【數(shù)學(xué)基礎(chǔ)24】每天三道題（數(shù)學(xué)分析+解析幾何+線性代數(shù)）
預(yù)備知識：
數(shù)列l(wèi)im n^（1/n）=1，lim a^（1/n）=1，a>0；
收斂數(shù)列{an}極限為a，則an=a+ɑn，其中{ɑn}為一個(gè)無窮??；
收斂數(shù)列必有界；
有限個(gè)無窮小的和還是無窮?。?/p>
有界數(shù)列乘以無窮小的積還是無窮?。?/p>
設(shè)lim an=a，則lim（a1+a2+……+an）/n=a；
設(shè)lim an=a，lim（a1+2a2+……+nan）/（1+2+……+n）=a；
設(shè)lim（a1+a2+……+an）=A，lim（a1+2a2+……+nan）/n=0；
設(shè)lim（a1+a2+……+an）=A，lim（n！a1*a2*……*an）^（1/n）=0.
矩陣乘法運(yùn)算律——
a.結(jié)合律：（AB）C=A（BC）
b.左分配律：A（B+C）=AB+AC
c.右分配律：（B+C）D=BD+CD
d.若A是n級矩陣，單位矩陣為E，則有：AE=EA=A
e.矩陣乘法與數(shù)量乘法滿足：k（AB）=（kA）B=A（kB）
f.可逆方陣：設(shè)A為n階方陣，若存在n階方陣B，使AB=BA=E，則稱B為A的逆方陣，而稱A為可逆方陣。
矩陣A可逆的充要條件：|A|不為0——|A|為矩陣A對應(yīng)的行列式。
矩陣對應(yīng)行列式滿足：|AB|=|A||B|；
設(shè)A與B都是數(shù)域K上的n級矩陣，如果AB=E，那么A與B都是可逆矩陣，并且A^（-1）=B，B^（-1）=A。
A的伴隨矩陣A*滿足：A*=|A|A^（-1）
E（i，j）為單位矩陣i，j行對調(diào)——
方陣A可逆，A對調(diào)i，j行成B矩陣：B=E（i，j）A
方陣A可逆，A對調(diào)i，j列成B矩陣：B=AE（i，j）
矩陣的轉(zhuǎn)置：把n級矩陣A的行與列互換得到的矩陣稱為A的轉(zhuǎn)置，記作A'；
定義：設(shè)A為方陣，若A'=A，則稱A為對稱矩陣，若A'=-A，則稱A為反對稱矩陣。
矩陣轉(zhuǎn)置運(yùn)算律——
（A+B）'=A'+B'
（kA）'=kA'
（AB）'=B'A'
參考資料：
《數(shù)學(xué)分析習(xí)題演練》（周民強(qiáng) 編著）
《空間解析幾何》（高紅鑄 王敬蹇 傅若男 編著）
《高等代數(shù)習(xí)題集》（楊子胥 編）
數(shù)學(xué)分析——
例題（來自《數(shù)學(xué)分析習(xí)題演練（周民強(qiáng)?編著）》）——
求下列數(shù)列{an}的極限lim an：
a.an=（1+b^n）^（1/n），b>0
b.an=[1+b^n+（b^2/2）^n]^（1/n），b>0
解：
a.
若b<=1，則1<an<=2^（1/n），lim 2^（1/n）=1，所以lim an=1；
若b>1，則an=（1+b^n）^（1/n）=b*（1+1/b^n）^（1/n），所以lim?an=b.
b.
若b<=1，則1<an<3^（1/n），lim 3^（1/n）=1，所以lim?an=1；
若1<b<2，則
b<an=[1+b^n+（b^2/2）^n]^（1/n）=b*[1/b^n+1+（b/2）^n]^（1/n）<b*3^（1/n），
所以lim?an=b；
若b>=2，則
b^2/2<an=[1+b^n+（b^2/2）^n]^（1/n）=（b^2/2）*[（2/b^2）^n+（2/b）^n+1]^（1/n）<（b^2/2）*3^（1/n），
所以lim?an=b^2/2.
解析幾何——
例題（來自《空間解析幾何（高紅鑄 王敬蹇 傅若男?編著）》）——
已知向量a，b，c，d滿足條件axb=cxd=axc=bxd.證明a-d與b-c共線.
證：（a-d）x（b-c）=axb-axc-dxb+dxc=axb-axc+bxd-cxd=0，即a-d與b-c共線。
高等代數(shù)——
例題（來自《高等代數(shù)習(xí)題集（楊子胥 編）》）——
證明：任意n階方陣都可以表成一個(gè)對稱方陣和一個(gè)反對稱方陣的和，并且這種表示法是惟一的。
證：
a.存在性
設(shè)A為任意一個(gè)n階方陣，則易知B=（A+A'）/2為對稱矩陣，C=（A-A'）/2為反對稱矩陣；
則A=B+C
b.唯一性
設(shè)另有A=B1+C1，其中B1'=B1，C1'=-C1；
則A'=（B1+C1）'=B1'+C1'=B1-C1；
由1,2，B1=（A+A'）/2，C1=（A-A'）/2，則B1=B，C1=-C。
證畢。
到這里！
