機(jī)械能守恒定律(必修二第八章，總結(jié)筆記)

2023-04-09 15:34 作者:syr56 0人讀過 | 我要投稿

1.功與功率; 2.重力勢(shì)能; 3.動(dòng)能和動(dòng)能定理; 4.機(jī)械能守恒定律; 5.實(shí)驗(yàn): 驗(yàn)證機(jī)械能守恒定律

1.功與功率

（1）功

表達(dá)式： $W%3DFlcos%5Calpha$ ，其中 $F$ 、 $l$ 、 $%5Calpha$ 分別為力的大小、位移大小、力與位移夾角。

單位：焦耳(joule)，符號(hào)J。功是標(biāo)量，沒有方向，只有正負(fù)。

【正功和負(fù)功】

①當(dāng) $%5Calpha%3D%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B2%7D$ 時(shí)， $cos%5Calpha%3D0%EF%BC%8CW%3D0$ ，力F對(duì)物體不做功，力對(duì)物體既不起動(dòng)力作用，也不起阻力作用；

②當(dāng) $0%5Cleq%5Calpha%3C%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B2%7D$ 時(shí)， $cos%5Calpha%3E0%EF%BC%8CW%3E0$ ，力F對(duì)物體做正功，力是物體運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力；

③當(dāng) $%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B2%7D%3C%5Calpha%5Cleq%20%5Cpi$ 時(shí)， $cos%5Calpha%3C0%EF%BC%8CW%3C0$ ，力F對(duì)物體做負(fù)功，力是物體運(yùn)動(dòng)的阻力。

【總功計(jì)算】

當(dāng)一個(gè)物體在幾個(gè)力的共同作用下發(fā)生一段位移時(shí)，這幾個(gè)力對(duì)物體所做的總功等于

①各個(gè)分力分別對(duì)物體所做功的代數(shù)和，即 $W_%7B%E5%90%88%7D%3DW_1%2BW_2%2BW_3%2B...$

②幾個(gè)力的合力對(duì)物體所做的功，即 $W_%7B%E5%90%88%7D%3DF_%7B%E5%90%88%7Dlcos%5Calpha$ ，其中 $%5Calpha$ 為合力 $F_%7B%E5%90%88%7D$ 與位移l的夾角。

當(dāng)在一個(gè)過程中，幾個(gè)力作用的位移不相同時(shí)，只能用方法①。

【注意】

①某一恒力F對(duì)物體做的功，只與 $l$ 、 $%5Calpha$ 有關(guān)，與物體的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)及物體是否還受其他作用力等因素?zé)o關(guān)。

②公式 $W%3DFlcos%5Calpha$ 只適用于計(jì)算恒力做功，若為變力，該公式不適用。

（2）功率(power)

定義：功W與完成這些功所用時(shí)間t之比。功率是標(biāo)量

定義式： $P%3D%5Cfrac%7BW%7D%7Bt%7D$ 。單位：瓦特(watt)，簡(jiǎn)稱瓦，符號(hào)W。

功率與速度的關(guān)系： $P%3DFv$ (F和v方向相同)。

由功率速度關(guān)系知，汽車、火車等交通工具和各種起重機(jī)械，當(dāng)發(fā)動(dòng)機(jī)的功率P一定時(shí)，牽引力F與速度v成反比，要增大牽引力，就要減小速度。

功率表示的是物體做功的快慢，而不是做功的多少，功率大，做功不一定多，反之亦然。

【平均功率合瞬時(shí)功率】

①平均功率

計(jì)算公式：① $%5Cbar%7BP%7D%3D%5Cfrac%7BW%7D%7Bt%7D$ ；② $%5Cbar%7BP%7D%3DF%5Cbar%7Bv%7D$ ，其中 $%5Cbar%7Bv%7D$ 為平均速度。

②瞬時(shí)功率

當(dāng)F與v同向時(shí)， $P%3DFv$ ，其中v為瞬時(shí)速度；當(dāng)F與v夾角為 $%5Calpha$ 時(shí)， $P%3DFvcos%5Calpha$ ，其中v為瞬時(shí)速度。

【 $P%3DFv$ 中三個(gè)量的制約及應(yīng)用】

2.重力勢(shì)能

（1）重力勢(shì)能(gravitational potential energy)

重力所做的功 $W_%7BG%7D%3Dmg%5CDelta%20h%EF%BC%8C%5CDelta%20h$ 指初位置與末位置的高度差。

【重力做功的特點(diǎn)】

①重力做功大小只與重力和物體高度變化有關(guān)，與受到的其他力及運(yùn)動(dòng)狀態(tài)均無關(guān).

