事情的起因是這樣子的：

8月9號，我隨手做了一個講述全體自然數(shù)之和是負(fù)數(shù)的視頻（視頻鏈接放在專欄里了），本意是用大家都能理解的方式介紹一下一例簡單而且看起來很有趣的拉馬努金求和的例子。然而，有很大一部分人沒有能夠理解視頻中的操作，我在評論區(qū)里的解釋也沒能完全打消大家的疑慮，甚至有的人對我反唇相譏，說我的數(shù)學(xué)水平不如小學(xué)生、建議回幼兒園重修云云，私信噴我民科的也有那么幾個。我承認(rèn)，我確實不是數(shù)學(xué)專業(yè)的，但是，私以為這種問題以我的水平完全能夠拿捏，并且我在視頻里對這個問題的解釋是沒有問題的，如果耐心看完了視頻以及我在評論區(qū)的解釋，是不會對這個問題有所懷疑的。為了防杠，我把這個問題單拎成一篇專欄，重復(fù)并補充一下我之前的觀點。

首先，毫無疑問的是，全體自然數(shù)之和肯定是發(fā)散到正無窮的，那么，視頻中-1/12的結(jié)論又是從何而來呢？這里就必須要提到拉馬努金求和這個數(shù)學(xué)工具了，它存在的意義就是為發(fā)散的級數(shù)人為地賦一個收斂的值，這個值被記作拉馬努金和。注意，是賦值，不是取等！因此，嚴(yán)格來說，-1/12前面的等號不是等號，應(yīng)當(dāng)被寫作是一種類似于小學(xué)都見過的“定義新運算”式的新符號。

可能有的人聽到這更加迷惑了：這是什么操作？沒見過。實際上，這只是求和的定義發(fā)生了變化，由柯西和（一般都用這個）變成了拉馬努金和?？挛骱途褪亲詈唵蔚哪莻€求和方式，滿足柯西收斂準(zhǔn)則（學(xué)過高數(shù)都知道，懶得寫了）

在柯西和的基礎(chǔ)上，進(jìn)行第一步推廣，得到Cèsaro和的定義（懶得打成公式了，湊活著看看）：

對于數(shù)列{a_n}，定義部分和S_n=∑a_k,(k從1取到n)，定義新數(shù)列{b_n}：b_n=(∑S_k)/n，(k從1取到n)，若b_n有極限且收斂到數(shù)b，則稱b為無窮級數(shù)∑a_n的Cèsaro和

在stolz定理成立的條件下，易證柯西和存在，則Cèsaro和存在，且與柯西和相同。

但是有些時候，柯西和不存在，但是Cèsaro和存在，比如1-1+1-1+1-1+……，其Cèsaro和值為1/2（自行驗證）

再往后走，進(jìn)行第二步推廣，定義Abel和：

將{a_n}作為函數(shù)項系數(shù)f(x)的各項系數(shù)，若x從左邊趨于1時f(x)極限存在，則記這個極限為無窮級數(shù)∑a_n的Abel和

可以證明，Cèsaro和存在，則Abel和存在，且與Cèsaro和相同，因為up比較懶，證明就不寫出來了（有點長）。

然而，即使是我們把求和的定義推廣到了Abel和上，關(guān)于1+2+3+……這個無窮級數(shù)依然是發(fā)散的。為此，我們要接著往下引入拉馬努金和的概念。

由于up主數(shù)學(xué)水平有限，暫時還沒想出怎么通俗易懂地引出拉馬努金和的概念，因此，下面幾段的東西可能有些超綱，遭不住的請直接跳過看最后結(jié)論。

首先，我們給出一個引理，歐拉-麥克勞林公式：

對于任意的函數(shù)f(x)，其關(guān)于x的前n項和可表示為如下式子：（懶得手打了，網(wǎng)上截的，侵刪，后面公式同理），其中的B_n為伯努利數(shù)（不知道的請自搜，感謝）。

證明略，請自搜。

改寫一下上面的式子：

然后再把積分拆分成0到1和1到n兩段，把所有和n相關(guān)的項移到等式左邊：

然后，我們就會發(fā)現(xiàn)，等式右邊出現(xiàn)了一項和n沒關(guān)系的值，我們定義它為發(fā)散級數(shù)∑f(x)的拉馬努金和。(如果∑f(x)發(fā)散的話)

還有一種思路，是通過復(fù)分析的方式給出的拉馬努金和的定義，大致做法是拓展函數(shù)解析延拓之后的定義域，結(jié)果與上式相同。

值得注意的是，由于歐拉-麥克勞林公式只對能被冪函數(shù)表示的解析函數(shù)使用，所以在一些情況下的拉馬努金和并非上面的形式，需要加入余項。

取f(x)=x，帶入左式易得，全體自然數(shù)之和對應(yīng)的無窮級數(shù)的拉馬努金和為-1/12。

觀察拉馬努金和的定義，不難發(fā)現(xiàn)，這個求和方式實際上對應(yīng)的是在柯西求和意義下無窮級數(shù)的部分和，雖然也可以驗證對于收斂級數(shù)其拉馬努金和與柯西和相同，但是，倘若級數(shù)發(fā)散，這兩者的意義就會產(chǎn)生天翻地覆的差異。

下面是一些Q&A：

Q:視頻里得出-1/12的方式是否不嚴(yán)謹(jǐn)？

A:當(dāng)然不嚴(yán)謹(jǐn)，很多地方都有問題，比如上來假定的1/2，比如錯位求和等等，但是這種方式確實是最直觀的能夠得出-1/12這個結(jié)論的方式，也是最有趣的（我要是把上面這一大坨東西往上放還能有播放量嗎。。。）

Q:為啥物理里面會有應(yīng)用？

A:這個問題我還在想，暫時給出的結(jié)論是可能這種計算方式與量子物理中疊加的想法比較接近？不過，這個數(shù)學(xué)概念在物理應(yīng)用出來之前就有了，所以沒有因為物理所以要改變數(shù)學(xué)這么一種講法~

Q:為啥會想到定義這么一種求和方式？

A:不知道，問我不如問拉馬努金去（doge）

Q:為啥要做這個視頻？

A:實際上我最近在整理拉馬努金的生平經(jīng)歷，翻到這個了，興起做了一個視頻罷了（可以看看我之前兩個視頻，都是科學(xué)家生平相關(guān)的，我本人對這一塊的東西挺感興趣）

就這樣吧，有問題再補充~