立體幾何外接球萬能解法

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附帶一點(diǎn)點(diǎn)自我補(bǔ)充內(nèi)容

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立體幾何外接球面積和體積的萬能解法

①確定底面ABC，確定底面的外接圓和外接圓圓心O'

②求出外接圓的半徑r

【自我補(bǔ)充】

任意三角形外接圓半徑速解：

r外＝(1/2)*(a/sinA)

a和sinA即為任意一邊及其對(duì)角

③確定大圓及大圓圓心O

(每一個(gè)底面外接圓，總有一個(gè)半徑即為球體半徑大圓與之平行)

記OO'長度＝h，構(gòu)造勾股定理h2+r2＝R2

(由于大圓與小圓平行，所以高度h垂直于兩個(gè)平面，產(chǎn)生了直角，所以可以使用勾股定理進(jìn)行構(gòu)造)

④確定頂點(diǎn)S到底面ABC的投影點(diǎn)M，記SM＝H，SM即為該幾何體的高

⑤連接O'M，過O點(diǎn)作ON垂直于SM，交SM于N點(diǎn)，O'M=ON，MN=h

⑥構(gòu)造勾股定理(H-h)2+O'M2＝R2

(幾何體的高垂直于底面，底面與大圓平行，則也垂直于大圓，由此，可以構(gòu)造第二個(gè)勾股定理)

聯(lián)立兩個(gè)勾股定理即可解得未知數(shù)h與R，進(jìn)而求出外接球的體積與面積。

以上為復(fù)雜題目所采取的通法

有的簡單題目，幾何體的頂點(diǎn)S，外接球的圓心O，底面圓的圓心O'都在一條直線上

同樣也是構(gòu)造勾股定理，但相對(duì)來說就比較好構(gòu)造

常見的類型有正幾棱錐或是正幾面體

【自我補(bǔ)充】

(h均為幾何體的高度，r外為底面圓半徑)

正棱錐的外接球公式：

R2＝(1/4)h2+r外2

直棱柱，正棱柱的外接球公式：

R2＝(h-R)2+r外2

有的幾何體并不貫穿整個(gè)外接球，而可能只位于外接球的上半方。

所以可能算出來數(shù)值會(huì)不一樣，為了避免這種情況，先統(tǒng)一按照貫穿整個(gè)外接球來進(jìn)行計(jì)算。

唯一不一樣的數(shù)值是OO'長度h

h＞0時(shí)，就是最普通的情況，幾何體貫穿整個(gè)外接球

h=0時(shí)，幾何體正好占了半個(gè)外接球，也沒問題

h＜0時(shí)，幾何體就位于外接球的上半方

當(dāng)h小于零的時(shí)候，只需要將最后一步構(gòu)造勾股定理中的(H-h)替換成(H+h)

下面是例題：

(外接圓有的比較特殊的，可以直接根據(jù)幾何關(guān)系，不用列勾股定理都能直接求解，但是面對(duì)比較普通的外接圓，建議使用補(bǔ)充的公式更快)

注意這道題里面在把h解出來的時(shí)候?yàn)樨?fù)值，所以要返回去把第二個(gè)勾股定理里面的減號(hào)改成加號(hào)，然后再做一遍，這個(gè)時(shí)候解出來的h值才是真實(shí)的h值，進(jìn)而求得外接球半徑

byebye|ω?）