②物體下降時(shí)重力做正功，物體上升時(shí)重力做負(fù)功。

③物體運(yùn)動(dòng)時(shí)，重力對(duì)它做的功只跟它的起點(diǎn)和終點(diǎn)的位置有關(guān)，而跟物體運(yùn)動(dòng)的路徑無關(guān)。

④重力做功的特點(diǎn)可推廣到任一恒力的功，即恒力做功的特點(diǎn)是：與具體路徑無關(guān)，而跟初、末位置有關(guān)。

【重力勢(shì)能】

表達(dá)式： $E_%7Bp%7D%3Dmgh$ 。單位：焦耳，符號(hào)J

重力做功與重力勢(shì)能之間的關(guān)系： $W_%7BG%7D%3DE_%7Bp1%7D-E_%7Bp2%7D%3D-%5CDelta%20E_%7Bp%7D$ 。

當(dāng)物體由高處運(yùn)動(dòng)到低處時(shí)，重力做正功，重力勢(shì)能減??；即 $W_%7BG%7D%3E0%EF%BC%8CE_%7Bp1%7D%3EE_%7Bp2%7D$ ，重力勢(shì)能的減少量等于重力所做的功。

當(dāng)物體由低處運(yùn)動(dòng)到高處時(shí)，重力做負(fù)功，重力勢(shì)能增加；即 $W_%7BG%7D%3C0%EF%BC%8CE_%7Bp1%7D%3CE_%7Bp2%7D$ ，重力勢(shì)能的增加量等于物體克服重力所做的功。

重力勢(shì)能的系統(tǒng)性：重力勢(shì)能是地球與物體所組成的“系統(tǒng)”所共有的，而不是地球上的物體單獨(dú)具有的。

【重力勢(shì)能的相對(duì)性】

①參考平面：物體的重力勢(shì)能總是相對(duì)于某一水平面來說的，這個(gè)水平面叫作參考平面，在參考平面上物體的重力勢(shì)能取為0。故在計(jì)算重力勢(shì)能時(shí)，必須首先選取參考平面。

②參考平面的選擇具有任意性，但重力勢(shì)能的變化量具有絕對(duì)性，即物體的重力勢(shì)能的變化量與參考平面的選取無關(guān)。

③重力勢(shì)能的相對(duì)性： $E_%7Bp%7D%3Dmgh$ 中的h是物體重心相對(duì)參考平面的高度。選擇不同的參考平面，物體重力勢(shì)能的數(shù)值是不同的，但重力勢(shì)能的差值相同。

④物體在參考平面上方，重力勢(shì)能為正值；物體在參考平面下方，重力勢(shì)能為負(fù)值。

（2）彈性勢(shì)能(elastic potential energy)

定義：發(fā)生彈性形變的物體的各部分之間，由于有彈力的相互作用而具有的勢(shì)能，叫彈性勢(shì)能。

彈性勢(shì)能產(chǎn)生原因：①物體發(fā)生了彈性形變；②各部分間的彈力作用

【影響彈性勢(shì)能的因素】

①形變量：同一彈簧，形變大小越大，彈簧的彈性勢(shì)能就越大。

②勁度系數(shù)：不同的彈簧發(fā)生同樣大小的形變，勁度系數(shù)越大，彈性勢(shì)能越大。

③勢(shì)能也叫位能，與相互作用的物體的相對(duì)位置有關(guān)。重力勢(shì)能是由地球和地面上物體的相對(duì)位置決定的，彈性勢(shì)能是由發(fā)生彈性形變的物體各部分的相對(duì)位置決定的。

【彈力做功與彈性勢(shì)能變化的關(guān)系】

彈力做正功時(shí)，彈性勢(shì)能減少，彈力做負(fù)功時(shí)，彈性勢(shì)能增加，并且彈力做多少功，彈性勢(shì)能就減少多少。

表達(dá)式： $W_%7B%E5%BC%B9%7D%3DE_%7Bp1%7D-E_%7Bp2%7D%3D-%5CDelta%20E_%7Bp%7D$ 。

彈簧彈性勢(shì)能計(jì)算公式： $W_%7B%E5%BC%B9%7D%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7Dkx%5E2$ ，其中k為彈簧的勁度系數(shù)，x為彈簧形變量。

