在進(jìn)入正題之前首先對(duì)上一篇文章做出一個(gè)補(bǔ)充：時(shí)空的可視化。上一片文章討論的兩種完成失蹤案的時(shí)空度規(guī)：Alcubierre引擎和Kerr度規(guī)（分別作為負(fù)能量需求的CTC和奇點(diǎn)需求的CTC之代表），雖然給出度規(guī)，但是并不能直觀看出這個(gè)時(shí)空的結(jié)構(gòu)。一個(gè)比較直觀的可視化方法是畫出未來光錐的“場”。有了這個(gè)圖像之后，就能夠直觀地感受類時(shí)曲線的發(fā)展和局部的因果關(guān)系。

比如，對(duì)于Alcubierre引擎：（以2c速度勻速旅行，半徑為1，sigma參數(shù)為1）

從這張圖我們就可以看出很多信息了，比如粒子能不能在引擎經(jīng)過的時(shí)候保持不動(dòng)（實(shí)際上不可能，必須要被帶動(dòng)一定距離）...等等。

其實(shí)把這個(gè)場畫得非常密集就能明顯看到一條時(shí)空扭曲過的軌道：

二維的情況下，畫出來就是兩個(gè)向量場，所以很簡單，沒有什么別的特別要指出的東西。但是對(duì)于三維（二維的空間運(yùn)動(dòng)+一維時(shí)間軸）的光錐，畫的時(shí)候是有一些門道的（其實(shí)是一個(gè)解析幾何的問題）。下面以Kerr度規(guī)在antiverse里面奇點(diǎn)環(huán)周圍的奇異時(shí)空（赤道面上）為例來仔細(xì)說明一下。

假設(shè)我們的時(shí)空度規(guī)為：

那么在(t_0,x_0,y_0)這個(gè)點(diǎn)，光錐的方程就是：（讀者不妨思考一下為什么）

左邊是一個(gè)二次型，把它平移到原點(diǎn)之后，就變成一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的齊次二次方程。這個(gè)方程代表圓錐（其實(shí)右邊不等于0的時(shí)候就是雙曲面了，等于0的時(shí)候正好是單葉雙曲面和雙葉雙曲面之間的中介狀態(tài)，即圓錐）。在平移到原點(diǎn)之后，圓錐方程可以寫成：

所有信息都被包含到這個(gè)矩陣A里面去了。A的特征向量就是圓錐的三個(gè)主方向，特征值就是標(biāo)準(zhǔn)方程里面的三個(gè)參數(shù)。這樣我們就完全搞清楚了這個(gè)圓錐長什么樣（求出特征值，得到圓錐形狀；再求出特征方向，決定圓錐的擺放方向）。三個(gè)特征方向構(gòu)成轉(zhuǎn)動(dòng)矩陣，直接乘上這個(gè)矩陣轉(zhuǎn)動(dòng)一下就完事了。整個(gè)過程還是很優(yōu)雅的。MATLAB里，先通過三個(gè)特征值畫出標(biāo)準(zhǔn)方程的參數(shù)化圓錐面，然后用rotate函數(shù)做一個(gè)旋轉(zhuǎn)，然后平移一下，就可以得到想要的光錐。這樣我們就有了一種統(tǒng)一的畫出三維光錐圖的方法。

實(shí)際上，我直接寫了這樣一個(gè)一般性的函數(shù)，輸入度規(guī)的六個(gè)分量（6個(gè)函數(shù)，按照t,x,y三個(gè)Cartesian坐標(biāo)來），返回一個(gè)定義好度規(guī)的用于畫圖的函數(shù)。對(duì)于這第二個(gè)函數(shù)，輸入一個(gè)事件點(diǎn)(t,x,y)，就可以畫出這個(gè)點(diǎn)處的光錐。光錐的大小用參數(shù)lambda修正。然后，讀者就可以通過調(diào)用這個(gè)函數(shù)畫出任意時(shí)空的光錐圖。注意這里的光錐包括了過去和未來，至于哪一部分是過去，哪一部分是未來，則完全依賴于人為定義（前提是，這個(gè)時(shí)空是time-orientable的）。

function lightcone_plot = lightcone_generator(dtdt,dtdx,dtdy,dxdx,dxdy,dydy)

lightcone_plot = @(t,x,y,lambda) lightcone(t,x,y,lambda);

