對(duì)任意的x-x'，都有x-x'<0<x'-x；

5. 由3、4，以及實(shí)數(shù)和的唯一性，可知a+(-a)=0。

即，任意無(wú)理數(shù)也在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有相反數(shù)。

即，任意實(shí)數(shù)都在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有相反數(shù)。

最后，書上介紹了一個(gè)關(guān)于實(shí)數(shù)和的序的性質(zhì)——若實(shí)數(shù)a>b，則對(duì)于任意實(shí)數(shù)c，a+c>b+c。

這個(gè)證明利用了實(shí)數(shù)的”強(qiáng)稠密性“——任意兩個(gè)實(shí)數(shù)之間都有無(wú)數(shù)個(gè)有理數(shù)，將實(shí)數(shù)的和的比較轉(zhuǎn)化成了我們已知的有理數(shù)的和的比較，也用到了化歸思想——

1. 對(duì)于任意實(shí)數(shù)a>b，之間必然存在兩個(gè)有理數(shù)r1、r2，使得a>r1>r2>b，對(duì)于任意實(shí)數(shù)c，用兩組有理數(shù)從兩個(gè)方向無(wú)限接近它，s<c<s'，無(wú)限逼近即對(duì)任意小的實(shí)數(shù)e，存在s'與s，使得s'-s<e；

2. 由r1-r2>0，所以必然存在e0使得r1-r2>e0>0；

3. 結(jié)合1、2，則存在s'與s使得，s'-s<e0<r1-r2，即s'+r2<s+r1；

4. 又有a>r1>r2>b，則a+c>r1+s>r2+s'>b+c。

即——若實(shí)數(shù)a>b，則對(duì)于任意實(shí)數(shù)c，a+c>b+c。

今天就到這里，明天繼續(xù)！