【閱前提示】本篇出自『數(shù)理化自學(xué)叢書6677版』，此版叢書是“數(shù)理化自學(xué)叢書編委會”于1963-1966年陸續(xù)出版，并于1977年正式再版的基礎(chǔ)自學(xué)教材，本系列叢書共包含17本，層次大致相當(dāng)于如今的初高中水平，其最大特點就是可用于“自學(xué)”。當(dāng)然由于本書是大半個世紀(jì)前的教材，很多概念已經(jīng)與如今迥異，因此不建議零基礎(chǔ)學(xué)生直接拿來自學(xué)。不過這套叢書卻很適合像我這樣已接受過基礎(chǔ)教育但卻很不扎實的學(xué)酥重新自修以查漏補缺。另外，黑字是教材原文，彩字是我寫的注解。

【山話嵓語】我在原有“自學(xué)叢書”系列17冊的基礎(chǔ)上又添加了1冊八五人教甲種本《微積分初步》，原因有二：一則，我是雙魚座，有一定程度的偶雙癥，但“自學(xué)叢書”系列中代數(shù)4冊、幾何5冊實在令我刺撓，因此就需要加入一本代數(shù)，使兩邊能夠?qū)ε计胶?；二則，我認(rèn)為《微積分初步》這本書對“準(zhǔn)大學(xué)生”很重要，以我的慘痛教訓(xùn)為例，大一高數(shù)第一堂課，我是直接蒙圈，學(xué)了個寂寞。另外大學(xué)物理的前置條件是必須有基礎(chǔ)微積分知識，因此我所讀院校的大學(xué)物理課是推遲開課；而比較生猛的大學(xué)則是直接開課，然后在緒論課中猛灌基礎(chǔ)高數(shù)（例如田光善舒幼生老師的力學(xué)課）。我選擇在“自學(xué)叢書”17本的基礎(chǔ)上添加這本《微積分初步》，就是希望小伙伴升大學(xué)前可以看看，不至于像我當(dāng)年那樣被高數(shù)打了個措手不及。??

第二章三角形——等腰三角形

§2-7等腰三角形的判定

【01】我們已經(jīng)知道，一個等腰三角形的兩個底角是相等的，如果有一個三角形，它有兩個角相等，它是不是等腰三角形呢？這就很難說了指因為要判定一個三角形是等腰三角形，必須知道它有兩條邊相等。為此，我們來研究這一問題。

【02】畫 △ABC，使 ∠B＝∠C（圖2·33），畫 BC 上的高 AM，因為 ∠AMB＝∠AMC＝d，∠B＝∠C，所以 ∠MAB＝∠MAC（等角的余角相等）。

【03】沿著 AM 把 △ABC 折迭起來，則 ∠MAB 與 ∠MAC 重合，∠AMB 與 ∠AMC 也重合，那么 AB 就落在 AC 上，MB 落在 MC 上，所以點 B 必然與點 C 重合（兩直線只能相交于一點）。由此可知 AB 也與 AC 重合，所以 AB＝AC? 。

【04】等腰三角形的判定定理：一個三角形如果有兩個角相等，那末等角所對的邊也相等，它就是等腰三角形。

例1.求證：等腰三角形中有一個角是 60°，它就是等邊三角形。

【已知】△ABC 中 AB＝AC，∠A＝60°（圖2·34）。

【求證】AB＝BC＝CA? 。

【分析】要證明 △ABC 是等邊三角形，只要證明 AB＝BC，要證明 AB＝BC，只要證明 ∠C＝∠A；也就是證明 ∠C 也等于 60°? 。

【證】·

????????∵ ∠A＝60°（已知），

????????∴ ∠C＋∠B＝180°－60°＝120°（三角形內(nèi)角和）。

????????又因 AB＝AC（已知），

????????∴ ∠C＝∠B（等腰三角形的底角相等），

????????就是 2∠C＝120°，

????????∴ ∠C＝60°，

????????由此可知，∠C＝∠A，

????????AB＝BC（等腰三角形的判定定理）。

????????∴ AB＝BC＝AC? ?。

????????就是 △ABC 是等邊三角形。

【05】如果已知等腰三角形的底角是 60°，它的證明方法和上面的一樣，也可得到同樣的結(jié)論。希望讀者自己來完成這個證明。

例2.求證：含有 30° 角的直角三角形中，30° 角所對的邊等于斜邊的一半。

【已知】直角三角形 ABC 中，∠A＝30°（圖2·35）。

【求證】BC＝AB? 。

【分析】要證明 BC＝AB，我們可以延長 BC 到 B 使 CB'＝BC，再證明 BB' 等于 AB 就可以了。

【證】∠BAC＝30°，我們已知 ∠ACB＝90°，延長 BC 至 B'，使 CB′＝BC，連結(jié) AB'? 。

????????可知 ∠ACB'＝∠ACB＝90°（鄰補角），所以沿直線 AC 折迭，則點 B 落在點 B'，AB 與 AB' 重合。

????????∴ ∠B'＝∠B? 。

????????又因 ∠B＝60°（30° 的余角）

????????∴ ∠B'＝∠B＝60°.