? ? function cone = lightcone(t,x,y,lambda)

? ? ? ? A = [dtdt(t,x,y),dtdx(t,x,y)/2,dtdy(t,x,y)/2;dtdx(t,x,y)/2,dxdx(t,x,y),dxdy(t,x,y)/2;dtdy(t,x,y)/2,dxdy(t,x,y)/2,dydy(t,x,y)];

? ? ? ? if det(A) < 0

? ? ? ? ? ? A = -A;

? ? ? ? end

? ? ? ? [V,D] = eig(A);

? ? ? ? [h,theta] = meshgrid(-lambda:lambda/5:lambda,0:pi/10:2*pi);

? ? ? ? if D(1,1) > 0

? ? ? ? ? ? T = h/sqrt(abs(D(1,1)));

? ? ? ? ? ? X = h.*cos(theta)/sqrt(abs(D(2,2)));

? ? ? ? ? ? Y = h.*sin(theta)/sqrt(abs(D(3,3)));

? ? ? ? elseif D(2,2) > 0

? ? ? ? ? ? T = h.*cos(theta)/sqrt(abs(D(1,1)));

? ? ? ? ? ? X = h/sqrt(abs(D(2,2)));

? ? ? ? ? ? Y = h.*sin(theta)/sqrt(abs(D(3,3)));

? ? ? ? else

? ? ? ? ? ? T = h.*cos(theta)/sqrt(abs(D(1,1)));

? ? ? ? ? ? X = h.*sin(theta)/sqrt(abs(D(2,2)));

? ? ? ? ? ? Y = h/sqrt(abs(D(3,3)));

? ? ? ? end

? ? ? ? X_new = zeros(21,11);

? ? ? ? Y_new = zeros(21,11);

? ? ? ? T_new = zeros(21,11);

? ? ? ? for i = 1:21

? ? ? ? ? ? for j = 1:11

? ? ? ? ? ? ? ? rotated = V * [T(i,j),X(i,j),Y(i,j)]';

? ? ? ? ? ? ? ? X_new(i,j) = rotated(2);

? ? ? ? ? ? ? ? Y_new(i,j) = rotated(3);

? ? ? ? ? ? ? ? T_new(i,j) = rotated(1);

? ? ? ? ? ? end

? ? ? ? end

? ? ? ? X_new = X_new + x;

? ? ? ? Y_new = Y_new + y;

? ? ? ? T_new = T_new + t;

? ? ? ? hold on

? ? ? ? cone = mesh(X_new,Y_new,T_new,'FaceColor','flat','FaceAlpha',.5);

? ? end

end

接下來就用這個(gè)函數(shù)畫一下Kerr度規(guī)。程序如下：（其中的Kerr度規(guī)花了不少力氣轉(zhuǎn)化到直角坐標(biāo)）

a = 1;

mu = 2;

?

r = @(t,x,y) -sqrt(x^2+y^2-1);

dtdt = @(t,x,y) -1+2*mu/r(t,x,y);

dtdx = @(t,x,y) 2*2*mu/r(t,x,y)*a/(r(t,x,y)^2+a^2)*y;

dtdy = @(t,x,y) -2*2*mu/r(t,x,y)*a/(r(t,x,y)^2+a^2)*x;

dxdx = @(t,x,y) 1/(r(t,x,y)^2-2*mu*r(t,x,y)+a^2)*x^2+1/(r(t,x,y)^2+a^2)*y^2+2*mu/r(t,x,y)*a^2*y^2/(r(t,x,y)^2+a^2)^2;

