一、整體感受

不難，涉及一些轉(zhuǎn)換，本質(zhì)還是求積分。

考察的最多的還是Gauss公式，以及Gauss和Stokes公式的靈活運用

二、需要復(fù)習(xí)以及做題過程中要掌握熟悉的點

（一）最重要的兩個公式

1、Gauss公式【幾乎每道題遇到】

2、Stokes公式【Day90每道題都用到】

3、Stokes公式中的右手定則【數(shù)分下定理22.6，Day90題2遇到】

4、Gauss公式和Stokes公式比較：

①Gauss公式是將第二型曲面積分轉(zhuǎn)化為三重積分；

Stokes公式是將第二型曲線積分轉(zhuǎn)化為第二型曲面積分；

②很多用Gauss公式的題，題干給的是第一型曲面積分，利用二者的聯(lián)系轉(zhuǎn)換為第二型曲面積分，然后再利用Gauss公式轉(zhuǎn)化為三重積分來做，最后變成一個算三重積分的問題！

同樣地，很多用Stokes公式的題，題干給第二型曲線積分，然后轉(zhuǎn)化為第二型曲面積分！

5、補充：一二型曲線積分轉(zhuǎn)換的公式【可見專欄Day85：曲線積分3】

6、定理22.7（4個充要條件等價，Day90題3用到，非常關(guān)鍵）

（二）具體題目中考察的一些知識點

1、專欄“Day83補充”的積分公式二【Day87題3遇到】

2、兩類曲面積分的轉(zhuǎn)化公式【Day88題1、題4遇到；Day89題2用到】

3、旋轉(zhuǎn)曲面方程【Day88題2遇到，專欄Day81】

4、方向?qū)?shù)以及梯度公式【Day89題2，專欄Day63】

5、曲面的單位正法向量如何求【Day90題1】

（三）一般情況下曲線與曲面積分求解知識點匯總

三、具體題目

Day87（曲面積分2：Gauss公式一）

1【北京工業(yè)】

不難，考察對Gauss公式的應(yīng)用。

①先記所求曲面積分為I,S所圍成區(qū)域為V，再記P,Q,R且在V上存在連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求出Px,Qy,Rz

②由于符合Gauss公式的存在條件，將這個第二型曲面積分轉(zhuǎn)化為三重積分求。

③再觀察到題干中對S的方程，可以化簡一下，然后做變量替換，令x+y=u,y=v,z=w;

④在新的坐標V'下求三重積分，注意Jacobi行列式不要漏了

⑤再利用V'關(guān)于關(guān)于vw平面對稱，于是2uv的積分值為0；

再利用輪換對稱性，得到u^2,v^2,w^2的三重積分值相等且等于三個積分值相加再除以3。

⑥于是I=4u^2的三重積分，因此等于4/3(u^2+v^2+w^2)的三重積分?？吹奖环e函數(shù)的形式，想到用求坐標變換，算一下即可，注意J=r^2sinφ（2這個平方不要漏掉），求得最后結(jié)果。

2【中山大學(xué)】

源于華師大課本原題

①先記所求曲面積分為I,S所圍成區(qū)域為V，再記P,Q,R且在V上存在連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求出Px,Qy,Rz

②由于符合Gauss公式的存在條件，將這個第二型曲面積分轉(zhuǎn)化為三重積分求。

③注意到Σ的對稱性是關(guān)于平面x=1對稱的，取值互為相反數(shù)，于是讓被積函數(shù)x湊一下，湊成(x-1)+1，x-1的積分值為0；

④最后就是變成求2倍的球體面積即可。（注意球的體積公式是V=4/3πr^3，不是r^2!!）

3【南開大學(xué)】

①觀察題干。先畫圖，題干設(shè)計到旋轉(zhuǎn)拋物面以及柱面，畫出來。

②記所求曲面積分為I,S所圍成區(qū)域為V，再記P,Q,R且在V上存在連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求出Px,Qy,Rz

③由于符合Gauss公式的存在條件，將這個第二型曲面積分轉(zhuǎn)化為三重積分求，對于這個三重積分采取先二后一的思路，由于被積函數(shù)出現(xiàn)x^2以及y^2，考慮極坐標變換再來做會簡單一點。

【注：做完極坐標變換以后那個積分可以選擇拆開直接求解，也可以選擇做一次三角換元，因為看到了4-r^2的形式，于是可以令r=2sint，最后得到的一個積分式子可以選擇湊微分，或者選擇專欄“Day83補充”中的積分公式來做，都可以，如果要用這個積分公式做一定要記清楚?。　?/span>

Day88（曲面積分3：Gauss公式二）

1【武漢大學(xué)】

①觀察到題干這個是第一型曲面積分，可能需要利用到第一型曲面積分和第二型曲面積分的關(guān)系，αdS=dydz;βdS=dzdx;γdS=dxdy;記曲面積分為I

②將曲面積分轉(zhuǎn)化為第二類曲面積分之后，關(guān)注到題干對S的方向，把圖畫出來，然后做補面S1：z=0,x^2/a^2+y^2/b^2≤1，方向與S的相反，取下側(cè)；于是S+S1圍成了區(qū)域V：x^2/a^2+y^2/b^2+z^2/c^2≤1，z≥0；

