? ? ? 說(shuō)明：由于面向大二學(xué)生，數(shù)值分析和微分方程數(shù)值解課程仍未學(xué)（大三開(kāi)設(shè)），僅以簡(jiǎn)單的數(shù)值分析內(nèi)容為例，目的是MATLAB如何根據(jù)原理編寫(xiě)算法，以及MATLAB本身語(yǔ)言的程序設(shè)計(jì)思路和語(yǔ)法知識(shí)。

? ? ? 學(xué)習(xí)面向未來(lái)，本科階段不僅僅打下良好的理論基礎(chǔ)，也應(yīng)在本科階段打下良好的編碼基礎(chǔ)，不至于把編碼這個(gè)不大的問(wèn)題交給未來(lái)。計(jì)算數(shù)學(xué)是基礎(chǔ)數(shù)學(xué)應(yīng)用到科技創(chuàng)新的必由之路，尤其是國(guó)家層面的科技，更包括社會(huì)各行業(yè)的智能計(jì)算。

? ? ? ? 對(duì)于復(fù)雜方程 ，具體求根通常分兩步走：先用適當(dāng)方法獲得根的某個(gè)初始近似值 ；然后再反復(fù)迭代，將逐步加工成一系列近似根，直到足夠精確為止。

1.? 不動(dòng)點(diǎn)迭代法

? ? ? ?不動(dòng)點(diǎn)迭代法又稱為 皮卡（Picard ）迭代法、 逐次逼近法，不動(dòng)點(diǎn)迭代法是求方程在某區(qū)間內(nèi)單根的近似值的重要方法。

? ? ? ? 用不動(dòng)點(diǎn)迭代法求方程?的單根的主要步驟為：

? ? ?（1）把?變形為 ，稱為迭代函數(shù)。

? ? ?（2）以為迭代公式，以附近的某一個(gè)值為迭代初值，反復(fù)迭代，得到迭代序列： 。

? ? ?（3）若此序列收斂，則必收斂于精確根 ，即。

? ? ? ?方程?到?的變形不唯一。迭代公式不同或迭代初值不同，迭代過(guò)程有的收斂，有的不收斂。

? ? ? ?不動(dòng)點(diǎn)迭代法的收斂性分析（略去）。

2. 埃特金加速法

? ? ? ? 埃特金（Aitken）加速法用來(lái)加快不動(dòng)點(diǎn)迭代法的收斂速度。先用不動(dòng)點(diǎn)迭代法算出序列，再對(duì)此序列作修正得到，具體方法：

? ? ? ?用埃特金加速法對(duì)不動(dòng)點(diǎn)迭代法迭代過(guò)程加速得到的迭代序列記為，則計(jì)算出、、 后，對(duì)作以下修正：

然后用來(lái)逼近方程的根。

3. 斯特芬森加速法

? ? ? ? 埃特金方法不管原序列是怎樣產(chǎn)生的，對(duì)進(jìn)行加速計(jì)算，得到序列。如果把埃特金加速技巧與不動(dòng)點(diǎn)迭代法結(jié)合，則可得到如下的迭代法：

稱為斯蒂芬森（Steffensen）迭代法。斯蒂芬森迭代法是二階收斂的。

4. OOP的繼承與多態(tài)

4.1 繼承 ??

? ? ? ?定義一個(gè)?class?的時(shí)候，可以從某個(gè)現(xiàn)有的?class?繼承，新的class?稱為子類（Subclass），而被繼承的class?稱為基類、父類或超類（Base class、Super class）。

? ? ? 父類和子類的關(guān)系是一般和特殊的關(guān)系。例如水果和蘋(píng)果的關(guān)系，蘋(píng)果繼承了水果，蘋(píng)果是水果的子類，則蘋(píng)果是一種特殊的水果。

? ? ? ?從子類的角度看，子類擴(kuò)展（extend）了父類；但從父類角度看，父類派生（derive）出子類。也就是說(shuō)，擴(kuò)展和派生所描述的是同一個(gè)動(dòng)作，只是觀察角度不同而已。

? ? ? ?多繼承增加了編程了復(fù)雜度，盡量避免在MATLAB算法設(shè)計(jì)中使用多繼承，而是使用單繼承，可以保證編程思路更清晰，避免更多麻煩。