dxdy = @(t,x,y) 2*x*y/(r(t,x,y)^2-2*mu*r(t,x,y)+a^2)-2*x*y/(r(t,x,y)^2+a^2)-4*mu*x*y*a/(r(t,x,y)*(r(t,x,y)^2+a^2)^2);

dydy = @(t,x,y) 1/(r(t,x,y)^2-2*mu*r(t,x,y)+a^2)*y^2+1/(r(t,x,y)^2+a^2)*x^2+2*mu/r(t,x,y)*a^2*x^2/(r(t,x,y)^2+a^2)^2;

lightcone_plot = lightcone_generator(dtdt,dtdx,dtdy,dxdx,dxdy,dydy);

?

figure(1)

xlabel('x')

ylabel('y')

zlabel('t')

?

for x = 1.1:1:6.1

? ? lightcone_plot(0,x,0,0.2);

end

畫出來的結(jié)果如下：

可以看到，在接近奇點(diǎn)環(huán)的時(shí)候，光錐傾斜得很厲害，所以能夠容許CTC的存在。在遠(yuǎn)離奇點(diǎn)環(huán)的時(shí)候，就漸進(jìn)稱為Minkovski時(shí)空的奇點(diǎn)環(huán)了。

這個(gè)函數(shù)非常方便。為了不浪費(fèi)它，我們還可以嘗試一下畫出G?del度規(guī)下的光錐。G?del度規(guī)長這樣：

程序?yàn)椋?/p>

dtdt = @(t,x,y) -1;

dtdx = @(t,x,y) 0;

dtdy = @(t,x,y) -2*exp(x);

dxdx = @(t,x,y) 1;

dxdy = @(t,x,y) 0;

dydy = @(t,x,y) -0.5*exp(2*x);

lightcone_plot = lightcone_generator(dtdt,dtdx,dtdy,dxdx,dxdy,dydy);

?

figure(1)

xlabel('x')

ylabel('y')

zlabel('t')

?

r = 0:0.5:1.5;

theta = 0:pi/3:2*pi;

[R,THETA]=meshgrid(r,theta);

[X,Y]=pol2cart(THETA,R);

for i=1:7

? ? for j=1:4

? ? ? ? lightcone_plot(0,X(i,j),Y(i,j),0.1);

? ? end

end

畫出來的光錐是這樣的：

單看這張圖看不清。讀者不妨自己畫出三維圖像再轉(zhuǎn)動(dòng)一下，就很容易看出CTC在哪里。

讀者還可以嘗試用各種度規(guī)來畫圖。

接下來進(jìn)入主題，即關(guān)于命定悖論的解決。兩個(gè)解決方案分別是時(shí)序保護(hù)假說和Novikov自洽性原則。關(guān)于時(shí)序保護(hù)假說，因?yàn)楝F(xiàn)在沒有完整的量子引力理論，所以沒什么好特別評(píng)價(jià)的。關(guān)于Novikov自洽性原則則值得花費(fèi)一些筆墨。

一般來說時(shí)間旅行會(huì)讓人們擔(dān)憂一些悖論的出現(xiàn)，比如祖父悖論，又比如上一篇文章提到的，透子如果給過去的自己發(fā)送“不要上車”的信息，那么她現(xiàn)在又是如何和真白相遇的。時(shí)序保護(hù)假說是從經(jīng)典尺度上否定了這種時(shí)間旅行，而Novikov自洽性原則其實(shí)是說：時(shí)間旅行即使能夠在經(jīng)典尺度上存在，也根本不產(chǎn)生悖論，結(jié)果一定是自洽的。CTC are already guaranteed to be self-consistent; they influence each other around a closed curve in a self-adjusted, cyclical, self-consistent way.?

