沒(méi)出息的Up網(wǎng)購(gòu)了高鴻業(yè)的上下冊(cè)，手頭還有兩本曼昆，經(jīng)濟(jì)學(xué)基礎(chǔ)常識(shí)，就靠這兩本補(bǔ)了，平新喬的書(shū)對(duì)經(jīng)濟(jì)學(xué)專(zhuān)業(yè)的寶寶來(lái)說(shuō)，難點(diǎn)應(yīng)該在數(shù)學(xué)，引入了許多數(shù)學(xué)模型或者概念，但是對(duì)于建模的整個(gè)過(guò)程描述得還是相對(duì)而言太不近人情了。

然而對(duì)老碧來(lái)說(shuō)，那些給出了經(jīng)濟(jì)學(xué)定義的數(shù)學(xué)模型還能夠看明白，沒(méi)給具體定義直接拿來(lái)解題的概念，老碧只能先死記硬背形式，之后再慢慢補(bǔ)相關(guān)內(nèi)容了，比如第9頁(yè)用到的拉氏函數(shù)，老碧選擇先記下來(lái)再說(shuō)。至于這個(gè)函數(shù)是什么意思，或者，是由什么實(shí)驗(yàn)導(dǎo)出的一個(gè)公式，老碧以后再慢慢了解吧。——不要告訴我，是我又漏看了，這幾頁(yè)我來(lái)回都快翻爛了！

今天繼續(xù)昨天的話題，介紹數(shù)學(xué)里面兩個(gè)常用的概念——

首先，數(shù)學(xué)中的“序”，由三條性質(zhì)定義——

1. 自反性：a>=a;

2. 反對(duì)稱(chēng)性：a>=b且b>=a，則a=b；

3. 傳遞性：a>=b且b>=c，則a>=c。

   
   

就定義了一個(gè)偏序，或稱(chēng)為“半序”，一個(gè)集合里面所有元素都滿(mǎn)足這三個(gè)關(guān)系，成為“偏序集”或者“半序集”，是《實(shí)變函數(shù)》中一個(gè)很重要的概念。

而如果這個(gè)集合中的元素還滿(mǎn)足第四個(gè)條件：4.雙歧性：對(duì)任意元素a，b，a>=b和b>=a總有一個(gè)成立。則定義了一個(gè)“全序集”。

舉兩個(gè)個(gè)例子來(lái)說(shuō)明這件事：

a.一個(gè)簡(jiǎn)單的不是全序集的“偏序集”——集合｛1,2,3｝的所有非空子集組成的集合上，“包含”是一個(gè)“偏序”，這個(gè)集合是｛｛1｝｛2｝｛3｝｛1,2｝｛1,3｝｛2,3｝｛1,2,3｝｝，一個(gè)集合包含另一個(gè)集合，即后者的元素都是前者的元素，顯然——

滿(mǎn)足1——由包含的定義得到，任何集合自己的元素都是自己的，比如，｛1｝包含｛1｝；

滿(mǎn)足2——集合相等的定義之一，A包含B，且，B包含A，即A=B——反證法——我們知道，A包含B，要么A=B，要么A中間含有至少一個(gè)元素不是B的元素，如果A=B不成立，那么，B包含A不成立，導(dǎo)出矛盾，故A=B；

滿(mǎn)足3——由“包含”的定義，A包含B，B里面所有元素都是A的元素，B包含C，C里面所有元素都是B的元素，即，都是A的元素，于是A包含C，比如，｛1,2,3｝包含｛2,3｝，｛2,3｝包含｛2｝，所以｛1,2,3｝包含｛2｝；

不滿(mǎn)足4——比如｛1,2｝和｛2,3｝就不存在誰(shuí)包含誰(shuí)的情況。

b.簡(jiǎn)單的“全序集”——自然數(shù)集中的“>=”定義一個(gè)全序，“>=”即在自然數(shù)序列中，一個(gè)數(shù)不會(huì)比另一個(gè)數(shù)出現(xiàn)得早，即前者晚于后者，或者與后者同時(shí)出現(xiàn)——
滿(mǎn)足1——a>=a，比如1>=1；

