關(guān)于透視的一些筆記
為什么頭圖是python？因?yàn)楹竺婧芏嗍纠龍D是用turtle畫(huà)的（
該筆記記錄了關(guān)于透視的心智模型，一些繪制透視圖的準(zhǔn)則，并簡(jiǎn)述了倍增線條、二等分、四等分、任意等分和透視中畫(huà)圓的方法。
關(guān)于透視的心智模型
沒(méi)看過(guò)多少材料，也不懂?dāng)?shù)學(xué)，這一節(jié)全程胡謅，注意甄別！例子均使用 blender 繪制。
透視是在二維的畫(huà)布上展示三維物體的技術(shù)，可以通過(guò)計(jì)算機(jī)圖形學(xué)（以及攝影？不知道呢）中的抽象來(lái)理解透視，并建立對(duì)透視的心智模型。
這里有三個(gè)概念：相機(jī)（camera），視口（viewport），對(duì)象（object）；相機(jī)不用解釋?zhuān)暱诳梢哉J(rèn)為是相機(jī)的可視范圍，也是我們的畫(huà)面本身，它在這里是一個(gè)和相機(jī)有一定距離的矩形，其中相機(jī)在視口的投影為視口的中心。視口可以不是平面，通過(guò)改變平面的形狀，我們可以得到其它類(lèi)型的透視比如魚(yú)眼透視，人眼是魚(yú)眼透視。改變視口和相機(jī)的距離和視口的寬高比，我們就能得到不同的焦距；對(duì)象即為我們想繪制的對(duì)象，如立方體，球，少女等。
我們要繪制特定對(duì)象，就是做對(duì)象到相機(jī)在視口上的投影，具體來(lái)說(shuō)，就是對(duì)對(duì)象的每個(gè)部分，做它和相機(jī)的連線，找到連線在視口上的交點(diǎn)。方法類(lèi)似于下圖（中心），但是投影面 P 在點(diǎn)和對(duì)象之間。
就是這么簡(jiǎn)單，只需要投影這一道工序，近大遠(yuǎn)小，消失點(diǎn)，一二三點(diǎn)透視，一切透視圖的性質(zhì)都自動(dòng)地得到了。
近大遠(yuǎn)小
同一個(gè)對(duì)象，如果它正好在視口上，則它的投影大?。ɡL制的大?。┖退旧硪恢?；它離視口越遠(yuǎn)，它向相機(jī)在視口上的投影就會(huì)越小，這是符合直覺(jué)的。
畸變
但一個(gè)很有趣的點(diǎn)是，如果這個(gè)物體始終在平行于視口的平面上運(yùn)動(dòng)，則（只要還在可視范圍內(nèi)，）它的投影大小是不會(huì)縮短的，甚至有可能會(huì)變大！下圖是一個(gè)很明顯的例子，這些球體的球心均在同一個(gè)平面上且半徑相同，但形狀完全不同：
是誰(shuí)說(shuō)球在任何角度都是球的？
焦距：遠(yuǎn)處的變化小，近處的變化大
攝影中有所謂的長(zhǎng)焦鏡頭，他們說(shuō)，長(zhǎng)焦鏡頭有“空間壓縮”效果，變形幅度小，近大遠(yuǎn)小的感覺(jué)不明顯。通過(guò)調(diào)整視口的大小，可以模擬長(zhǎng)焦鏡頭的效果。
固定視口的寬高比和相機(jī)到視口的距離，則視場(chǎng)角（FOV，水平方向可視角度，常用在游戲里）和焦距成反比，下面展示了各視場(chǎng)角下同一個(gè)場(chǎng)景：
可以認(rèn)為，不同視場(chǎng)角（焦距）下所看到的場(chǎng)景，就是去裁剪“原圖”中間的部分并放大到原圖的大小。
通過(guò)固定物體平行于視口方向的大小，并調(diào)整遠(yuǎn)離視口方向的大小，我們能夠模擬不同焦距下的畫(huà)面，這個(gè)可以應(yīng)用在繪畫(huà)中，它也證明，比較指向不同消失點(diǎn)的線段的長(zhǎng)度是不可能的，因?yàn)樗鼤?huì)隨著焦距的大小而改變。
下面是不同焦距看同一張椅子：