Novikov自洽性原則并不應(yīng)該視為一條“新的物理規(guī)律”，而僅僅是一個(gè)tautology，一個(gè)self-evident truth。If one is inclined from the outset to ignore or discount the possibility of new physics, then one will regard self-consistency as a trivial principle. 打個(gè)比方，我們想要解一個(gè)圓上的PDE，分離變量之后，當(dāng)然得要求角度部分是一個(gè)周期函數(shù)。并沒有哪條專門的“定律”告訴我們說，角度部分是一個(gè)周期函數(shù)；這僅僅是為了不發(fā)生矛盾做出的要求。Novikov自洽性原則也是一樣，只是一個(gè)trivial的原則。下面用一個(gè)例子詳細(xì)說明：物理學(xué)如何能夠在沒有任何悖論的情況下處理時(shí)間機(jī)器這種不尋常的情況。

在此之前我們指出，關(guān)于時(shí)間旅行的擔(dān)憂很大程度上來自于自由意志。物理學(xué)家（至少我們當(dāng)代的物理學(xué)家）無法精確計(jì)算人類的行為。所以我們姑且撇開自由意志，考慮一個(gè)“純物理”的過程；在最后再討論一下自由意志的問題。我們把舞臺(tái)設(shè)置在Kerr度規(guī)的奇點(diǎn)環(huán)附近，并且把問題完全簡化成一個(gè)“純物理”的“DDE定解問題”，這樣思考起來會(huì)明晰很多。

我的這個(gè)例子來自于Polchinski's paradox：

臺(tái)球桌上有一個(gè)蟲洞，進(jìn)口和出口的位置經(jīng)過精確的擺放。一只臺(tái)球向蟲洞打去，進(jìn)入蟲洞后，在2s之前出來，撞上了1s之前的自己，改變了自己的軌跡，從而1s前的自己無法進(jìn)入蟲洞。那么現(xiàn)在這個(gè)蟲洞里出來的臺(tái)球又是哪來的？

我把這個(gè)悖論做了一個(gè)改版：一個(gè)帶電粒子繞著Kerr黑洞的奇點(diǎn)環(huán)轉(zhuǎn)動(dòng)（不是CTC，而是稍微有一點(diǎn)錯(cuò)位，就像上一篇文章中透子的世界線），那么它在1分鐘（比如說）之后的電磁場會(huì)影響到1分鐘之前的自己（從1分鐘前的自己來看，就是突然出現(xiàn)了一個(gè)未來的自己靠近自己，把自己推開來），導(dǎo)致之前的自己軌跡偏移。為了簡單起見，假設(shè)電磁場只在有界的時(shí)空區(qū)域內(nèi)。

在這個(gè)改版的Polchinski悖論里，回到過去的粒子改變了自己歷史上的軌道，導(dǎo)致自己本身不應(yīng)該存在于這個(gè)事件點(diǎn)。

從數(shù)學(xué)的角度，我們發(fā)現(xiàn)問題并不難解決。悖論產(chǎn)生的原因在于這個(gè)ODE的定解問題：

我們有初始條件（位置和速度），就可以求解這個(gè)方程，這時(shí)候系統(tǒng)是剛好可解的。但是CTC給我們帶來了另一個(gè)來自未來的constraint。所以系統(tǒng)變成overdeterminant，解不存在。

錯(cuò)誤顯然出在方程本身。正確的方程應(yīng)該是：

即把過去和將來的影響考慮在方程里面，變成一個(gè)類似DDE的東西。這時(shí)候解不但存在，而且不唯一。Infinite number of consistent extensions for every initial trajectory! 于是我們諷刺地發(fā)現(xiàn)，時(shí)間機(jī)器并沒有導(dǎo)致overdeternimation，反而導(dǎo)致了underdetermination。

所以說白了這個(gè)自洽性原則很trivial：我們想解出一個(gè)粒子的世界線嘛。解方程的結(jié)果應(yīng)該是一條軌跡，而不是既是這條又是那條。僅此而已，說出來簡直是廢話。

