Part 1?守護(hù)者的基本邏輯

如圖所示，我們發(fā)現(xiàn)，如果把r2c3(4)和r6c7(4)都去掉后，r25、c17和b4五個(gè)區(qū)域就會(huì)出現(xiàn)關(guān)于數(shù)字4的共軛對(duì)，而且恰好成環(huán)。那么這會(huì)發(fā)生什么樣的奇妙情況呢？

因?yàn)殒溞枰惶娲嬖?，所以我們隨便選取一個(gè)節(jié)點(diǎn)作為鏈頭，比如r5c1(4)，向上走鏈結(jié)構(gòu)。我們之前說過一點(diǎn)。強(qiáng)關(guān)系的定義下的兩個(gè)候選數(shù)，是一定滿足弱關(guān)系的定義的，但該用強(qiáng)關(guān)系還是弱關(guān)系，取決于關(guān)系的交替出現(xiàn)情況。也就是說，共軛對(duì)肯定是強(qiáng)關(guān)系了，不過以r5c1(4)作為鏈頭向上引出AIC的話，那么r2c1(4)和r2c7(4)應(yīng)為弱關(guān)系。隨即出現(xiàn)以下鏈結(jié)構(gòu)：

當(dāng)我們得到r5c1 = 4時(shí)，同時(shí)可以知道的是r2c1和r5c8都不填4，于是r2和b6之中，r4c7和r2c7就應(yīng)當(dāng)填4。此時(shí)發(fā)現(xiàn)，r24c7(4)同列，所以矛盾。所以，直接“裸露”出來的五個(gè)共軛對(duì)首尾成環(huán)是完全不可以的，也就是說，r2c3(4)和r6c7(4)不同時(shí)為假。所以r2c3(4)和r6c7(4)至少有一個(gè)為真，于是刪除交集，故r2c7, r6c3 <> 4。

這個(gè)技巧稱為守護(hù)者（Guardian）。很不幸的是，它的邏輯很復(fù)雜。接下來我們?cè)賮砜匆粍t示例。

如果{r2c7, r3c5, r68c6}(5)全部去掉后，剩下的r68、c57和b8里存在五個(gè)連續(xù)的共軛對(duì)，并使之成環(huán)。顯然，這一點(diǎn)是不允許出現(xiàn)的，所以假設(shè)矛盾，即r2c7, r3c5, r68c6里必須至少有一處是填入5的；因此刪除交集，即r2c6 <> 5。

接下來我就來講一下原理，這會(huì)讓你覺得技巧尋找和理解起來更加輕松一些。

Part 2?守護(hù)者理論的證明

那么，為什么說，只有大于3且是奇數(shù)個(gè)共軛對(duì)兩兩連接、首尾成環(huán)時(shí)，結(jié)構(gòu)必然不存在呢？實(shí)際上，我們可以如此思考。

共軛對(duì)要求兩處填數(shù)必須一真一假，那么一旦有一個(gè)數(shù)為真，那另外一個(gè)就必須為假，反之亦然。如果有奇數(shù)個(gè)的話，順次推導(dǎo)下去，必然會(huì)遇到開頭和結(jié)尾兩處的數(shù)同真假。而結(jié)構(gòu)成環(huán)，而且還是共軛對(duì)，所以這兩處必須也要求真假性相反（一個(gè)真一個(gè)假）。所以這已經(jīng)違背了要求，所以該結(jié)構(gòu)的內(nèi)部是無解的（無法找到合適的填法）。

這一點(diǎn)和致死形式類似，但不同。BUG結(jié)構(gòu)的致死形式確實(shí)內(nèi)部無解，但BUG屬于致命結(jié)構(gòu)一節(jié)的內(nèi)容，它基于題目唯一解，而此技巧跟唯一解要求無關(guān)。

Part 3 死環(huán)

我們?cè)賮砜匆粍t奇特的示例。

如圖所示，感覺略熟悉：感覺有點(diǎn)像是UR區(qū)塊類型的感覺，也有點(diǎn)像是遠(yuǎn)程數(shù)對(duì)。它的邏輯是這樣的：

如果r69c3(5)同假時(shí)，r69和c3均會(huì)產(chǎn)生2、9數(shù)對(duì)，在刪除所有其它位置的2和9后，2和9構(gòu)成由5個(gè)共軛對(duì)首尾拼接成環(huán)且獨(dú)立的守護(hù)者結(jié)構(gòu)，這種結(jié)構(gòu)顯然是不成立的，因?yàn)椴徽撛趺刺顢?shù)，始終會(huì)存在同一個(gè)區(qū)域的兩個(gè)單元格的填數(shù)一致，這樣便產(chǎn)生了矛盾。所以原假設(shè)錯(cuò)誤，故r69c3(5)不可同為假，即r69c3(5)至少一個(gè)為真。所以，c3的其余單元格都不應(yīng)該填5，即r24c3 <> 5。