【注意】

①?gòu)椓ψ龉椭亓ψ龉σ粯?，也和路徑無關(guān)，彈性勢(shì)能的變化只與彈力做功有關(guān)。

②一般地來說，彈簧為原長(zhǎng)時(shí)彈性勢(shì)能為零，所以彈簧伸長(zhǎng)時(shí)和彈簧壓縮時(shí)彈性勢(shì)能都增加，且伸長(zhǎng)量和壓縮量相同時(shí)，彈性勢(shì)能相同。

3.動(dòng)能和動(dòng)能定理

（1）動(dòng)能的表達(dá)式

表達(dá)式： $E_%7Bk%7D%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7Dmv%5E2$ 。單位：焦耳，符號(hào)J。

【動(dòng)能特點(diǎn)】

①動(dòng)能是標(biāo)量，沒有負(fù)值，與物體的速度方向無關(guān)。

②動(dòng)能是狀態(tài)量，具有瞬時(shí)性，與物體的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)(或某一時(shí)刻的速度)相對(duì)應(yīng)。

③動(dòng)能具有相對(duì)性，選取不同的參考系，物體的速度不同，動(dòng)能也不同，一般以地面為參考系。

動(dòng)能變化量： $%5CDelta%20E_%7Bk%7D%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7Dmv%5E2_%7B2%7D-%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7Dmv%5E2_%7B1%7D$

當(dāng) $%5CDelta%20E_%7Bk%7D%3E0$ ，表示物體動(dòng)能增加；當(dāng) $%5CDelta%20E_%7Bk%7D%3C0$ ，表示物體動(dòng)能減少。

（2）動(dòng)能定理(theorem of kinetic energy)

內(nèi)容：力在一個(gè)過程中對(duì)物體做的功，等于物體在這個(gè)過程中動(dòng)能的變化。

表達(dá)式： $W%3DE_%7Bk2%7D-E_%7Bk1%7D%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7Dmv%5E2_%7B2%7D-%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7Dmv%5E2_%7B1%7D$

$E_%7Bk2%7D%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7Dmv_2%5E2$ 表示該過程的末動(dòng)能； $E_%7Bk1%7D%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7Dmv_1%5E2$ 表示該過程的初動(dòng)能； $W$ 表示該過程中合力做的功，或各力做功的代數(shù)和。

物理意義：動(dòng)能定理指出了合外力對(duì)物體所做的總功與物體動(dòng)能變化之間的關(guān)系，即若合外力做正功，物體的動(dòng)能增加，若合外力做負(fù)功，物體的動(dòng)能減小，做了多少功，動(dòng)能就變化多少。動(dòng)能定理從能量變化的角度反映了力改變運(yùn)動(dòng)的狀態(tài)時(shí)，在空間上的累積效果。

適用范圍：動(dòng)能定理是物體在恒力作用下，并且做直線運(yùn)動(dòng)的情況下得到的，當(dāng)物體受到變力作用，并且做曲線運(yùn)動(dòng)時(shí)，可以采用把整個(gè)過程分成許多小段，也能得到動(dòng)能定理。

4.機(jī)械能守恒定律

（1）追尋守恒量

伽利略研究過小球在斜面上的運(yùn)動(dòng)，如下圖所示。

將小球由斜面A上某位置由靜止釋放，如果空氣阻力和摩擦力小到可以忽略，小球在斜面B上速度變?yōu)?(即到達(dá)最高點(diǎn))時(shí)的高度與它出發(fā)時(shí)的高度相同，不會(huì)更高一點(diǎn)，也不會(huì)更低一點(diǎn)。這說明某種“東西”在小球運(yùn)動(dòng)的過程中是不變的。

（2）動(dòng)能與勢(shì)能的相互轉(zhuǎn)化

【重力勢(shì)能與動(dòng)能的轉(zhuǎn)化】

只有重力做功時(shí)，若重力對(duì)物體做正功，則物體的重力勢(shì)能減少，動(dòng)能增加，物體的重力勢(shì)能轉(zhuǎn)化為動(dòng)能；若重力對(duì)物體做負(fù)功，則物體的重力勢(shì)能增加，動(dòng)能減少，物體的動(dòng)能轉(zhuǎn)化為重力勢(shì)能。