也能認(rèn)識(shí)到，當(dāng)鏡頭距離物體非常遠(yuǎn)的時(shí)候，物體看起來(lái)就會(huì)像正視圖一樣了。
一點(diǎn)透視
當(dāng)六面體的一個(gè)面平行于視口的時(shí)候，得到的就是一點(diǎn)透視，下面展示了低焦距和高焦距下的一些一點(diǎn)透視的正方體，其中高焦距將相機(jī)移遠(yuǎn)了。
平行于視口的線總是平行的
如果我們沿遠(yuǎn)離鏡頭的軸旋轉(zhuǎn)一個(gè)六面體，則該六面體背后的面的邊的方向如何確定？和面前的面的邊平行。因?yàn)檫@兩條邊和視口平行且相互平行，因此投影到視口上仍舊是平行的。
二點(diǎn)透視
如果六面體只有一條邊平行于視口，則我們得到二點(diǎn)透視。
下面的立方體均沿垂直方向旋轉(zhuǎn)了 45 度：
三點(diǎn)透視
如果六面體沒(méi)有任何面和邊平行于視口，則得到三點(diǎn)透視。三點(diǎn)透視通常出現(xiàn)在非平視的情況，下面的圖示在二點(diǎn)透視的基礎(chǔ)上將相機(jī)的角度向下調(diào)整了 20 度，并向上移動(dòng)了相機(jī)。
tips
使用下面的畫(huà)法的時(shí)候盡量減少測(cè)量次數(shù)以減少錯(cuò)誤的累計(jì)，比如畫(huà)等分時(shí)盡量把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為畫(huà) 2 的 n 次方等分
始終關(guān)心視平線高度
垂直消失點(diǎn)比水平消失點(diǎn)更重要（因?yàn)椴煌瑢?duì)象一般水平消失點(diǎn)不同，但垂直消失點(diǎn)相同）
把要畫(huà)的事物當(dāng)成六面體（盒子）去看待
始終使用近大遠(yuǎn)小的常識(shí)去檢查畫(huà)面是否正確，比如二分事物時(shí)，靠近鏡頭的部分會(huì)比遠(yuǎn)離對(duì)象的部分更大，猜測(cè)等分線的位置時(shí)也可以使用此種手段
指向不同消失點(diǎn)的線段的長(zhǎng)度是無(wú)法比較的，會(huì)隨著相機(jī)的距離和 FOV（焦距）發(fā)生改變，因此選一個(gè)合適的比例并假定它們等長(zhǎng)即可
不要追求完全徒手繪畫(huà)，該依賴(lài)工具就依賴(lài)工具，無(wú)論是透視尺還是 3d 輔助繪畫(huà)，內(nèi)容和效率最重要
不要追求完全正確的透視，要為內(nèi)容服務(wù)，如果畫(huà)面需要夸張和扭曲，那就夸張和扭曲
一些透視畫(huà)法
下面的透視畫(huà)法中均依賴(lài)這樣的假設(shè)：在平面作圖中僅使用連線來(lái)進(jìn)行的作圖方法，在透視圖中仍然適用，無(wú)論一點(diǎn)，二點(diǎn)，還是三點(diǎn)透視。無(wú)論這個(gè)假設(shè)是否為真，至少下面的畫(huà)法的效果都還蠻符合直覺(jué)。
下面的畫(huà)法均使用一個(gè)二點(diǎn)透視圖做例子（這些畫(huà)法都是在面上操作的，一個(gè)面顯然最多是二點(diǎn)透視）。
要將這些畫(huà)法應(yīng)用到一點(diǎn)透視，把“做點(diǎn)到消失點(diǎn)的連線”修改為“過(guò)該點(diǎn)的邊的平行線”即可。
二等分
因?yàn)楸对鼍€段也需要用到二等分，這里先描述二等分畫(huà)法。二等分就是將一個(gè)指向某消失點(diǎn)的線段分為等長(zhǎng)的兩段。
要進(jìn)行二等分，只需對(duì)要操作的面的相對(duì)交點(diǎn)做連線，找兩條連線的交點(diǎn)和消失線做直線，該直線即為等分線，其和面的邊的交點(diǎn)即為等分點(diǎn)。