滿(mǎn)足2——a>=b且b>=a，則a=b——反證法——如果a>=b，且a=b不成立，那么a>b，所以b>=a不成立，導(dǎo)出矛盾，故a=b；

滿(mǎn)足3——a>=b且b>=c，則a>=c，比如，5>=4，4>=0，則5>=0；

滿(mǎn)足4——任給兩個(gè)數(shù)a，b，a>=b和b>=a總有一個(gè)成立，在自然數(shù)中，要么一個(gè)數(shù)晚于另一個(gè)數(shù)出現(xiàn)，要么后者晚于前者，要么同時(shí)出現(xiàn)，無(wú)論哪種情況，這兩個(gè)關(guān)系式都是成立的。

類(lèi)似這種羅列幾個(gè)公理來(lái)定義一個(gè)概念的現(xiàn)象，在真正的數(shù)學(xué)理論中非常常見(jiàn)，尤其每一個(gè)數(shù)學(xué)分支的起點(diǎn)，比如說(shuō)，皮亞諾公理定義自然數(shù)，比如說(shuō)，距離空間的定義，比如說(shuō)，拓?fù)淇臻g的定義，等等?！斡浝雍头蠢菍W(xué)習(xí)定義的重要過(guò)程，能夠更深切地理解這些定義的適用范圍。

而在學(xué)習(xí)《代數(shù)學(xué)》的過(guò)程中，有一個(gè)很相似的定義，叫做“等價(jià)關(guān)系”，我們用“~”表示，可以看作抽象意義的等于“=”，這個(gè)定義的1,3與“半序”完全相同，2，則變成對(duì)稱(chēng)性：

1. 自反性：a~a;

2. 對(duì)稱(chēng)性：若a~b，則b~a；

3. 傳遞性：a~b且b~c，則a~c。

這個(gè)我們也可以舉出一些簡(jiǎn)單的例子和反例來(lái)幫助理解——

a.等價(jià)關(guān)系的例子——三角形的形似關(guān)系，兩三角形相似，則三個(gè)角對(duì)應(yīng)相等

滿(mǎn)足1——一個(gè)三角形相似于自身，因?yàn)樗约旱娜齻€(gè)角必然和自己的角對(duì)應(yīng)相等；

滿(mǎn)足2——如果三角形1相似于三角形2，則1和2的三個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，則2和1的三個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，則2相似于1；

滿(mǎn)足3——如果三角形1相似于三角形2，則1和2的三個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，三角形2相似于三角形3，則2和3的三個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，于是，三角形1和三角形3的三個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，則1相似于3。

b.滿(mǎn)足1、2，不滿(mǎn)足3——不含1的正整數(shù)集中定義關(guān)系：a，b包含不是1的公因數(shù)，則a，b具有關(guān)系

滿(mǎn)足1——a顯然與自己擁有不是1的公因數(shù)a，比如，2和2具有公因數(shù)2；

滿(mǎn)足2——如果a，b具有不是1的公因數(shù)，反之必然成立，比如2和6具有公因數(shù)2,6和2也具有公因數(shù)2；

不滿(mǎn)足3——比如，2和12有公因數(shù)2,12和3有公因數(shù)3，2和3沒(méi)有公因數(shù)。

c.滿(mǎn)足1、3，不滿(mǎn)足2——自然數(shù)中的“>=”

滿(mǎn)足1、3——我們?cè)谏衔尿?yàn)證過(guò)；

不滿(mǎn)足2——比如3>=2成立，推不出，2>=3。

d.滿(mǎn)足2、3，不滿(mǎn)足1——在實(shí)數(shù)中定義關(guān)系：ab>0——即a，b同號(hào)

滿(mǎn)足2——如果ab>0，則說(shuō)明a、b同為整數(shù)或者負(fù)數(shù)，或者由乘法交換律得，ba>0；

滿(mǎn)足3——如果ab>0，且bc>0，則a，b，c同號(hào)，則ac>0；

不滿(mǎn)足1——比如0*0=0，不滿(mǎn)足反身性。

很有意思，明天回歸正題聊經(jīng)濟(jì)學(xué)學(xué)習(xí)！不見(jiàn)不散！

以上例子來(lái)自于韓士安，林磊《近世代數(shù)》習(xí)題中。