牛頓396、積分方法，不可積函數(shù)

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不定積分（百度百科）：…

…不，定，積、分、積分，定積分，不定積分：見(jiàn)《牛頓353~395》…

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求解

∫f（x）d x=F（x）+C，設(shè)F（x）是函數(shù)f（x）的一個(gè)原函數(shù)，

我們把函數(shù)f（x）的所有原函數(shù)F（x）+?C（其中，C為任意常數(shù)）叫做函數(shù)f（x）的不定積分，

又叫做函數(shù)f（x）的反導(dǎo)數(shù)，記作∫f（x）dx或者∫f（高等微積分中常省去dx），即∫f（x）d x=F（x）+C。

其中∫叫做積分號(hào)，f（x）叫做被積函數(shù)，x叫做積分變量，f（x）dx叫做被積式，C叫做積分常數(shù)或積分常量。

求已知函數(shù)的不定積分的過(guò)程，叫做對(duì)這個(gè)函數(shù)進(jìn)行不定積分。

…∫：積分符號(hào)，為字母s的拉長(zhǎng)…見(jiàn)《牛頓338》…

…d：differential（微分）首字母…

[differential（英語(yǔ)）：n.（名詞）差別；差額；差價(jià)；（尤指同行業(yè)不同工種的）工資級(jí)差。

adj.（形容詞）差別的；以差別而定的；有區(qū)別的。

——《牛頓321》

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dx什么意思？？——網(wǎng)友提問(wèn)

2019-09-07，想玩游戲的貓：d（x）代表對(duì)x求微分。

dy/dx?中的d是“微小的增量”的意思，也就是指微小的增量y除以微小的增量x。在函數(shù)中是，微分的意思。

dx就是對(duì)x的微分，是把增量細(xì)微化，dx就是很小很小的一個(gè)x。

——《牛頓3》]

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…函、數(shù)、函數(shù)：見(jiàn)《歐幾里得52》…

（…《歐幾里得》：小說(shuō)名…）

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…導(dǎo)、數(shù)、導(dǎo)數(shù)：見(jiàn)《牛頓288~294》…

全體原函數(shù)之間只差任意常數(shù)C。

…常、數(shù)、常數(shù)：見(jiàn)《歐幾里得132》…

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證明：

…證、明、證明：見(jiàn)《歐幾里得6》…

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如果f（x）在區(qū)間I上有原函數(shù)，即有一個(gè)函數(shù)F（x）使對(duì)任意x∈I，都有F'（x）=f（x），那么對(duì)任何常數(shù)顯然也有[F（x）+C]'=f（x）。

即對(duì)任何常數(shù)C，函數(shù)F（x）+C也是f（x）的原函數(shù)。

這說(shuō)明如果f（x）有一個(gè)原函數(shù)，那么f（x）就有無(wú)限多個(gè)原函數(shù)。

設(shè)G（x）是f（x）的另一個(gè)原函數(shù)[即?x∈I，G’（x）=f（x）]。

…?：數(shù)學(xué)符號(hào)“任意”…見(jiàn)《牛頓309》…

…∈：數(shù)學(xué)符號(hào)“屬于”…見(jiàn)《牛頓303》…

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于是[G（x）-F（x）]'=G'（x）-F'（x）=f（x）-f（x）=0。

由于在一個(gè)區(qū)間上導(dǎo)數(shù)恒為0的函數(shù)必為常數(shù)，所以G（x）-F（x）=C（C為某個(gè)常數(shù)）。

{如果函數(shù)f（x）?在區(qū)間[a，b]上的導(dǎo)數(shù)f’（x）恒為0，那么函數(shù)在區(qū)間[a，b]上是一個(gè)常數(shù)。

證明見(jiàn)《牛頓388》}

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這表明G（x）與F（x）只差一個(gè)常數(shù)。

因此，當(dāng)C為任意常數(shù)時(shí)，表達(dá)式F（x）+C就可以表示f（x）的任意一個(gè)原函數(shù)。

也就是說(shuō)，f（x）的全體原函數(shù)所組成的集合，就是函數(shù)族F（x）+C?（-∞<C<+∞）

由此可知，如果F（x）是f（x）在區(qū)間I上的一個(gè)原函數(shù)，那么F（x）+C就是f（x）的不定積分，即∫f（x）d x=F（x）+C。

因而不定積分∫f（x）d x可以表示f（x）的任意一個(gè)原函數(shù)。

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積分方法

…方、法、方法：見(jiàn)《歐幾里得2、3》…

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一、積分公式法

…公：見(jiàn)《歐幾里得1》…

…式、公式：見(jiàn)《歐幾里得132》…

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直接利用積分公式求出不定積分。

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二、換元積分法

換元積分法可分為第一類換元法與第二類換元法。?

第一類換元法（即湊微分法）

…微、分、微分：見(jiàn)《牛頓321~336》…

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通過(guò)湊微分，最后依托于某個(gè)積分公式。進(jìn)而求得原不定積分。例如：

不可積函數(shù)

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雖然很多函數(shù)都可通過(guò)如上的各種手段計(jì)算其不定積分，但這并不意味著所有的函數(shù)的原函數(shù)都可以表示成初等函數(shù)的有限次復(fù)合。

原函數(shù)不可以表示成初等函數(shù)的有限次復(fù)合的函數(shù)稱為不可積函數(shù)。如x^x，sinx/x這樣的函數(shù)是不可積的。

…^：乘方…

…x^x：x的x次方…

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[初等函數(shù)（百度百科）：初等函數(shù)是由冪函數(shù)（power function）、指數(shù)函數(shù)（exponential function）、對(duì)數(shù)函數(shù)（logarithmic function）、三角函數(shù)（trigonometric function）、反三角函數(shù)（inverse trigonometric function）與常數(shù)經(jīng)過(guò)有限次的有理運(yùn)算（加、減、乘、除、有理數(shù)次乘方、有理數(shù)次開(kāi)方）及有限次函數(shù)復(fù)合所產(chǎn)生，并且能用一個(gè)解析式表示的函數(shù)。

…運(yùn)、算、運(yùn)算：見(jiàn)《歐幾里得121》…

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“在牛頓萊布尼茨公式出現(xiàn)之前，人們求曲邊梯形與x軸圍成的面積時(shí)想到的是無(wú)限分割求極限。

當(dāng)時(shí)沒(méi)有人會(huì)想到求原函數(shù)（即不定積分）有什么用。

但是牛頓-萊布尼茨公式的出現(xiàn)使人們意識(shí)到，原來(lái)我可以不用分割，可以用不定積分來(lái)求！所以牛頓-萊布尼茨公式僅僅是一個(gè)很重要的工具。

請(qǐng)看下集《牛頓397、牛頓-萊布尼茨公式只是一個(gè)計(jì)算工具，不是定義！》”

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若不知曉歷史，便看不清未來(lái)

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