用兩種顏色能把直線劃分的區(qū)域分隔開嗎？

首先定義區(qū)域，直觀的說就是用曲線或者直線劃分平面所成的各個(gè)部分，（例如平面上畫一個(gè)圓，就把平面分為圓內(nèi)和圓外兩個(gè)部分）

問題:在平面上有N條直線，一共把平面分成若干個(gè)區(qū)域，現(xiàn)在用黑白兩種顏色，要使所有相鄰的區(qū)域都能著上不同的顏色，這可能嗎？

分析:問題中的直線沒有任何位置關(guān)系，我們可以從一般入手，可以驗(yàn)證當(dāng)N等于1或2的時(shí)候，原命題是成立的。作圖如圖1

原命題也是成立的，所以我們考慮運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法。

解:假定當(dāng)N=k時(shí)成立，任意添上一條線，設(shè)為L（K+1)。因?yàn)楫?dāng)N=k時(shí)成立，所以做出一條線可能有以下結(jié)果（圖2）

我們很容易得出，在這時(shí)，L(k+1)與提設(shè)有沖突，但我們可以看出都是在這一條線的上下有沖突，若我們把L(k+1)同一側(cè)的區(qū)域（新的區(qū)域）全部替換成與原來不同色的，則上下就沒有沖突了，而左右依舊是兩色交替，符合題設(shè)，根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法，得出原命題成立

因此可以說明，當(dāng)N是任何自然數(shù)時(shí)，N條直線劃分平面而成的區(qū)域，用黑白兩色是可以區(qū)別著色的

關(guān)于涂色問題

涂色問題中，“四色問題”尤為出名。經(jīng)過實(shí)踐，我們很容易得出，區(qū)別任意線條在平面上所留下的區(qū)域只需要4種顏色就夠了（例如各種地圖上只有四種顏色），但如何去尋找它的內(nèi)在邏輯呢？這個(gè)四色問題長期以來成為數(shù)學(xué)上許多未解決的著名問題之一，困難點(diǎn)是需要非常復(fù)雜的計(jì)算，似乎是人們不能克服的困難。但在1976年，在電子計(jì)算機(jī)的幫助下，把這個(gè)問題解決了?，F(xiàn)在我們可以稱之為“四色定理”了