背景

無窮小和極限是初等數(shù)學(xué)和高等數(shù)學(xué)的分界線。但無窮小很調(diào)皮，一會(huì)兒等于0，一會(huì)兒不等于0，搞的我們無所適從。

其實(shí)根本原因是我們的世界是有限的，我們的經(jīng)驗(yàn)知識(shí)也都是有限的。用有限的經(jīng)驗(yàn)知識(shí)來理解無窮，就有點(diǎn)難以建立直覺的認(rèn)知。

而直覺的認(rèn)知是所有認(rèn)知中最易記憶、最易使用的方式！

今天嘗試用小錘同學(xué)的故事建立一下對(duì)無窮小的直覺認(rèn)知！

切西瓜的游戲

夏天到了，小錘同學(xué)愛玩游戲："切西瓜"！ 先把西瓜切成2半，每份是1/2，再把其中的一半又切成2半，變成了1/4。

小錘同學(xué)冒出一個(gè)問題，如果這么一直切下去，最后能切多小呢？

切下去，最后能切多小呢？

從直覺上說，可以越切越小，切到無窮小。

那么無窮小是一個(gè)很小很小的數(shù)嗎？

無窮小是一個(gè)很小很小的數(shù)嗎？

直覺上，我們很容易把無窮小定義成“很小很小的一個(gè)數(shù)”。

但是：

只要小錘同學(xué)遇瓜切一刀，永遠(yuǎn)都可以得到一個(gè)更小的瓜

所以無窮小不是一個(gè)大于0固定的常量

如果我們直覺上認(rèn)為無窮小是一個(gè)“很小很小的數(shù)”，那也很正常。

牛頓在1669年也把無窮小量，定義為一個(gè)小的不能再小但又不等于0的S常量。

這種定義背后的世界觀是：這個(gè)世界的物質(zhì)不可能一直被切下去，最后總會(huì)有一個(gè)不可分的小量。既然有一個(gè)不可分的小量存在，那么這個(gè)世界的物質(zhì)底層就是離散的，不是連續(xù)的。

那無窮小可不可以是0呢？

我們小錘同學(xué)想：要不干脆把這個(gè)無窮小定為0， 省的在這里糾結(jié)到底有多小。直接等于0不就搞定了嘛。

如果無窮小為0，也會(huì)有一個(gè)問題。

一個(gè)西瓜 = 無窮小的西瓜 + 無窮小的西瓜+······+無窮小的西瓜 = 0+0+······+0=0

我們小錘同學(xué)的西瓜切沒了！

所以無窮小也不可能是0！

一步一步接近"無窮小"的思想

小錘同學(xué)想： 雖然我不知道無窮小是什么？但我至少知道如何接近無窮?。?/p>

當(dāng)切的刀數(shù)n越大，切出來的西瓜就“越來越接近”于0

我們這樣一直切下去，這個(gè)數(shù)字就會(huì)“無限趨近于0”

“無限趨近于0”的想法看起來很不錯(cuò)，我們來看看基于這個(gè)思想的無窮小的正式定義。

柯西(Cauchy)的定義

柯西在1821年給出了極限的定義，也隨之定義了無窮?。?/p>

這個(gè)定義看起來有點(diǎn)數(shù)學(xué)，但其實(shí)思想就是“動(dòng)態(tài)的接近0”

這里面有兩個(gè)重點(diǎn)：

1. 無窮小不是一個(gè)靜態(tài)的數(shù)，而是一個(gè)動(dòng)態(tài)的數(shù)列（當(dāng)n→∞）。

2. 數(shù)列是一個(gè)動(dòng)態(tài)的（當(dāng)n→∞），但極限是一個(gè)靜態(tài)的數(shù)。

人類對(duì)于無窮小的認(rèn)知，從靜態(tài)的一個(gè)數(shù)到了動(dòng)態(tài)的一個(gè)數(shù)列。

直觀上可以這么想像：

小錘同學(xué)拿著刀，不停的切瓜的這樣一個(gè)動(dòng)態(tài)的過程，這個(gè)過程是無窮小。

“沒有最小，只有更小”的思想

小錘同學(xué)覺得“無限趨近的”想法其實(shí)還是有些別扭。而且小錘同學(xué)一直拿著刀砍個(gè)不停，也怪累的。

小錘想起班里面兩個(gè)大拿的對(duì)話

A: “我就是我們班里成績最好的！”

B: “我不知道我是不是最好的，但我比其他任何一個(gè)人的分?jǐn)?shù)都稍微更高一點(diǎn)。”

感覺同學(xué)A是狂， 而同學(xué)B那就是裝···

小錘同學(xué)想，無窮小是不是也可以裝···一下 :-)

小錘同學(xué)： “無窮小，你怎么證明你最??？”

無窮?。?“你隨便說個(gè)數(shù)，我就是比你小一點(diǎn)點(diǎn)”

這樣理解是不是就簡單多了。從忙碌的動(dòng)態(tài)又回到閑庭信步的靜態(tài)：等著別人來出招，讓別人去忙活去吧。

魏爾斯特拉斯(Weierstrass)的定義

1857年威爾斯特拉斯給出現(xiàn)在通用的極限的定義：

\這個(gè)定義就是目前我們微積分教材里面的定義，也是目前學(xué)界通用的定義。

這個(gè)定義看起來很復(fù)雜，但核心思想就是：

小錘同學(xué)： “無窮小，你怎么證明你最?。俊?