比如，要二等分 CD，則先連接 AC，BD，找到交點(diǎn) E，直線 EY 即為二等分線，EY 和 AB，CD 的交點(diǎn)為二等分點(diǎn)；垂直方向的二等分點(diǎn)同理。
這個(gè)很容易證明，不表了。
倍增線段
倍增線段，該畫(huà)法將一條指向消失點(diǎn)的線段長(zhǎng)度增加一倍。它常用于“拷貝”等分點(diǎn)。
要做 DC 的倍增線段，需要找到 BC 的中點(diǎn) E（在垂直方向上應(yīng)用二等分），連接和延長(zhǎng) AE，AE 和 DC 的延長(zhǎng)線交點(diǎn)為 F，則 DC = CF。
要證明 DC=CF，只需要證明三角形 BEA 和三角形 CEF 全等即可，這是容易證的。
四等分
四等分是容易的——做二等分后，前后再各做一次二等分即可。任意 2 的 n 次方等分均可如此。
任意等分
偶數(shù)等分在網(wǎng)絡(luò)上都能查到很多資料，現(xiàn)在該來(lái)點(diǎn)魔法嘍——精確地畫(huà)出任意 n 等分，即使 n 是質(zhì)數(shù)或任意奇數(shù)，這里直接給出規(guī)律——要找到 n 等分點(diǎn)，若 n 為偶數(shù)，則需要先找到 n/2 等分點(diǎn)（n 等分點(diǎn)可以在找到 n/2 等分點(diǎn)后再在前后進(jìn)行一次二等分得到），若 n 為奇數(shù)，則需要先找到 n-1 等分點(diǎn)。這個(gè)方法是如此地機(jī)械化，以至于可以編程實(shí)現(xiàn)，下面是幾種使用該方式的示例，分別使用 p5.js，geogebra，turtle 繪制。
證明
現(xiàn)在試著證明，如果已經(jīng)得到了 n 等分線，能僅通過(guò)連線（在平面情況下是做平行線，透視情況下是連接點(diǎn)和消失點(diǎn)）和找交點(diǎn)找到 n+1 等分線。
考慮下面的平面矩形，我們已經(jīng)找到 n 等分線（EF），現(xiàn)在要找 n+1 等分點(diǎn)。連接 BD，AF，它們的交點(diǎn)在 n+1 等分線上，證明如下（不會(huì) latex，手寫(xiě)了）：
三等分
要找到三等分點(diǎn)，我們首先需要找到二等分線 EF，然后連接 AF，AF 和 BD 交點(diǎn)就在三等分線上。做完第一個(gè)三等分線后，可以使用倍增來(lái)找到第二個(gè)，或者對(duì)后三分之二這個(gè)矩形找二等分。
五等分
要找到五等分點(diǎn)，我們首先需要找到四等分線 EF（這是容易做的），然后連接 AF，AF 和 BD 交點(diǎn)就在五等分線上。做完第一個(gè)五等分線后，可以對(duì)后五分之四的矩形做四等分。
七等分
要找到七等分點(diǎn)，首先需要找到六等分線，要找到六等分線，首先要找到三等分線……以此類(lèi)推。做完第一個(gè)七等分線后，對(duì)后七分之六點(diǎn)矩形做六等分即可，或者使用倍增法一步步推。
十一等分
剩余無(wú)論多少等分都是一樣的操作，比如對(duì)十一等分，我們需要先找到十等分點(diǎn)，因此需要先找到五等分點(diǎn)，因此需要先找到四等分點(diǎn)……找到第一個(gè)十一等分線后，對(duì)后十一分之十的矩形做十等分即可。
透視圓的畫(huà)法
不想寫(xiě)了，感覺(jué)這個(gè)沒(méi)啥實(shí)踐意義，留張圖。
參考資料
《Computer Graphics from Scratch》
https://coloso.global/en/products/illustrator_mogoon_us
代碼
下面的代碼包括繪制二三四五等分和倍增線段的python代碼，沒(méi)啥意義，只是水水字?jǐn)?shù)。
