第3章 數(shù)式精彩紛呈

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數(shù)式是由數(shù)字、運(yùn)算符與等號構(gòu)成的等式。

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3.1 素因數(shù)分解式

在數(shù)學(xué)中，因數(shù)分解，又稱素因數(shù)分解，是把一個正整數(shù)寫成幾個約數(shù)的乘積。

如:

2016 = 2^5 X 3^2 X 7

201804 = 2^2 X 3 X 67 X 251

在代數(shù)學(xué)、密碼學(xué)、計算復(fù)雜性理論和量子計算機(jī)等領(lǐng)域中有重要意義，因數(shù)分解算法可以去百度了解，下面介紹最簡單的算法。

試除法是整數(shù)分解算法中最簡單和最容易理解的算法。給定分解的整數(shù)n，試除法是用小于等于n的每個素數(shù)去試除待分解的整數(shù)。如果找到一個數(shù)能夠整除除盡，這個數(shù)就是待分解整數(shù)的因子。

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【編程題】

給定正整數(shù)n，分解素因數(shù)，并按照從小到大寫為乘積式（指數(shù)形式）

【備注，當(dāng)n很大時，或者整數(shù)的素因數(shù)很大時，分解是艱難的】

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3.2 埃及分?jǐn)?shù)式

埃及分?jǐn)?shù)是指分子是1的分?jǐn)?shù)，也叫單位分?jǐn)?shù)。古代埃及人在進(jìn)行分?jǐn)?shù)運(yùn)算時，只使用分子是1的分?jǐn)?shù)。因此這種分?jǐn)?shù)也叫做埃及分?jǐn)?shù)，或者叫單分子分?jǐn)?shù)。

聽過下面這個傳說故事嗎？

老人彌留之際，將家中11匹馬分給3個兒子，老大分二分之一，老二分四分之一，老三分六分之一。二分之一是5匹半馬，總不能把馬殺了吧，正在無奈之際，鄰居把自己家的馬牽來，老大二分之一，牽走了6匹；老二四分之一，牽走了3匹；老三六分之一，牽走了2匹。一共11匹，分完后，鄰居把自己的馬牽了回去。即12分之11等于二分之一加四分之一加六分之一。

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把一個給定的整數(shù)或分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)化為若干不相同的埃及分?jǐn)?shù)之和。其中分解式中埃及分?jǐn)?shù)的個數(shù)最少，或在個數(shù)相同是埃及分?jǐn)?shù)中最大分母為最小的分解式稱為最優(yōu)分解式。

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【編程題】

對給定的發(fā)呢書m/d分解為3個埃及分?jǐn)?shù)的分解式，其分母為a, b, c (a < b < c)，最大分母不超過Z，輸出所有埃及分?jǐn)?shù)式。

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3.3 橋本分?jǐn)?shù)式

把1,2, . . . 9這9個數(shù)填入下列算式的9個方格中(數(shù)字不得重復(fù))，使下列等式成立。

口/口口 + 口/口口 = 口/口口

如：4/56 + 7/98 = 3/21

【編程題】

橋本分?jǐn)?shù)式有多少不同的解（約定式左邊兩個分?jǐn)?shù)中分子小的在前）？

如果要求3個分?jǐn)?shù)為最簡分?jǐn)?shù)（即分子、分母沒有大于1的公因數(shù)），有多少中不同的解？

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3.4 優(yōu)美和式與平方式

三項優(yōu)美和式：把1，2，……，9這9個數(shù)字分別填入以下和式的9個口中，為體現(xiàn)優(yōu)美，要求1~9這9個數(shù)字在式中出現(xiàn)一次且只出現(xiàn)一次，使得和式成立：

口口口 + 口口口 = 口口口

如： 235 + 746 = 981

【編程題】

三項優(yōu)美和式中右邊和的最小值為多大？有多少種不同的填法？（約定左邊兩個加數(shù)的前一個3位數(shù)的各位數(shù)字分別小于后一個3位數(shù)的相應(yīng)數(shù)字）

