行列式

1. 拉普拉斯 取定k行，由k行元素組成的所有k階子式與代數(shù)余子式乘積之和等于原來(lái)的行列式
2. 異乘變零定理（暴打小三定理） 某行元素與另一行元素的代數(shù)余子式乘積之和為0，與自己的代數(shù)余子式乘積之和為原來(lái)的行列式
3. 一個(gè)三階的行列式和四階的行列式無(wú)法相乘，因此可以直接分別算出各自的行列式的值再相乘
4. 對(duì)稱三角形 制造行/列和
5. 加邊法 加上第一行（全為1），第一列（除了第一個(gè)外都是0）
6. 范德蒙行列式 (Xi-Xj)相乘
7. 反對(duì)稱行列式 主對(duì)角線全為零，上下位置對(duì)應(yīng)成相反數(shù)，奇數(shù)階反對(duì)稱矩陣行列式為0

克萊姆法則

條件：

1，n個(gè)方程，n個(gè)未知量

2，D不等于0

Xj=Dj/D

Dj為把最后的一列替換到D的第j列得到的行列式

矩陣運(yùn)算

1. 乘法不滿足：

AB=0不能得到A=0或B=0

AB=AC，A不等于0，不能得到B=C

2.（AB）T=BTAT

特殊矩陣

• 左乘相當(dāng)于行變換，右乘相當(dāng)于列變換
• 對(duì)稱矩陣的乘積一般不是對(duì)稱矩陣

逆矩陣

1. |AT|=|A|
2. |KA|=K^n|A|
3. A可逆的充要條件是A的行列式不等于0
4. A逆=A*/|A|
5. (AB)逆=B逆A逆 與轉(zhuǎn)置相似

伴隨矩陣

• 只有方陣才有伴隨矩陣，任意一個(gè)方陣都有伴隨矩陣
• 求所有元素的代數(shù)余子式，按行求代數(shù)余子式按列放
• |A*|=|A|^n-1
• 一階方陣的伴隨矩陣為1
• （A*）*=|A|^n-2 A

分塊矩陣

標(biāo)準(zhǔn)型 從左上角開(kāi)始的一串1（不斷），不一定是方陣

同形的對(duì)角形，上三角，下三角分塊矩陣的和差數(shù)乘仍然是

初等變換

等價(jià) A經(jīng)過(guò)初等變換得到B

初等方陣 對(duì)E做一次初等變換得到的矩陣

三種初等方陣均可逆

左乘相當(dāng)于行變換，右乘相當(dāng)于列變換

1. A、B等價(jià)

互推

存在可逆矩陣P、Q，使得PAQ=B

2.A可逆

互推

A的標(biāo)準(zhǔn)型為E

互推

A可以由一系列初等矩陣的乘積表示

求逆矩陣

1. 作伴隨矩陣 A逆=A*/|A|
2. 初等行變換法 對(duì)A和E作同樣的初等行變換，當(dāng)A化為E時(shí)，E就化為了A逆（注意：如果左邊化不成E，則不可逆）

矩陣的秩

• 階梯型 橫線可以跨多個(gè)數(shù)，豎線只跨一個(gè)數(shù)
• 行簡(jiǎn)化階梯型 非零行首個(gè)非零元為1，首個(gè)非零元所在列的其余元素為0
• r(A)=r(AT)
• 矩陣乘以可逆矩陣，它的秩不變

向量組的線性關(guān)系

部分相關(guān)可推出整體相關(guān)

整體無(wú)關(guān)可推出部分無(wú)關(guān)

行列式為0，線性無(wú)關(guān)，只有零解

行列式不為0，線性相關(guān)，有非零解

線性相關(guān)線性無(wú)關(guān)

1.相關(guān)

互推

至少一個(gè)向量可由其余向量表示

2.向量的個(gè)數(shù)大于向量維數(shù)時(shí)，一定線性相關(guān)。等價(jià)的線性無(wú)關(guān)組含向量的個(gè)數(shù)是相同的。

向量組的秩

1. 極大無(wú)關(guān)組可以不唯一，但是任意兩個(gè)極大無(wú)關(guān)組含向量的個(gè)數(shù)相同

2.行秩=列秩=r（A）

3.R(A)+R(B)-n ≤ R(AB) ≤ min{R(A),R(B)} ≤ max{R(A),R(B)} ≤ R(A:B) ≤ R(A)+R(B)

4.對(duì)矩陣A僅做初等行變換，化成矩陣B，那么A的列向量組與B的列向量組有完全相同的線性關(guān)系（初等行變換不改變列秩）

線性方程組

相似

實(shí)對(duì)稱矩陣的對(duì)角化

施密特正交化

正交矩陣

實(shí)對(duì)稱矩陣的不同特征值的特征向量正交

相似 AB同階，存在可逆矩陣P,P逆AP=B

正交相似 AB同階，存在正交矩陣P,P逆AP=B

二次型

二次型的矩陣一定是對(duì)稱的

標(biāo)準(zhǔn)型 只有平方項(xiàng)

線性替換 X=CY

如果C的行列式不等于0，叫做可逆替換

合同 A,B是n階方陣，存在可逆矩陣C,使得C轉(zhuǎn)AC=B

A,B合同，則A,B的秩相同

正交相似一定相似，正交相似一定合同

相似，正交相似，合同都一定是等價(jià)的

矩陣合同的充要條件：具有相同的秩，正慣性指數(shù)以及負(fù)慣性指數(shù)

有定性

A正定

互推

各階順序主子式大于0

若A正定，則A逆和A*，A^k也正定

線性空間