????????又 ∠BAB'＝2∠BAC＝30°×2＝60°? 。

????????所以在 △ABB' 中，∠B'＝60°＝∠BAB'，

????????∴ BB'＝AB（等腰三角形的判定定理）。

????????但是 BC＝BB'，

????????∴ BC＝AB? 。

????????也就是證明了 30° 角所對直角邊等于斜邊的一半。

【注意】本例還可以在 BA 上取 BM＝BC，再證明 MA＝BC，同樣可證得結(jié)論。希望讀者作為練習(xí)來證明。

例3.已知直角三角形 ABC 中，∠B＝60°，又 CD 是斜邊 AB 上的高（圖2·36）。求證 AC＝2CD? 。

【分析】要證明 CA＝2CD，只要證得 CD 是直角三角形中對 30° 角的直角邊就可以了。

【證】已知 △ABC 中，∠C＝90°，∠B＝60°，又 CD ⊥ AB，

????????所以 △ADC 也是直角三角形。

????????又 ∠A＝30°（直角三角形的銳角互余），

????????∴ CD＝AC（例2的結(jié)論）

????????就是 AC＝2CD? 。

例4.設(shè)在 △ABC 中，CF 平分 ∠BCA，過 A 作 FC 的平行線 AD 交 BC 的延長線于 D（圖2·37）。求證 △ACD 是等腰三角形。

【分析】要證明 △ACD 是等腰三角形，只要證得 ∠CAD＝∠D 就可以了。

【證】

????????CF 平分 ∠BCA（已知），

????????∴ ∠BCF＝∠FCA? 。

????????又 AD // FC，且 BCD 在一直線上（已知），

????????∴ ∠CAD＝∠FCA（平行線的內(nèi)錯角相等），

????????∠D＝∠BCF（平行線的同位角相等），

????????因此，∠CAD＝∠D（等于等量的量相等）。

????????∴ △ACD 是等腰三角形（等腰三角形判定定理）。

例5.一條船以每小時 15 公里的速度向北航行，上午 8 時到達(dá) A 處，上午 10 時到達(dá) B 處。從 A，B 望燈塔 C，并測得 ∠A＝42°，∠NBC＝84°（圖2·38）。求從 B 到燈塔 C 的距離。

【解】

????????因為 ∠NBC 是 △ABC 的外角，

????????∴ ∠NBC＝∠C＋∠CAB，

????????就是 84°＝∠C＋42°，

????????計算得，∠C＝42°，

????????∴ ∠CAB＝∠C，

????????∴ BC＝AB（等腰三角形判定定理）。

????????又 AB＝15×(10－8)＝30，

????????即 BC＝30? 。

????????答：從 B 到燈塔 C 的距離是 30 公里。

習(xí)題2-7

1、求證等腰三角形的兩底角的平分線和底邊構(gòu)成一個等腰三角形。[提示：只要證得 ∠1＝∠2，就可決定 △BOC 是等腰三角形了]

2、在 △ABC 中，AB＝AC，又 PQ // BC，它與兩腰分別相交于 E，F(xiàn)（如圖）。求證 AE＝AF? 。[提示：先證∠1＝∠2]

3、如圖。如果我們要測量小河兩岸 B，D 之間的距離。只要先測得 ∠ABD＝2∠ACD，再量 BC 的長，就可以得到 BD 的長，為什么？[提示：參考例5]

4、不用量角器，用直尺和圓規(guī)畫出一個等于 60° 的角。[提示：從等邊三角形的內(nèi)角來思考]

5、要測量樹的高度 AB，可以應(yīng)用帶有鉛錘的等腰直角三角板 DEF，走到 K 處，使一直角邊在鉛錘線的位置（也就是與鉛錘的那條線重合），沿著斜邊 DE 看過去，正好看到樹頂點 B（如下圖）。.量得 AK 的長和測點與地面的距離（眼晴的高度）DK＝a 后，就得到樹高 AB＝AK＋a，說明所根據(jù)的道理。[提示：其中 AK＝CD，只要說明 △BCD 是等腰三角形就可以了]

6、如圖。一個屋架 AB＝7.4m，D 是 AB 的中點，并且 DE，BC 都垂直于 AC? 。如果 ∠HAB＝150°，DE，DC 和 CB 的長各幾米？為什么？【DE＝1.85m，DC＝3.7m，CB＝3.7m】

7、如圖。已知 AB＝AC，∠1＝∠2，求證 BD＝DC? 。

8、已知等腰直角三角形的斜邊等于 a，求斜邊上的高?！?img type="latex" class="latex" src="http://api.bilibili.com/x/web-frontend/mathjax/tex?formula=%5Cscriptsize%5Cfrac12a" alt="%5Cscriptsize%5Cfrac12a">】

9、在等腰直角三角形中，斜邊和斜邊上的高之和等于 30 厘米，求斜邊之長?！?0cm】

10、在直角三角形 ABC 中，D 是斜邊 AB 上的一點，如果 CD＝BD? 。求證(1) CD＝AD；(2) CD 是斜邊上的中線。

11*、已知直角三角形的一條直角邊等于 10 厘米，它所對的角為 60°，求斜邊上的高?！?cm】

12*、三角形的三個角的度數(shù)之比為 1:2:3，它的最大邊長等于 16 厘米，求最小邊的長?！?cm】