【彈性勢(shì)能與動(dòng)能的轉(zhuǎn)化】

只有彈簧彈力做功時(shí)，若彈力對(duì)物體做正功，則彈簧的彈性勢(shì)能減少，物體的動(dòng)能增加，彈簧的彈性勢(shì)能轉(zhuǎn)化為物體的動(dòng)能；若彈力對(duì)物體做負(fù)功，則彈簧的彈性勢(shì)能增加，物體的動(dòng)能減少，物體的動(dòng)能轉(zhuǎn)化為彈簧的彈性勢(shì)能。

機(jī)械能(mechanical energy)：重力勢(shì)能、彈性勢(shì)能與動(dòng)能統(tǒng)稱為機(jī)械能.

（3）機(jī)械能守恒定律

內(nèi)容：在只有重力或彈力做功的物體系統(tǒng)內(nèi)，動(dòng)能與勢(shì)能可以互相轉(zhuǎn)化，而總的機(jī)械能保持不變。

表達(dá)式： $%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7Dmv%5E2%2Bmgh_2%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7Dmv_1%5E2%2Bmgh_1$ 或 $E_%7Bk2%7D%2BE_%7Bp2%7D%3DE_%7Bk1%7D%2BE_%7Bp1%7D$ 。

應(yīng)用機(jī)械能守恒定律解決問題只需考慮運(yùn)動(dòng)的初狀態(tài)和末狀態(tài)，不必考慮兩個(gè)狀態(tài)間過程的細(xì)節(jié)，即可以簡(jiǎn)化計(jì)算。

【判斷機(jī)械能是否守恒的方法】

①利用機(jī)械能的定義直接判斷：若動(dòng)能和勢(shì)能中，一種能變化，另一種能不變，則其機(jī)械能一定變化。

②用做功判斷：若物體或系統(tǒng)只有重力(或彈力)做功，雖受其他力，但其他力不做功，機(jī)械能守恒。

③用能量轉(zhuǎn)化來判斷：若物體系統(tǒng)中只有動(dòng)能和勢(shì)能的相互轉(zhuǎn)化而無機(jī)械能與其他形式的能的轉(zhuǎn)化，則物體系統(tǒng)機(jī)械能守恒。

【機(jī)械能守恒定律常用的三種表達(dá)式】

①?gòu)牟煌瑺顟B(tài)看： $E_%7Bk1%7D%2BE_%7Bp1%7D%3DE_%7Bk2%7D%2BE_%7Bp2%7D$ （或 $E_1%3DE_2$ ），表示系統(tǒng)兩個(gè)狀態(tài)的機(jī)械能總量相等。

②從能量轉(zhuǎn)化角度來看： $%5CDelta%20E_%7Bk%7D%3D-%5CDelta%20E_%7Bp%7D$ ，表示系統(tǒng)動(dòng)能的增加(減少)量等于勢(shì)能的減少(增加)量。

③從能量轉(zhuǎn)移的角度來看： $%5CDelta%20E_%7BA%E5%A2%9E%7D%3D%5CDelta%20E_%7BB%E5%87%8F%7D$ ，表示系統(tǒng)A部分機(jī)械能的增加量等于系統(tǒng)剩余部分，即B部分機(jī)械能的減少量。

【機(jī)械能守恒定律的應(yīng)用】

首先對(duì)研究對(duì)象進(jìn)行正確的受力分析，判斷各個(gè)力是否做功，分析是否符合機(jī)械能守恒的條件.若機(jī)械能守恒，則根據(jù)機(jī)械能守恒定律列出方程，或再輔以其他方程進(jìn)行求解。

5.實(shí)驗(yàn)：驗(yàn)證機(jī)械能守恒定律

（1）實(shí)驗(yàn)思路

機(jī)械能守恒的前提是“只有重力或彈力做功”，因此研究過程一定要滿足這一條件.本節(jié)實(shí)驗(yàn)我們以只有重力做功的過程進(jìn)行研究。

（2）進(jìn)行實(shí)驗(yàn)