③對于S1，由于z=0，那么dz=0于是S1上積分為0；

④對于I=S上積分=（S+S1）上積分-S1上積分，又因為S1上積分為0，所以I=(S+S1)上積分，由于封閉可利用Gauss公式，P,Q,R在V上存在連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求出Px,Qy,Rz，將這個第二型曲面積分轉(zhuǎn)化為三重積分求。

⑤注意到這個是球，于是選擇用廣義球坐標變換，注意φ干范圍是在【0，π/2】；Jacobi行列式abcr^2sinφ也不要漏了；最終得出結(jié)果

2【西北大學(xué)】

①觀察題干，發(fā)現(xiàn)出現(xiàn)旋轉(zhuǎn)曲面，把旋轉(zhuǎn)曲面方程寫出來，

具體如何寫見專欄“Day81(三重積分1：投影法與截面法)”

，繞誰轉(zhuǎn)誰不動，另一個變成根號下另兩個的平方和

②畫圖，發(fā)現(xiàn)這個曲面Σ方向是下側(cè)的，于是加一個補面Σ1：z=e，x^2+y^2≤1（這個e是因為y=1時，z=e），應(yīng)該取上側(cè);因此Σ和Σ1圍成有界閉區(qū)域V；

③由于封閉可利用Gauss公式，P,Q,R在V上存在連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求出Px,Qy,Rz，將這個第二型曲面積分轉(zhuǎn)化為三重積分求。

④Σ+Σ1上積分算出來為0；

⑤I=（Σ+Σ1）上積分-Σ1上積分；由于Σ+Σ1上積分算出來為0；于是I=-Σ1上積分，又因為是在Σ1上面，把z=e代入，化簡，進而求出來最后取值。

3【四川大學(xué)】

①先記所求積分為I，觀察題干結(jié)合作圖，這是個球面，球心為（0,0,1），對于題干這句法向量與z軸正向的夾角為銳角，我們不妨假設(shè)一下，如果Σ取外側(cè)，那么夾角是鈍角，不行，所以Σ取內(nèi)側(cè)，因此我們做的補面Σ1：z=1,x^2+y^2≤1，且應(yīng)該方向取下側(cè)；

②Σ和Σ1圍成有界閉區(qū)域V，由于封閉可利用Gauss公式，P,Q,R在V上存在連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求出Px,Qy,Rz，將這個第二型曲面積分轉(zhuǎn)化為三重積分求，求出來Σ+Σ1上積分值為-2/3π（半個球的體積公式為2/3πR^3）

③I=（Σ+Σ1）上積分-Σ1上積分；由于（Σ+Σ1）上積分=-2/3π；接著去算Σ1上積分，因為z=1，于是dz=0，因此這個積分值為-π；因此I=-2/3π-（-π）=π/3

4【復(fù)旦大學(xué)】

①先畫圖，一個錐面和球面截出來的圖形得到之后；記P,Q,R，記曲面積分為I，將F看成一個力，利用兩類曲面的關(guān)系，將I從第一類曲面轉(zhuǎn)化為第二類曲面，觀察到由于S取上側(cè)，那么補的平面S1：z=根號2/2，x^2+y^2≤1/2，且應(yīng)該取下側(cè)，S與S1圍成封閉區(qū)域V

②由于封閉可利用Gauss公式，P,Q,R在V上存在連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求出Px,Qy,Rz，將這個第二型曲面積分轉(zhuǎn)化為三重積分求；處理這個三重積分發(fā)現(xiàn)V關(guān)于x和y是對稱的，因此x和y的三重積分值為0，該積分化簡為4z的三重積分，運用先二后一求出S+S1上積分值為π/4；

③在S1上，由于z=根號2/2，所以dz=0，因此該曲面積分為-π/2（過程涉及極坐標變換）

④I=S上積分=（S+S1）上積分-S上積分=π/4-（-π/2）=3/4π

Day89（曲面積分4：Gauss公式三）

總體計算量大，但思維量不大；

整體思路就是：有瑕點就挖掉

1【河海大學(xué)】

①作圖，根據(jù)Σ方向確定Σ1的方向；又因為這里發(fā)現(xiàn)原點是瑕點，得挖掉，于是記V中挖掉的一個以原點為球心，ε為半徑的小球V1（ε>0），設(shè)V1表面為Σ1，方向取內(nèi)側(cè)；

記所求曲面積分為I,于是Σ+Σ1所圍成封閉區(qū)域為V-V1，再記P,Q,R且在V上存在連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求出Px,Qy,Rz