無窮小:“你隨便說個(gè)數(shù)”?

小錘同學(xué)： “好，那我就說個(gè)0.000001”?

無窮小:“不好意思，我和0的距離( |an?0|)比0.000001小”?

小錘同學(xué):“好，那我就說個(gè)10的-50次方”?

無窮小:“不好意思，我和0的距離((?|an?0|))比10的-50次方小”?

無窮小:“還有誰？！”

這里面有幾個(gè)重點(diǎn)：

• 雖然是一個(gè)靜態(tài)的方式來定義，但本質(zhì)上無窮小還是數(shù)列(或者函數(shù)），所以本質(zhì)上還是動(dòng)態(tài)的過程

• 這種定義方式，被稱為 語言ε-N語言

• 這個(gè)定義中為什么要出現(xiàn) 所有的所有的n>N 的條件？

因?yàn)椴挥脤?duì)所有的n都成立。也就是不用一直變小，只要在一個(gè)局部一直變小就可以了。

可以想象一下： 小錘同學(xué)剛開始切瓜，不太熟練，切的有大有小，但只要在切100刀之后，越切越小就行了，

也可以成為無窮小的數(shù)列

{an}={12,14,18,16,17,?,1100,1200,1400,?}

• 這個(gè)定義牛的地方是：定義數(shù)學(xué)化，可以用這個(gè)定義來計(jì)算極限了。

比如我們求 時(shí)數(shù)列的極限n→+∞時(shí),數(shù)列{1/(n+8}的極限?

這種定義背后的世界觀是：這個(gè)世界是無限可分的。

也就是小錘同學(xué)可以一直切西瓜切下去，不用擔(dān)心會(huì)切到一個(gè)不能切的“原子”。所以世界物質(zhì)底層是連續(xù)的， 不是離散的。

無窮小的歷史簡述

17世紀(jì)晚期，牛頓和萊布尼茨建立了微積分。微積分在多個(gè)科學(xué)領(lǐng)域都取得了巨大的成功。但微積分的大廈是建立在無窮小量的基礎(chǔ)上的。

1734年英國大主教貝克萊，提出無窮小悖論，也叫“貝克萊悖論”。這個(gè)悖論的關(guān)鍵問題就是無窮小量究竟是不是零？動(dòng)搖了微積分的基礎(chǔ)，引起了數(shù)學(xué)界的混亂。

約150年后，柯西和魏爾斯特拉斯等人精確定義了極限的概念。然后把微積分里面的概念，用極限重新定義了一次。使得微積分的基礎(chǔ)從無窮小切換成了極限。解決了“無窮小悖論”

理解了極限和無窮小就進(jìn)入了現(xiàn)代數(shù)學(xué)，也稱為為高等數(shù)學(xué)。沒理解就繼續(xù)呆在初等數(shù)學(xué)里面。所以極限和無窮小的概念的直觀的理解還是蠻重要滴！

微積分是近似還是精準(zhǔn)？

小錘同學(xué)想：在定義極限和無窮小的時(shí)候，會(huì)出現(xiàn)“無限趨近于0” ，那會(huì)不會(huì)總有一個(gè)“無限小的誤差”？

以至于建立在極限之上的微積分就是近似，不是精準(zhǔn)？

比如小錘同學(xué)切的這個(gè)西瓜：

編輯切換為居中

微積分可以用這個(gè)小三角形的面積來代替小扇形面積。其實(shí)就是古代“以曲代直”的思想。

直覺上這兩者面積并不相等，最多也就是用三角形的面積近似扇形面積。

小錘同學(xué)覺得得來算一下才放心：

簡單起見，假設(shè)西瓜被平分切成了n份。那么

兩者面積之比：

從小錘同學(xué)的這個(gè)傻傻的計(jì)算過程來看：

1. 隨著n增加，兩者面積比越來越接近于1

2. 只要n取一個(gè)固定的數(shù)字，三角形和圓形面積比都不會(huì)等于1，都有差異

這可能就是我們的直覺會(huì)認(rèn)為微積分是近似而不是精確的來源之一吧

這里是精確等于1的，也就是說三角形和扇形的面積相等了。

這就是微積分的神奇之處：

小錘同學(xué)切西瓜的過程中，只要沒有切到無窮小，就不相等，

只要切到無窮小，那么扇形面積和三角形面積就相等了。

淺淺的感嘆一下

人類認(rèn)識(shí)無窮，其實(shí)真滴挺難的。我們生活在有限的世界里，靠什么來理解無窮呢？

今天的物理學(xué)僅僅研究、描述所謂普朗克尺度（大約 10的?35次方 米， 10的?44次方 秒）以上的事物。對(duì)于普朗克尺度以下的事物，不論是否有那樣的事物（即不論是否時(shí)空在普朗克尺度上就已經(jīng)是離散的了），今天的物理學(xué)家們還沒有任何肯定的說法。

古人說“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”。但是，到120天，就小于普朗克尺度了( 2的?120次方<10的?36次方 ) 。那么繼續(xù)“日取其半”下去是否還有物理意義，也許在那個(gè)尺度上時(shí)空就已經(jīng)是離散、不可繼續(xù)分割的了。

理解無窮只能靠思維來想像。而幸運(yùn)的是，到目前為止，建立在無窮基礎(chǔ)上的微積分，在各個(gè)領(lǐng)域解決“有限的、離散的”各種科學(xué)問題，都還那么精準(zhǔn)無偏差。