? ? ? ?在設(shè)計(jì)Aitken類時(shí)，則繼承了Picard類，Picard類稱為父類，Aitken類為子類。語(yǔ)法格式

? ?? ?子類除繼承父類的非私有屬性外，仍可定義自己獨(dú)特的屬性，如增加一個(gè)迭代時(shí)間屬性變量time

? ? ? MATLAB中繼承的特點(diǎn)：

? ? （1）在繼承中，基類的構(gòu)造方法不會(huì)自動(dòng)調(diào)用，需要在子類的構(gòu)造方法中專門(mén)調(diào)用。

? ? （2）在調(diào)用基類的方法時(shí)需要加上self（因?yàn)楸舅惴ńy(tǒng)一采用self表示當(dāng)前類）前綴，后面為符號(hào)“@”（表示引用父類構(gòu)造函數(shù)）和父類名稱，以及父類的參數(shù)。

? ? （3）在?MATLAB?中，首先查找對(duì)應(yīng)類型的方法，如果在子類中找不到對(duì)應(yīng)的方法，才到基類中逐個(gè)查找。如測(cè)試代碼中：aitken.plot_x_eps_curve(true) ，子類無(wú)定義，則在父類中查找。

? ? （4）子類獲得了父類全部非私有的功能。子類不能繼承父類中的私有方法，也不能被調(diào)用父類的私有方法。對(duì)于父類中擴(kuò)展的非私有方法，子類可以拿來(lái)即用。

4.2 多態(tài)

? ? ??多態(tài)性是指具有不同功能的函數(shù)可以使用相同的函數(shù)名，這樣就可以用一個(gè)函數(shù)名調(diào)用不同內(nèi)容的函數(shù)。在面向?qū)ο蠓椒ㄖ幸话闶沁@樣表述多態(tài)性：向不同的對(duì)象發(fā)送同一條消息，不同的對(duì)象在接收時(shí)會(huì)產(chǎn)生不同的行為（即方法）。也就是說(shuō)，每個(gè)對(duì)象可以用自己的方式去響應(yīng)共同的消息。所謂消息，就是調(diào)用函數(shù)，不同的行為就是指不同的實(shí)現(xiàn)，即執(zhí)行不同的函數(shù)。

? ? ? ?多態(tài)性的優(yōu)點(diǎn)：

? ? ?（1）增加了程序的靈活性：以不變應(yīng)萬(wàn)變，不論對(duì)象千變?nèi)f化，使用者都是同一種形式去調(diào)用；

? ? ?（2）增加了程序額可擴(kuò)展性。

? ? ? 如在Aitken類中重寫(xiě)了父類方法solve_nlinear_equ，同名方法iterative_output內(nèi)部引用父類方法并傳參。

5. Picard迭代法OOP設(shè)計(jì)（完整代碼）

? ? ? ?基類設(shè)計(jì)中，所有屬性的權(quán)限為protected，若為private，則子類無(wú)法繼承。設(shè)置為protected，類外不能被引用，但子類可以。

6. Aitken加速法OOP設(shè)計(jì)，繼承Picard迭代法（完整代碼）

? ? ? ? 繼承父類PicardSolveNLEqu，并重寫(xiě)了父類方法solve_nlinear_equ；同名函數(shù)iterative_output中調(diào)用父類的同名函數(shù)，并傳參；完整繼承父類的plot_x_eps_curve方法。

7. 案例測(cè)試

例1：用迭代法求方程在區(qū)間內(nèi)的實(shí)根。其迭代函數(shù)構(gòu)造形式有三種，如下：

（1）?；

（2）；

（3），不收斂。

Picard迭代法測(cè)試代碼如下，文件命名為test_picard.m

求解結(jié)果，此處不給出迭代過(guò)程的輸出。

可視化圖象

Aitken加速迭代法測(cè)試代碼如下，文件命名為test_aitken.m

輸出結(jié)果如下：增加了一項(xiàng)time的計(jì)算（迭代速度較快，若time為0，可多次運(yùn)行）。

可視化圖象：

第二種迭代函數(shù)形式的測(cè)試：

可視化圖象，由于迭代次數(shù)較多，不再標(biāo)記marker：

Aikten加速迭代法測(cè)試代碼，由于迭代速度較快，設(shè)置精度1e-20.

可視化圖象