薩塔妮亞小姐的菠蘿包經(jīng)常被狗奪取。狗并不會(huì)數(shù)學(xué)，無(wú)法分析出最快追上薩塔妮亞的方法。但是，狗知道兩點(diǎn)之間線段最短。為此，對(duì)每一個(gè)時(shí)刻的狗，它的速度會(huì)始終朝向薩塔妮亞。這樣的狗，很符合我們對(duì)狗追人問(wèn)題的研究。

在這篇文章中，我們會(huì)介紹狗追人問(wèn)題，并著重于對(duì)其中一個(gè)給出初等解法。這將為薩塔妮亞遇狗時(shí)的策略選擇提供一定的理論支持。

狗追人問(wèn)題，泛指一類追及問(wèn)題，即：人以某種速率沿某種軌跡運(yùn)動(dòng)，狗同時(shí)以某種速率開始追趕，且狗時(shí)刻改變速度以保證速度方向始終指向人，進(jìn)而引發(fā)出的一系列問(wèn)題。

最容易想到的問(wèn)題自然是求狗的運(yùn)動(dòng)軌跡。例如下題(雖不能稱作狗追人，但核心類似)：甲乙丙在正三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，甲追乙，乙追丙，丙追甲，且速率相同，求運(yùn)動(dòng)軌跡。

利用微積分容易求出，是形如r=ae^(bθ)的極坐標(biāo)方程，即對(duì)數(shù)螺線。這個(gè)結(jié)果很好理解，因?yàn)閷?duì)數(shù)螺線具有優(yōu)美的自相似性質(zhì)。這或許也是這類問(wèn)題里最簡(jiǎn)潔的方程。

現(xiàn)在考慮如下情況：狗在人東方1m處，人往北走，狗以相同速率追趕，求狗的軌跡。

以人的初始位置為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，利用微積分同樣不難解決。因?yàn)檐壽E在(x?，y?)的切線方向即為速度方向，切線與y軸的的截距即為人的路程，也即狗的路程。因而可列方程：

這實(shí)際就是一個(gè)簡(jiǎn)單的二階微分方程，再結(jié)合曲線過(guò)(1，0)以及在(1，0)的切線斜率為0，容易解出軌跡為：

這個(gè)軌跡方程沒(méi)啥特色。而且對(duì)數(shù)的存在，也使其無(wú)法由初等數(shù)學(xué)求解。我在初三時(shí)解出了這個(gè)方程，然后卻沒(méi)有進(jìn)一步思考。高一時(shí)見(jiàn)到很多釣魚題，覺(jué)得有意思，也想出一道。于是聯(lián)想到這個(gè)問(wèn)題——它的題干如此簡(jiǎn)單，那能否也挖掘出一些形式簡(jiǎn)單的結(jié)論呢？

于是發(fā)現(xiàn)：兩者距離趨于一個(gè)定值——0.5m

這在已經(jīng)知道解析式的情況下，宛如甕中捉鱉。距離為x?(1+y'?2)＝(x?2+1)/2。隨著x趨于0，距離自然趨于0.5。

但這樣平凡的結(jié)果，如何找到初等解法呢？

事實(shí)上，涉及運(yùn)動(dòng)的問(wèn)題，一定程度上都會(huì)牽涉到物理。盡管這個(gè)問(wèn)題用不到任何物理定律，但物理思想仍是解題的關(guān)鍵。

既然求兩者距離，我們應(yīng)想到轉(zhuǎn)換視角?？疾烊说囊暯牵窌?huì)怎樣運(yùn)動(dòng)？只需把每個(gè)點(diǎn)往下平移當(dāng)前的路程。在已知軌跡方程的情況下，可以得到人視角下的方程為：y=(x2-1)/2

這是一條可被研究的拋物線，并且應(yīng)當(dāng)敏銳地注意到原點(diǎn)恰為其焦點(diǎn)。這讓我們意識(shí)到轉(zhuǎn)換視角的方法是有戲的。

現(xiàn)在要從初等的角度去找出這條拋物線。從物理的角度，視角的變化會(huì)帶來(lái)速度的變化，這提示我們應(yīng)當(dāng)先分解速度。否則，僅有位置的變化，不足以得到軌跡的性質(zhì)。

在原視角下，不妨設(shè)運(yùn)動(dòng)速率恒為1(顯然速率變化不影響軌跡形狀)。對(duì)某個(gè)時(shí)刻，將狗的速度分解為v?＝sinθ，v?＝cosθ。人狗連線為速度方向，則斜率為cotθ。

在新視角下，由于相對(duì)位置沒(méi)變，連線斜率仍為cotθ。而狗在y方向的速度應(yīng)減去人的速度。故此處切線斜率為(cosθ-1)/sinθ=-tanθ/2。

于是，很奇妙地，我們已經(jīng)得到了刻畫這個(gè)軌跡的重要性質(zhì)：曲線上一點(diǎn)與原點(diǎn)連線和x軸所形成的夾角，該點(diǎn)切線和x軸形成夾角的兩倍，兩者互余。

結(jié)合我們的目標(biāo)——拋物線，自然再如下標(biāo)注

從而，可以直接說(shuō)明了：從原點(diǎn)射出的光線，經(jīng)曲線反射后與y軸平行。因此，該曲線是以原點(diǎn)為焦點(diǎn)，以y軸為對(duì)稱軸的拋物線。又已知其過(guò)(1，0)，便能得到解析式。自然，該拋物線上離原點(diǎn)最近的點(diǎn)是下頂點(diǎn)，距離即0.5。

當(dāng)然，還剩一個(gè)小問(wèn)題，即說(shuō)明無(wú)法達(dá)到0.5，也即狗無(wú)法到達(dá)人的正下方。這其實(shí)比較顯然，有多種方法均可嚴(yán)格論證該點(diǎn)，讀者不妨自行探討。

至此，問(wèn)題結(jié)束。

雖然初等數(shù)學(xué)無(wú)法完全解決解析式，但仍能大幅減少計(jì)算。事實(shí)上，在上述過(guò)程中可以看出，拋物線的解析式除以x，再積分，就得到了原解析式。

此外，若狗的速率恒為人的k倍，當(dāng)k＜1，距離存在一個(gè)最小值，此后則單增；當(dāng)k＞1，會(huì)在某個(gè)時(shí)刻相遇。我曾算過(guò)具體的表達(dá)式，但是忘卻了，懶得再算一次。而且看樣子也不是初等數(shù)學(xué)能得到的結(jié)果了。

薩塔妮亞小姐，如果你看到了這篇文章，而且你不能保證狗的速率跟你一致，最好自己動(dòng)手算一算，這對(duì)你平時(shí)考試也有幫助。