這個(gè)結(jié)構(gòu)利用到了數(shù)對(duì)的刪除的特性，隨之產(chǎn)生共軛對(duì)首尾成環(huán)的守護(hù)者的出錯(cuò)情況。它使用了兩個(gè)結(jié)構(gòu)長(zhǎng)相一模一樣，但候選數(shù)不同的守護(hù)者結(jié)構(gòu)2和9。這個(gè)技巧叫做死環(huán)（Bivalue Oddagon），意味著r69c3(5)同假時(shí)，內(nèi)部結(jié)構(gòu)有兩個(gè)不同數(shù)字的守護(hù)者合并在一起形成了無法填數(shù)的死亡局面。

不過，這樣的結(jié)構(gòu)還可以有很多情況。我們來看另外一則死環(huán)的例子。

如圖所示，可以看到如果我們省去r5c2(6)和r5c7(2)的話，因?yàn)榫G色的結(jié)構(gòu)是一個(gè)死環(huán)，不包含別的數(shù)字就會(huì)導(dǎo)致整個(gè)結(jié)構(gòu)掛掉。正是因?yàn)槿绱?，我們不能直接消去這兩個(gè)數(shù)字。

但是，這兩個(gè)橙色的數(shù)字（這個(gè)6和2）同時(shí)都填進(jìn)去的話，r5c5就沒辦法填數(shù)字了。因此，這兩個(gè)數(shù)字還只能有一個(gè)是對(duì)的數(shù)字。這樣的話，r5c5剛好配合r5c2(6)或者r5c7(2)的其中一個(gè)，構(gòu)成2和6的數(shù)對(duì)結(jié)構(gòu)。因此，r5別的地方就不能填別的2和6了，因此可刪去這里紅色的2。

Part 4 拓展死環(huán)

接下來我們拓展一下死環(huán)的結(jié)構(gòu)。正是因?yàn)樗拉h(huán)有點(diǎn)不像是鏈，而跟前面的UR這些的結(jié)構(gòu)有點(diǎn)像，畢竟還有別的類型，因此我們可以拓展死環(huán)結(jié)構(gòu)。

如圖所示，這里r5c9(5)和r9c5(4)均可刪除。這一點(diǎn)有點(diǎn)不好理解，我們先把題目放在一旁，我們先來看下單獨(dú)提出來的結(jié)構(gòu)圖。

4-1 構(gòu)型

現(xiàn)在我們來看一下構(gòu)型。

如圖所示，這樣的結(jié)構(gòu)是最開始的結(jié)構(gòu)。顯然這樣的結(jié)構(gòu)是會(huì)掛的結(jié)構(gòu)。不過，我們?yōu)榱送茝V結(jié)構(gòu)，我們嘗試追加一個(gè)格子。

如圖所示，但是很顯然r5包含三個(gè)格子只能放入1和2了，這樣肯定不行。那么我們還得繼續(xù)往上添加別的數(shù)字。

如圖所示，顯然，這樣的結(jié)構(gòu)看起來好像沒矛盾了。但是實(shí)際上也是矛盾的，這一點(diǎn)我們可以通過前面一節(jié)的死環(huán)的補(bǔ)充例子里看到這樣的結(jié)構(gòu)是不存在的。當(dāng)然，你也可以自己試著推導(dǎo)矛盾：假設(shè)我們隨便往r2c2填入一個(gè)數(shù)字。一直往下會(huì)得到矛盾：

如圖所示。這樣的結(jié)構(gòu)肯定會(huì)掛。因此，我們添一個(gè)數(shù)字還不夠，還得添加兩種類型的數(shù)字，于是可以得到這樣的結(jié)構(gòu)。

如圖所示。只有這樣，結(jié)構(gòu)才不會(huì)出現(xiàn)直接出錯(cuò)的現(xiàn)象。可問題又來了。這種結(jié)構(gòu)怎么用呢？剛才我們是利用結(jié)構(gòu)外側(cè)同行列的雙值格得到結(jié)果的，對(duì)吧。那么我們繼續(xù)應(yīng)該如何讓結(jié)構(gòu)生效，變得可以直接刪除數(shù)字呢？變成下面這樣：

如圖所示。這樣結(jié)構(gòu)只是補(bǔ)充了一個(gè)3和一個(gè)4到r6c5上去，但結(jié)構(gòu)就可以直接刪數(shù)了。刪除哪些數(shù)字呢？我們來試著假設(shè)填入一下。按照最簡(jiǎn)單的辦法，我們從r2c2開始分別假設(shè)填入1和2兩種情況進(jìn)行討論，就會(huì)得到下面這樣的情況。