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【擴(kuò)充】

四項優(yōu)美和式

口 + 口口 + 口口口 = 口口口

10數(shù)字優(yōu)美和式（0 ~ 9這10個數(shù)字填入）口口口 + 口口口 = 口口口口

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優(yōu)美平方式

把1，2，……，9這9個數(shù)字分別填入以下和式的9個口中，數(shù)字在式中出現(xiàn)一次且只出現(xiàn)一次，使得等式成立，該等式稱為優(yōu)美平方式。 口口口口口口 = （口口口口）^2

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3.5 優(yōu)美綜合運(yùn)算式

隱序四則運(yùn)算式

把0，1，2，……，9這10個數(shù)字不重復(fù)填入以下四則運(yùn)算式中的10個口中，使得等式成立。

口口口 + 口口÷口?- 口口?X 口 = 口

約定1，0不出現(xiàn)在式左邊的1位數(shù)種，且數(shù)字0不能位整數(shù)首位。

同時，要求式中的10個不重復(fù)的數(shù)字須符合指定隱序，指定隱序由輸入的整數(shù)決定。

如指定隱序為4位數(shù)2019，則該運(yùn)算式中數(shù)字的隱含順序：數(shù)字2須在0的左邊，數(shù)字0須在1的左邊，數(shù)字1須在9的左邊。如：267 + 80 ÷?5 - 31 X 9 =4

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綜合運(yùn)算式

把0，1，2，……，9這10個數(shù)字不重復(fù)填入以下四則運(yùn)算式中的10個口中，使得等式成立。

口^口 + 口口÷口?- 口口口?X 口 = 口

約定1，0不出現(xiàn)在式左邊的1位數(shù)種，且數(shù)字0不能位整數(shù)首位。

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【編程題】

探求指定隱序的優(yōu)美四則運(yùn)算式

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3.6 變序數(shù)和式

變序數(shù)式由同一組數(shù)字通過不同排列所得的位數(shù)相同的整數(shù)。

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變序數(shù)和式是由變序數(shù)組成的等式。

如：2385 + 2853 = 5238

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【編程題】

探索n位變序數(shù)和式

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3.7 逆序與變序倍積式

3.7.1 逆序倍積式

abcd X 4 = dcba

abcd X 9 = dcba

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3.7.2 變序倍積式

定義：若n位整數(shù)u的k（2 ≤?k ≤?9）倍積s = uk是u的變序數(shù)，則稱數(shù)式 uk = s為一個n位變序倍積式。

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【編程題】

探索n位變序倍積式

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3.8 對稱運(yùn)算式

對稱運(yùn)算式是含有指定運(yùn)算且等號左、右兩邊的數(shù)字與運(yùn)算符完全對稱的數(shù)學(xué)等式。

3.8.1 對稱乘積式

2+2位對稱乘積式：ab X cd = dc X ba

【編程題】

探索m+n位對稱乘積式

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【拓展】

3.8.2 對稱四則運(yùn)算式

對稱運(yùn)算式中由加減乘除運(yùn)算

3.8.3 對稱綜合運(yùn)算式

對稱運(yùn)算式中由加減乘除和乘方運(yùn)算

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3.9 分段和冪式

3.9.1 卡普雷卡平方式

卡普雷卡數(shù) 3025 = （30 + 25）^2

【編程題】

搜索n位卡普雷卡平方式

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3.9.2 拓展分段和冪式

【編程題】

輸入位數(shù)n，段數(shù)r和冪指數(shù)m，搜索并輸出所有n位r段和m次冪式

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【讀者體會】

這一章介紹了一些精彩的數(shù)式。

如果需要編程找到這些的數(shù)式。

編程設(shè)計要點。枚舉法。

1）枚舉。分析數(shù)式，計算并確定每個數(shù)據(jù)取值范圍，然后循環(huán)依次處理（可以利用數(shù)式的一些特征，減小搜索區(qū)間，減少運(yùn)行時間）

2）判定數(shù)式是否成立。依據(jù)數(shù)式定義，判定數(shù)式是否成立（注意，如果數(shù)式中有除法，一般去除除法，另外可用數(shù)組存儲數(shù)式中數(shù)據(jù)的每一位）

3）判別和輸出。依據(jù)定義數(shù)式和數(shù)式中的數(shù)是否滿足定義。（可以用數(shù)組記錄數(shù)和中間結(jié)果的每一位，便于判定）

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