?般集合的外測度、內(nèi)測度

　整個測度論，不管是約當(dāng)測度、Ｌ測度還是Ｂ測度，都源于開集的測度。開集測度都是這些測度的參照物。

　開集的測度就是直接拿?尺對開集進(jìn)?量度。?開集的構(gòu)造可以認(rèn)為由有限或者?限個構(gòu)成區(qū)間構(gòu)成，所謂構(gòu)成區(qū)間可以理解為?個不可再分的開集，各個構(gòu)成區(qū)間是不交的，將各個構(gòu)成區(qū)間量出其長度，再?一求和，就得到了開集的總長度，這就是開集的測度。

開集測度的定義：

設(shè)G為非空開集，則有結(jié)構(gòu)表示

其中?是G的構(gòu)成區(qū)間。規(guī)定開集G的測度為它的一切構(gòu)成區(qū)間長度的和，記為mG：

閉集測度的定義：

設(shè)F為非空閉集，任取一個包含F的開區(qū)間(a,b)，令G＝(a,b)－F?，則G為開集，定義閉集F的測度為

mF?＝b－a－mG

也就是說，閉集的測度也必須通過開集的測度來定義。

外側(cè)度定義：

設(shè)E為有界集

E的外測度定義為一切包含E的開集的測度的下確界，記為

內(nèi)測度定義:

E的內(nèi)測度定義為一切含于E中閉集的測度的上確界，記為

　外測度就是從外?測這個集合，當(dāng)然??個最?的集合來套它，從內(nèi)部測它，當(dāng)然??個最?的集合來頂死它。?論內(nèi)外?求嚴(yán)絲密縫。

　　以上定義除了對半開半閉集合適?，對前?的開集、閉集同樣適?。以開集為例，從外?找?個開集來套她，沒有什么?她??更合?了，所以，外測度?然就是她??。?從??找?閉集套頂它，有定理證明??閉集的最?者的測度與其測度相等，于是，開集的外測度=內(nèi)測度=??的測度。同理，閉集的內(nèi)外測度=??的測度。

　　對于?般集合，以外測為例，在以上的定義中，是??個?她?的開集來測量她，?在?她?的集合中取其最?值，所以這是?個極限值。?極限值與真正值往往差了?個?限?ε。因此內(nèi)測和外測就差了?個?限?ε，這個?限?ε在積累的過程中如果不產(chǎn)?質(zhì)變，則保持?限?，可以視為0。于是，絕?部分集合都是內(nèi)測=外測的。

　　那么，外測度為什么用一個開集而不是閉集來套那個待測集合呢？

假設(shè)（a,[e],f）代表一個開集，則從a到e左邊的中括號 [ （e也可以是開集）之間，可以劃分為無數(shù)個開集，從而符合測度是以開集來定義的這個原則。

那內(nèi)測度為什么用一個閉集而不是開集來頂那個待測集合呢？

這是因為存在如下定理：

上面定理的意思就是，對于任意一個集合，它都包含一個最大的開集，那么，超過這個開集以后，就沒有辦法更進(jìn)一步去逼近這個集合 E 了。