實(shí)驗(yàn)器材：鐵架臺(tái)(帶鐵夾)、打點(diǎn)計(jì)時(shí)器、重物(帶夾子)、紙帶、復(fù)寫紙(或墨粉盤)、導(dǎo)線、毫米刻度尺、交流電源。

【實(shí)驗(yàn)步驟】

①安裝實(shí)驗(yàn)裝置：如下圖把打點(diǎn)計(jì)時(shí)器安裝在鐵架臺(tái)上，用導(dǎo)線把打點(diǎn)計(jì)時(shí)器與電源連接好。

②打紙帶：在紙帶的一端把重物用夾子固定好，另一端穿過打點(diǎn)計(jì)時(shí)器的限位孔，用手豎直提起紙帶使重物?？吭诖螯c(diǎn)計(jì)時(shí)器附近。先接通電源后釋放紙帶，讓重物拉著紙帶自由下落。重復(fù)多次，得到3～5條打好點(diǎn)的紙帶。

③選紙帶并測(cè)量：選擇一條點(diǎn)跡清晰的紙帶，確定要研究的開始和結(jié)束的位置，測(cè)量?jī)晌恢弥g的距離 $%5CDelta%20h$ 及兩位置時(shí)的速度，代入表達(dá)式進(jìn)行驗(yàn)證。

④數(shù)據(jù)處理

計(jì)算各點(diǎn)對(duì)應(yīng)的瞬時(shí)速度：如下圖所示，根據(jù)公式 $v_%7Bn%7D%3D%5Cfrac%7B%5CDelta%20x%7D%7B2%5CDelta%20t%7D$ ，計(jì)算出某點(diǎn)的瞬時(shí)速度 $v_n$ 。

⑤機(jī)械能守恒定律的驗(yàn)證

方法一：利用起始點(diǎn)和第n點(diǎn)。

選擇開始的兩點(diǎn)間距接近2mm的一條紙帶，打的第一個(gè)點(diǎn)為起始點(diǎn)，如果在實(shí)驗(yàn)誤差允許范圍內(nèi) $mgh_n%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7Dmv_%7Bn%7D%5E2$ ，則機(jī)械能守恒定律得到驗(yàn)證。

方法二：任取兩點(diǎn)A、B。

如果在實(shí)驗(yàn)誤差允許范圍內(nèi) $mgh_%7BAB%7D%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7Dmv_%7BB%7D%5E2-%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7Dmv_%7BA%7D%5E2$ ，則機(jī)械守恒定律得到驗(yàn)證。

方法三：圖像法(如下圖所示)。

若在實(shí)驗(yàn)誤差允許范圍內(nèi)圖線是一條過原點(diǎn)且斜率為g的直線，則驗(yàn)證了機(jī)械能守恒定律。

⑥誤差分析

紙帶測(cè)量產(chǎn)生的偶然誤差以及重物和紙帶運(yùn)動(dòng)中的空氣阻力及打點(diǎn)計(jì)時(shí)器的摩擦阻力引起的系統(tǒng)誤差。

【實(shí)驗(yàn)注意事項(xiàng)】

①打點(diǎn)計(jì)時(shí)器安裝時(shí)，要使兩限位孔的中線在同一豎直線上，以減小摩擦阻力。

②應(yīng)選用質(zhì)量和密度較大的重物.增大密度可以減小體積，可使空氣阻力的影響相對(duì)減小。

③實(shí)驗(yàn)時(shí)，應(yīng)先接通電源，讓打點(diǎn)計(jì)時(shí)器正常工作后再松開紙帶讓重物下落。

④本實(shí)驗(yàn)中的幾種驗(yàn)證方法均不需要測(cè)重物的質(zhì)量m。

⑤速度不能用 $v%3Dgt$ 或 $v%3D%5Csqrt%7B2gh%7D$ 計(jì)算，應(yīng)根據(jù)紙帶上測(cè)得的數(shù)據(jù)，利用計(jì)算 $v_%7Bn%7D%3D%5Cfrac%7B%5CDelta%20x%7D%7B2%5CDelta%20t%7D$ 瞬時(shí)速度。

本章思維導(dǎo)圖

標(biāo)簽：高中物理動(dòng)能定理機(jī)械能守恒定律總結(jié)筆記必修二第八章