一、e的由來

關(guān)于e的由來主要在兩個(gè)方面：極限和積分

1.極限

眾所周知，e是f(x)=(1+1/x)^x在x趨于正無窮時(shí)的極限，舉一個(gè)通俗的例子，連續(xù)復(fù)利問題。

你在某一金融機(jī)構(gòu)存款，它的年利率為100%，并且告訴你，可以隨時(shí)存入取出，當(dāng)你存入時(shí)間不足或超過一年時(shí)（設(shè)存入時(shí)間k年）該段時(shí)間下的利率仍為k。（取出與存入之間的時(shí)間忽略不計(jì)）

①1個(gè)小目標(biāo)直接存一年

本金＆利息=f(1)e8=2 0000 0000

②1個(gè)小目標(biāo)每半年取并存一次

本金＆利息=f(2)e8=2 2500 0000

③1個(gè)小目標(biāo)每月取并存一次

本金＆利息=f(12)e8≈2 6130 3529

④1個(gè)小目標(biāo)每天取并存一次

本金＆利息=f(365)e8≈2 7145 6748

⑤1個(gè)小目標(biāo)每秒取并存一次

本金＆利息=f(3153 6000)e8≈2 7182 8178

與已經(jīng)自然底數(shù)非常接近了

2.71828 18284 ...? ? e

2.71828 17853 ...??? f(31536000)

這就是連續(xù)復(fù)利問題，當(dāng)存取次數(shù)無窮多，時(shí)間間隔無窮小時(shí)，本金+利息=P*exp(rt)，P表示本金，r表示單位時(shí)間的利率(利息/本金)，t表示存放時(shí)間/單位時(shí)間。上述例子則是P=1e8,r=1,t=1時(shí)的特例。

2.積分

設(shè)函數(shù)g(x)=1/x，易證g(x)對x在[1,e]的積分為1

這就是自然底數(shù)的兩個(gè)主流來源

二、函數(shù)性質(zhì)

1.指對函數(shù)

眾所周知，exp(x)在導(dǎo)數(shù)上具有極為特殊的性質(zhì)，即n階導(dǎo)數(shù)均為其本身（n∈N)，由此ln(x)的導(dǎo)數(shù)為1/x。并且與雙曲函數(shù)緊密聯(lián)系，其導(dǎo)數(shù)也較為特殊，還與物理學(xué)等領(lǐng)域有所關(guān)聯(lián)，雖其重要程度遠(yuǎn)不及圓函數(shù)。

雙曲函數(shù)的基本內(nèi)容不多作說明，但是相信剛接觸的時(shí)候?qū)ζ湫问綖槭裁词沁@樣會(huì)有疑問，這里提供一種證明方法以供參考。

將面積轉(zhuǎn)變?yōu)橹珔^(qū)域?qū)ζ浞e分，作為自變量解出雙曲正弦表達(dá)式即可（換元解出雙曲余弦），其過程枯燥且簡單，此處省略。

2.復(fù)變函數(shù)

由于筆者的知識(shí)水平有限，這里只涉及十分基礎(chǔ)的復(fù)分析。

復(fù)變函數(shù)中的歐拉公式是復(fù)變函數(shù)里極為重要的一個(gè)公式，其最主流的證明方式是利用極限證明。推導(dǎo)如下：

其將復(fù)指數(shù)與圓函數(shù)聯(lián)系起來，構(gòu)成了所謂的最美麗的數(shù)學(xué)公式。

exp(z)=exp(Re(z))*(cosIm(z)+sinIm(z)*i)

可以類比輔助角公式證明復(fù)對數(shù)，此處省略。

ln(z)=1/2ln(Re2(z)+Im2(z))+arctan(Im(z)/Re(z))i

此處提出一問題：ln(-a)等于多少（a∈R*)

答案附于文末

復(fù)數(shù)在許多物理領(lǐng)域均有運(yùn)用，尤其是在目前的流體力學(xué)中復(fù)分析顯得格外重要，自然底數(shù)也自然是其中最不可或缺的一部分。

3.極坐標(biāo)方程

對數(shù)螺線r=exp(aθ)，又名等角螺線，著名的黃金螺線就是對數(shù)螺線，其在自然界中廣泛存在（eg：鸚鵡螺的貝殼、菊的種子排列、蜘蛛網(wǎng)、旋渦星系的旋臂、氣旋）

顧名思義，等角曲線上一點(diǎn)的與極點(diǎn)的連線與該點(diǎn)切線所成角為定值α，且cotα=a，此處給出兩種較相似的證法以供參考。

正文完

本文內(nèi)容為原創(chuàng)，由于筆者知識(shí)水平有限，如有不完整或者錯(cuò)誤，請大佬指出。若對專欄內(nèi)容有疑問，請?jiān)u論區(qū)留言或聯(lián)系作者。

P.S.

ln(-a)的值（a∈R*）如果直接代入上文的復(fù)對數(shù)公式得：

ln(-a)=ln(a) ?!

顯然不可能，這是因?yàn)楹雎粤朔凑业南笙蓿_如下：

ln(-a)=lna+πi

換個(gè)角度來看，

exp(πi)=-1 ? ln(-1)=πi

ln(-a)=lna+ln(-1)=lna+πi

謝謝閱讀