②由于符合Gauss公式的存在條件，將這個第二型曲面積分轉(zhuǎn)化為三重積分求，求出Σ+Σ1上的曲面積分=0

③Σ+Σ1上的曲面積分=V-V1上的三重積分，

④I=Σ上曲面積分=（Σ+Σ1）上的曲面積分-Σ1上曲面積分=（V-V1）上的三重積分-（V1）三重積分=0-（V1）上三重積分=-V1上的三重積分，

又因為V1對應(yīng)Σ1上曲面積分，且方向取內(nèi)側(cè)，所以前面得加個負號，

因此I=-Σ1上曲面積分=V1上三重積分，此時再次利用一下Gauss公式，求出最后結(jié)果；

2【蘇州大學(xué)】

①先觀察題干，發(fā)現(xiàn)等式左側(cè)為三重積分，右側(cè)第一個式子為第一型曲面積分，右側(cè)第二個式子為三重積分；所以自然地會想到讓這個曲面積分轉(zhuǎn)換為三重積分來做。

②觀察到題干中有涉及方向?qū)?shù)以及梯度等概念；

所以先把單位法向量n設(shè)出來，n=（cosα，cosβ，cosγ），

利用一、二類曲面積分的關(guān)系（將一類曲面轉(zhuǎn)化為二類曲面），以及利用方向?qū)?shù)的公式un=（ux,uy,uz）*（cosα，cosβ，cosγ）化簡這個曲面積分；

③由于滿足Gauss公式的使用條件，將其化成三重積分，然后兩兩分類（利用求導(dǎo)想到要兩兩分類，這一步稍微有技巧），其中一類可以利用梯度定義得到，這兩個即為題干中另外兩個三重積分，移項便得到最后要證明的等式。

注：要明確梯度定義以及方向?qū)?shù)定義，以及一二類曲面化簡公式。

3【中國海洋大學(xué)】

①先記曲面積分為I，注意到這個求的公式，以及要求曲面積分的分母，可以得到分母應(yīng)該為3；化簡這個積分。

②關(guān)注到Σ的積分方向為上側(cè)，那么我的補面Σ1：z=0，x^2+y^2≤9，定向得取下側(cè)，于是Σ+Σ1構(gòu)成了封閉區(qū)域V：x^2+y^2+z^2≤9，-3≤z≤0；

③再記P,Q,R且在V上存在連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求出Px,Qy,Rz;

由于符合Gauss公式的存在條件，將這個第二型曲面積分轉(zhuǎn)化為三重積分求，求出Σ+Σ1上的曲面積分=-（81/2）π;

④求Σ1上曲面積分，由于z=0,那么dz=0，因為Σ1上曲面向下側(cè)，所以轉(zhuǎn)換成三重積分時候得加個負號，算出來積分值為-27π；

⑤I=Σ上曲面積分=Σ+Σ1上積分-Σ1上積分；

同時Σ+Σ1上積分=V上積分=-（81/2）π；

Σ1上積分=-27π；

因此I=-（81/2）π-（-27π）=-（27/2）π

Day90（曲面積分5：Stokes公式）

1【太原理工】

①先求出曲面的單位正法向量

記F=4x^2+y^2+z^2-1，于是Fx=8x,Fy=2y,Fz=2z,因此得到n=(Fx，F(xiàn)y,Fz)，再單位化得到單位正法向量

②利用Stokes公式，將這個曲線積分I轉(zhuǎn)化為第一型曲面積分，寫出P,Q,R；

③然后利用第一型曲面積分轉(zhuǎn)換為二重積分的計算公式1【這個公式可見Day86的專欄】，轉(zhuǎn)換成一個二重積分后，求解這個二重積分，需要做投影，利用一下極坐標變換，不過注意一下由于投影是4x^2+y^2≤1，所以設(shè)2x=rcosθ，y=rsinθ；算出Jacobi行列式為(1/2)r;最后I=0

2【中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)】

①先把平面和球面截出來的部分記出來，記為S，取右側(cè)為正方向，則S的正側(cè)和F的正方向滿足右手定則

②注意到球的球心（1，1，0）恰好在平面x+y=2上，所以平面截球的時候經(jīng)過了球的球心，所以截出來的平面是一個大圓，于是它的面積就是πR^2=π*（根號2）^2=2π；

③求曲面（平面是一種特殊的曲面）的單位正法向量（也就是S正側(cè)的單位法向量）；這里選擇平面x+y=2，對它操作，比球的曲面做起來簡單，設(shè)F=x+y-2，于是Fx=1,Fy=1,Fz=0,因此n=(Fx,Fy,Fz)=(1,1,0),再對n單位化即可得到S正側(cè)的單位法向量（即曲面單位正法向量）；

④利用Stokes公式，將這個第二型曲線積分轉(zhuǎn)化為第一型曲面積分；得到結(jié)果。

3【復(fù)旦大學(xué)】

很有技巧，首先要知道充要條件，然后還要有敏銳觀察；

①先觀察題干，為了方便，可以先記P-f=P*,Q-g=Q*,R-h=R*;

②然后利用全微分的充要條件（即定理22.7條件3與條件4為等價的使用）

③利用上述充要條件得到了三個方程，然后通過觀察，由于是求存在，所以找一組即可，通過敏銳的觀察，發(fā)現(xiàn)取f=bz,g=cx,h=ay可以使上述三個方程同時成立，也就是得到題干要求的是全微分，得到結(jié)果。