Perron-Frobenius定理

????????1907年，德國數(shù)學家奧斯卡·佩龍(Oskar Perron)發(fā)現(xiàn)了關于正矩陣譜的一些有趣性質，格奧爾格·弗羅貝尼烏斯(Ferdinand Georg Frobenius)則將其推廣到不可約非負矩陣的情形。數(shù)學家們關于Perron-Frobenius定理的大量文獻，引起了數(shù)理經濟學家們的廣泛注意。投入產出模型中因為系數(shù)矩陣的特性，使該定理對于投入產出數(shù)理性質的分析能夠提供重要的分析工具。

????????Perron-Frobenius定理的核心內容如下：

????????如果A是一個不可約非負方陣，則A總有正的特征值λ*(A)，它是特征方程的單根，稱為A的Perron-Frobenius根(PF根)，所有其他特征值的模都不超過PF根（這意味著可能存在模與PF根相等的一個特征值），該特征值對應一個正的特征向量，在標量乘法的意義上，該特征向量是唯一的。

????????如果放松不可約的假定，A只是一個非負方陣，那么A的PF根及相應的特征向量符號上也相應放松。其中PF根非負，且不必是單根。對應于半正的特征向量，其部分（不是全部）元素可能為0，而且不唯一。因此非負矩陣的PF根等于它的譜半徑，只是在可分解的情況下，λ*(A)可能為0，且不能保證為單根。

????????Perron-Frobenius定理有很多種證明，例如德布魯與埃爾斯坦(G. Debreu and I. N. Herstein)利用布勞沃不動點定理的證明，維蘭特(H. Wielandt)與二階堂利用緊集極值存在性的證明。

????????維蘭特的證明在各種數(shù)學和數(shù)理經濟學教材中被廣為介紹。盡管與德布魯?shù)暮啙嵶C明相比要麻煩得多，但維蘭特的證明被公認為是一個非常優(yōu)美的證明。