對(duì)比兩個(gè)圖可以發(fā)現(xiàn)，我們最終只有數(shù)字3和4是穩(wěn)定出現(xiàn)在r5c46和r6c5這三個(gè)格子的，而里面原本存在的1和2因?yàn)榧僭O(shè)的關(guān)系最終無法同時(shí)存在于兩種情況里。因此，這種結(jié)構(gòu)的最終刪數(shù)是3和4，刪數(shù)的范圍就是b5的其它格子了。

結(jié)構(gòu)仍然具有推廣性質(zhì)。我們剛才最開始將死環(huán)補(bǔ)充了r5c4才構(gòu)造出了這樣的結(jié)構(gòu)；那么我們可以嘗試?yán)^續(xù)補(bǔ)充r4c5這個(gè)格子，并再次補(bǔ)充一種數(shù)字類型進(jìn)去。

如圖所示。因?yàn)槲覀冎欢嗔艘粋€(gè)格子出來，所以我們只需要多補(bǔ)充一種數(shù)字類型就可以了（比如這里的5是多出來的數(shù)字類型），而不是同時(shí)多兩種數(shù)字類型。因?yàn)槎鄡煞N會(huì)導(dǎo)致結(jié)構(gòu)無法繼續(xù)推導(dǎo)；但不補(bǔ)充數(shù)字類型，還是使用1、2、3、4的話，結(jié)構(gòu)因?yàn)槎嗔艘粋€(gè)格子，并且和原本補(bǔ)充的3和4出現(xiàn)位置同宮，因此會(huì)出現(xiàn)四個(gè)格子只能填入1、3和4或者2、3和4這三種數(shù)字，導(dǎo)致結(jié)構(gòu)出現(xiàn)錯(cuò)誤。

那么，回到這個(gè)結(jié)構(gòu)，刪數(shù)的位置是哪些地方呢？試填一下就知道了：

如圖所示，我們可以看到，此時(shí)我們依舊按r2c2假設(shè)兩種填法，可以得到最終b5出現(xiàn)1、3、4、5構(gòu)成的四數(shù)組，以及2、3、4、5構(gòu)成的四數(shù)組。此時(shí)只有數(shù)字3、4、5三個(gè)數(shù)字類型是穩(wěn)定出現(xiàn)的，因此b5可以刪除的是別的格子的3、4、5。

那么結(jié)構(gòu)構(gòu)型我們就看到這里?；氐揭?/p>

4-2 引例邏輯解釋

如圖所示。我們很明顯就可以看到，結(jié)構(gòu)是多出來了3、4、5三種數(shù)字的，只不過現(xiàn)在4和5的位置有點(diǎn)奇怪，并不是補(bǔ)充在b5里的。我們?nèi)匀惶子迷镜乃悸?，看看是否能行得通?/p>

假設(shè)3、4、5三種數(shù)字同時(shí)消失，結(jié)構(gòu)只剩下1和2的話，顯然結(jié)構(gòu)不成立，因?yàn)榻Y(jié)構(gòu)不只是死環(huán)本身的問題了，還多用了r4c5和r5c4兩個(gè)格子；但是我們?nèi)绻槐Ａ艚Y(jié)構(gòu)里3、4、5的其中一種數(shù)字的話，結(jié)構(gòu)也是不夠成立的，因?yàn)橹白C明過了：結(jié)構(gòu)至少需要兩種數(shù)字補(bǔ)充進(jìn)去。

接著。因?yàn)槲覀兓谒拉h(huán)結(jié)構(gòu)，連著補(bǔ)充了兩個(gè)格子r4c5和r5c4作為使用，所以我們需要至少補(bǔ)充三種數(shù)字進(jìn)去，才會(huì)使得結(jié)構(gòu)不掛掉。這一點(diǎn)沒問題，對(duì)吧。那么，三種數(shù)字的情況下，因?yàn)閯偤檬沟媒Y(jié)構(gòu)不掛掉，所以3、4、5應(yīng)當(dāng)是每一個(gè)數(shù)字都不可以全部消失，因此，補(bǔ)充的3、4、5，都可以作為刪數(shù)的條件來使用。于是，結(jié)論就很明顯了：3所在的宮（b5），結(jié)構(gòu)外的別的位置不能填3；4所在的列（c5），結(jié)構(gòu)外的別的位置不能填入4；而5所在的行（r5），結(jié)構(gòu)外的別的位置不能填入5，因此紅色的數(shù)字都可以刪除。

這種結(jié)構(gòu)基于死環(huán)，因此我們稱為拓展死環(huán)（Extended Bivalue Oddagon）。

至此，我們就講完了死環(huán)的基本邏輯。