至于這個(gè)underdetermination的解決，即：解出唯一的一條軌道，則是另外一個(gè)問題；不管怎么說，它至少不存在矛盾（也就是解決了命定悖論），所以問題比overdetermination要小?？赡艿慕鉀Q方案是量子力學(xué)：對(duì)每個(gè)歷史賦予一個(gè)概率并進(jìn)行路徑積分[關(guān)于這一點(diǎn)，更加詳細(xì)的參考見Thorne, Kip S.?(1994).?Black Holes and Time Warps. W. W. Norton.?ISBN?0-393-31276-3.的514-515]。

最后，如果考慮自由意志，又會(huì)如何？比如說，透子作出決定這個(gè)過程，就依賴于其自由意志，而這會(huì)產(chǎn)生一些難以解釋的東西，我們不知道自由意志到底物理根源上是怎么一回事。但是不管物理根源怎樣，可以認(rèn)定的一句話是，自由意志是有物理局限的（A man can do what he wishes but he is not free to wish what he wants）。讀者應(yīng)該注意到，即使沒有時(shí)間機(jī)器，任何物理定律都對(duì)“自由意志”加以限制。我們的自由意志可以想要穿過墻壁，但是物理會(huì)阻止我們穿過墻壁。同理，透子的自由意志想要拒絕上車，但是物理會(huì)迫使她上車。這二者之間并沒有什么區(qū)別，為什么我們能接收前者但不能接收后者？因?yàn)楹笳叩谋憩F(xiàn)形式更加復(fù)雜，在表面上會(huì)給我們一些感覺，似乎有一種“看不見的力量”推動(dòng)著透子上車，可能是因?yàn)槟撤N巧合摔了一跤被迫上車，可能是被Morfonica另幾個(gè)人推著上車，等等；所以表面上看起來有一種“超自然”的“額外”的“力”在驅(qū)使著她的行動(dòng)[換句話說，它體現(xiàn)得像一個(gè)新的物理規(guī)律，而不像一個(gè)tautology。就好像，一個(gè)只生活在三角形、正方形、正六邊形的幾何體空間中的自由意志，有一天突然進(jìn)入了有正五邊形的世界，它會(huì)發(fā)現(xiàn)自己的自由意志無論如何也做不到“把正五邊形密鋪”，不管怎么嘗試都會(huì)出現(xiàn)縫隙，仿佛有某種超自然的力量作祟；雖然我們旁觀者看來并沒有任何新的數(shù)學(xué)和物理在其中起作用]，所以可能讓人難以接受。但是歸根到底并沒有任何額外的力出現(xiàn)，透子的所有行動(dòng)都單純是經(jīng)典物理推動(dòng)著。說到底還是自由意志的物理局限。即使在沒有時(shí)間機(jī)器的情況下，自由意志和物理定律之間的兼容性也是一個(gè)非常混亂的問題；在有時(shí)間機(jī)器的情況下，情況就更加迷惑了[因?yàn)樽杂梢庵局械拿恳粋€(gè)微觀過程都參與到時(shí)間閉環(huán)中來]，但是還是解釋得通的[并且可以想見，假如人類的確實(shí)現(xiàn)了時(shí)間旅行，在對(duì)自由意識(shí)的認(rèn)知上可能會(huì)有一場革命]。It is not, in principle, anything extraordinary in the physics of our time.

最后的最后，即使我們所有的一致性條件都能滿足，也并不意味著時(shí)間旅行在物理上是可能的，只是一些具體的物理考慮不能排除它。

總結(jié)：Novikov自洽性原則認(rèn)為tautologically，時(shí)間旅行并不造成悖論。但是在自由意志的情況下，會(huì)有一種“悖論”的錯(cuò)覺，或者說有一種“超自然力量”的錯(cuò)覺。這個(gè)錯(cuò)覺悖論不發(fā)生的原因，可以理解為自由意志的物理局限。