【菲赫金哥爾茨微積分學(xué)教程精讀筆記Ep51】第三波習(xí)題來了！
我們在Ep49和Ep50介紹了實數(shù)完備性的前兩個定理的相互推導(dǎo)，今天我們來繼續(xù)聊實數(shù)完備性第二個定理的前兩個習(xí)題。
我們先復(fù)習(xí)一下實數(shù)完備性第二個定理的內(nèi)容：單調(diào)有界數(shù)列必有極限。
我們把這個定理換一種更好應(yīng)用的方式表述——單增有上界數(shù)列必有極限，單減有下界數(shù)列必有極限。
而這個定理常常會用到的地方——
典型能看出來單調(diào)的數(shù)列，比如我們學(xué)到后面的正項級數(shù)收斂的判定法中，就有這條定理的應(yīng)用；
考試的時候，如果遇到“證明XXX迭代數(shù)列是收斂的”優(yōu)先考慮能不能用這個定理——迭代數(shù)列是拿一個數(shù)列的前若干項表示an的方式，比如最簡單的迭代數(shù)列a1=1，an=an-1+1就是首項為1，公差為1的等差數(shù)列。
這個定理的用法也很簡單——
判斷迭代數(shù)列是否單調(diào)？——是，進第2步，否，考慮其他辦法；
判斷迭代數(shù)列是否有界？——是，進第3步，否，則數(shù)列發(fā)散；
由1、2可知數(shù)列是有極限a的，那么我們令n趨向于無窮大，就可以得到一個關(guān)于極限a的方程，解出方程即可得到極限a。
下面來看例題——
35例題
1.求數(shù)列xn=c^n/n!的極限（c>0）——
這道題直接就把通項公式改成了迭代數(shù)列的方式，但是分析的過程往往沒有這么直接，我們可以放在草稿紙上進行，一般我們寫出前三到四項是可以觀察出一定的規(guī)律的——
x1=c；
x2=c*c/2；
x3=c*c*c/2*3；
x4=c*c*c*c/2*3*4；
……
由此很顯然我們得到了以下規(guī)律——
第n項的分子是前一項的c倍，恒為正數(shù)；
第n項的分母是前一項的n倍，恒為正數(shù)；
我們即可寫出這個數(shù)列的迭代公式，x1=c，xn=（c/n）xn-1。
——也就是說——
從某一項開始，這個數(shù)列會開始單調(diào)遞減，原因在于，c的數(shù)字是恒定的，但是n確實在向無窮大變化的，必然存在整數(shù)C，使得C<=c<C+1，那么，只要n>=C+1，之后的數(shù)列各項單調(diào)遞減；
又顯然，數(shù)列{xn}各項均為正數(shù)，即對于任意n，xn>0，即{xn}有下界；
由1、2可知，數(shù)列{xn}為單減有下界數(shù)列，必有極限x；
我們令迭代公式兩側(cè)n同時趨向于無窮，lim xn=lim （c/n）xn-1，即x=x lim（c/n）=x*0=0，即數(shù)列極限為0。
2.經(jīng)典題：迭代數(shù)列，x1=c^（1/2），xn=（c+xn-1）^（1/2）的極限（c>0）——
這道題不僅許多教材引用過，而且也是曾幾何時北大中科院喜歡考的基礎(chǔ)題之一，不過近幾年會重復(fù)考這么基礎(chǔ)的題的可能性不大，但是作為基礎(chǔ)，是肯定要掌握的，我們照例在草稿紙上寫好分析過程——
顯然數(shù)列各項都大于0；
那么，由函數(shù)f（x）=x^2在x>0時為單增函數(shù)我們可以通過比較xn^2與xn-1^2的大小來確定xn與xn-1的大小；
作差：xn^2-xn-1^2=（xn-xn-1）（xn+xn-1）=[（c+xn-1）^（1/2）]^2-[（c+xn-2）^（1/2）]^2=（c+xn-1）-（c+xn-2）=xn-1-xn-2，即顯然數(shù)列{xn}為單調(diào)數(shù)列，單增還是單減由數(shù)列最前兩項的關(guān)系確定；
又x1=c^（1/2），x2=[c+c^（1/2）]^（1/2），則x2>x1；
由3、4，數(shù)列{xn}為單增數(shù)列。
又易驗證，該數(shù)列有上界c^（1/2）+1，用數(shù)學(xué)歸納法——
x1=c^（1/2）<c^（1/2）+1；
假如xn<c^（1/2）+1，則xn+1=（c+xn）^（1/2）<[c+c^（1/2）+1]^（1/2）=c^（1/2）+1；
即該數(shù)列有上界c^（1/2）+1。
單增有上界數(shù)列必有極限x——
們令迭代公式兩側(cè)n同時趨向于無窮，lim?xn=lim（c+xn-1）^（1/2）；
即x=（c+x）^（1/2）；
解出x=[1+（1+4c）^（1/2）]/2或x=[1-（1+4c）^（1/2）]/2，舍去小于0的解，得到x=[1+（1+4c）^（1/2）]/2，即為所求極限。
后天繼續(xù)！
