牛頓325、古典微分；沒有嚴謹性的數(shù)學，將什么都不是

微分到底是什么意思？實際意義是什么？——網(wǎng)友提問

…微、分、微分：見《牛頓321~323》…

…意、義、意義：見《歐幾里得26》…

（…《歐幾里得》：小說名…）

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湖心亭看雪（編輯于2018-01-25，2584人贊同了該回答）：

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2.1 古典微分

…典、古典：見《牛頓170》…

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先給大家做個簡單的介紹。

…簡、單、簡單：見《伽利略13》…

（…《伽利略》：小說名…）

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出于對函數(shù)變化趨勢的研究需要，數(shù)學家們迫切想要知道函數(shù)在某一點處的變化值是多少。

…函、數(shù)、函數(shù)：見《歐幾里得52》…

…變、化、變化：見《伽利略10》…

…研、究、研究：見《歐幾里得42》…

…數(shù)、學、數(shù)學：見《歐幾里得49》…

…家：掌握某種專門學識或從事某種專門活動的人：?！?。畫～。政治～。科學～。藝術～。社會活動～…見《歐幾里得92》…

…值：見《歐幾里得74》…

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如下圖：

于是數(shù)學家將函數(shù)值的變化量直接定義為dy，而將自變量x的變化量直接定義為dx。

…量：見《歐幾里得27》…

…d：differential（微分）首字母…

[differential（英語）：n.（名詞）差別；差額；差價；（尤指同行業(yè)不同工種的）工資級差。

adj.（形容詞）差別的；以差別而定的；有區(qū)別的。

——《牛頓321》

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dx什么意思？？——網(wǎng)友提問

2019-09-07，想玩游戲的貓：d（x）代表對x求微分。

dy/dx?中的d是“微小的增量”的意思，也就是指微小的增量y除以微小的增量x。在函數(shù)中是，微分的意思。

dx就是對x的微分，是把增量細微化，dx就是很小很小的一個x。

——《牛頓3》]

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那么只要dx足夠小，也就是說b點足夠趨近于a，函數(shù)的割線就足夠、能夠描繪出函數(shù)在這個鄰域中的變化情況。

…描、繪、描繪：見《牛頓144》…

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但是這還不夠，數(shù)學家還想定義切線。

…定、義、定義：見《歐幾里得28》…

…切、線、切線：見《牛頓288》…

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當時給出的定義是dx無限小，則割線就會無限與其切線重合。那么小到一定程度（b與a重合），則割線自然就成為了切線。

難道不是嗎？

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可是這個定義漏洞百出。因為我們都知道兩點才能確定一條直線，如果b點都與a點重合了，那怎么會把切線給確定出來呢？

數(shù)學家解釋說，不重合，只是無限小。

那么問題又來了，不管多小，只要不重合，那dx總會表示一段距離，那割線總會與函數(shù)有兩個交點。

有兩個交點又怎么稱之為切線呢？

你看，一個切線的定義真的是讓數(shù)學家無所適從。

其實本質是，dx作為一個無窮小量，讓數(shù)學家手足無措。

…本、質、本質：見《歐幾里得22》…

…無、窮、無窮，小，無窮小：見《牛頓280》…

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無窮小到底是個什么鬼？？奈何當時極限還沒有被發(fā)明，死活誰也說不清趨近于無窮小的dx是個什么鬼。

…極、限、極限：見《歐幾里得202~321》…

…發(fā)、明、發(fā)明：見《牛頓84》…

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但是微小的變化量還是迫切需要的，因此數(shù)學家趕鴨子上架。強迫定義dy為y的微分，dx為x的微分（微分即微小的變化量）。因此微分這個詞語在那個時候已經(jīng)被提出來了。

然后把dy/dx定義為導數(shù)，也就是切線的斜率（即因變量微分與自變量微分之比為導數(shù)）。因此導數(shù)在那個時候又叫做微分的商。

…導、數(shù)、導數(shù)：見《牛頓288~294》…

…切、線、切線：見《牛頓288》…

…斜、率、斜率：見《牛頓289》…

…商：見《牛頓284》…

雖然定義了導數(shù)來表示斜率，通過點斜式解決了切線的求法。但是上面表述的關于切線的問題、本質上并沒有得到解決。

自然而然的、在計算導數(shù)時，就采取了這種方式（比如求x平方的導數(shù)）：

…方、式、方式：見《歐幾里得57》…

（“圖中是用導數(shù)定義求導數(shù)。”中學生說。）

也自然而然的產(chǎn)生了上圖中我紅色文字說明的問題。

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這問題就大了。

有人開始抨擊，尤其是教會的那些人，質問道dx到底是什么，一會為0，一會又不為0？？為什么一個量會有兩種不同形態(tài)，而且還能完全沒道理的自由轉換？？

于是第一次數(shù)學危機就這樣爆發(fā)了。

無窮小量直接挑戰(zhàn)了數(shù)學的嚴謹性！

…嚴、謹、嚴謹：見《歐幾里得155》…

…性：1.物質所具有的性能；物質因含有某種成分而產(chǎn)生的性質：黏～。彈～。藥～。堿～。油～。2.后綴，加在名詞、動詞或形容詞之后構成抽象名詞或屬性詞，表示事物的某種性質或性能：黨～。紀律～。創(chuàng)造～。適應～。優(yōu)越～。普遍～。先天～。流行～…見《歐幾里得10》…

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沒有嚴謹性的數(shù)學，將什么都不是！而在當時沒有一個人將無窮小量說的清楚。

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總結一下，古典微分學的特點：

…總、結、總結：見《歐幾里得86》…

…特、點、特點：見《牛頓95》…

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（1）dy和dx表示的是自變量和因變量的具體的變化。

…具、體、具體：見《牛頓123》…

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（2）根據(jù)想象中的無窮小這個東西，定義了切線。

…根、據(jù)、根據(jù)：見《歐幾里得115》…

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（3）然后將切線的斜率定義為導數(shù)。

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可以看到古典微分學確實很直觀，如果不假思索，確實非常易于理解。

…直觀：見《牛頓220》…

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這也是為什么我們在教材中，在介紹什么是導數(shù)、什么是切線時，還是采用上面那張圖來介紹。

但是古典微分學的缺陷是非常嚴重的，就是無窮小量像個炸彈一樣，隨時把這個體系炸的血肉模糊。

…體、系、體系：見《歐幾里得27》…

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如果我們能很好的解決無窮小量這個問題，那么一切危機不都消除了嗎？

遺憾的是，直到200年后，極限被數(shù)學家發(fā)明了出來，無窮小才得到完美的解決。

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“數(shù)學家學聰明了。先抽象的把什么是導數(shù)定義出來（如上式），然后再去圖像上討論切線的含義。

請看下集《牛頓326、極限微分學；切線，是趨近于0時，割線的極限》”

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若不知曉歷史，便看不清未來

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