牛頓393、不定積分的概念

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?2014-03-20，網友“醫(yī)者仁心326”上傳名為《不定積分的概念和性質》的文檔。

…不，定，積、分、積分，定積分，不定積分：見《牛頓353~364》…

…概、念、概念：見《歐幾里得22、23》…

（…《歐幾里得》：小說名…）

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…性、質、性質：見《歐幾里得37》…

文檔內容：

…內、容、內容：見《歐幾里得66》…

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第四章 第一節(jié) 不定積分的概念和性質

一、不定積分的概念

二、基本積分表

…基、本、基本：見《歐幾里得2》…

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三、不定積分的性質

一、不定積分的概念

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定義1 若在區(qū)間I上，可導函數(shù)F（x）的導函數(shù)為f（x）[即對任一x∈I，都有：F’（x）=f（x） 或dF（x）=f（x）dx]，則稱函數(shù)F（x）為f（x）在I上的原函數(shù)。

…定、義、定義：見《歐幾里得28》…

…可導：若f（x）在x0處連續(xù)，則當a趨向于0時，[f（x0+a）-f（x0）]/a存在極限，則稱f（x）在x0處可導…見《牛頓360》…

…函、數(shù)、函數(shù)：見《歐幾里得52》…

…∈：數(shù)學符號“屬于”…見《牛頓303》…

（…數(shù)、學、數(shù)學：見《歐幾里得49》…

…符、號、符號：見《歐幾里得160、161》…）

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…d：differential（微分）首字母…

[differential（英語）：n.（名詞）差別；差額；差價；（尤指同行業(yè)不同工種的）工資級差。

adj.（形容詞）差別的；以差別而定的；有區(qū)別的。

——《牛頓321》

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dx什么意思？？——網友提問

2019-09-07，想玩游戲的貓：d（x）代表對x求微分。

dy/dx?中的d是“微小的增量”的意思，也就是指微小的增量y除以微小的增量x。在函數(shù)中是，微分的意思。

dx就是對x的微分，是把增量細微化，dx就是很小很小的一個x。

——《牛頓3》]

例

（x^3/3）’=x^2 ?

x^3/3是x^2在（—∞，+∞）上的原函數(shù)；

…^：乘方…

…x^3：x的3次方…

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（sin x）’=cos x ?

sin x是cos x在（—∞，+∞）上的原函數(shù)。

原函數(shù)存在定理：

…定、理、定理：見《歐幾里得2》…

…原函數(shù)存在定理：又名積分上限函數(shù)求導定理…見《牛頓361》…

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區(qū)間內的連續(xù)函數(shù)一定存在原函數(shù)。

…連、續(xù)、連續(xù)：見《歐幾里得44》…

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若函數(shù)有原函數(shù)，顯然其原函數(shù)不是唯一的。

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例

（x^3/3+1）’=x^2，x^3/3+1是x^2的原函數(shù)；

（x^3/3+2）’=x^2，x^3/3+2是x^2的原函數(shù)；

結論：x^3/3+C（其中C為任意常數(shù)）都是x^2的原函數(shù)，而且也是它的全部原函數(shù)。

…常、數(shù)、常數(shù)：見《歐幾里得132》…

定理1 若F（x）為f（x）在區(qū)間I上的一個原函數(shù)，則F（x）+C（C為任意常數(shù)）就是f（x）在I上的原函數(shù)的全體。

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證明

…證、明、證明：見《歐幾里得6》…

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設Φ（x）是f（x）在I上的任意一個原函數(shù)[即對任一x∈I，都有：Φ’（x）=f（x）]，則：

[Φ（x）-F（x）]’=Φ’（x）-F’（x）=f（x）-f（x）=0

（“此處運用了求導法則，函數(shù)和的導數(shù) 等于各個函數(shù)的導數(shù)的和?！爆F(xiàn)代學者說。

…求導法則：見《牛頓366》…

…導、數(shù)、導數(shù)：見《牛頓288~294》…）

…Φ：第21個希臘字母。讀音：fài…見《牛頓359》…

由拉格朗日中值定理的推論可知，Φ（x）-F（x）=C或Φ（x）=F（x）+C，其中C為常數(shù)。

…值：見《歐幾里得74》…

…拉格朗日中值定理：見《牛頓376~389》…

…推、論、推論：見《歐幾里得66》…

…拉格朗日中值定理的推論：如果函數(shù)f（x）?在區(qū)間[a，b]上的導數(shù)f’（x）恒為0，那么函數(shù)在區(qū)間[a，b]上是一個常數(shù)…證明見《牛頓388》…

定義2 在區(qū)間I上，函數(shù)f（x）的原函數(shù)的全體F（x）+C（C為任意常數(shù)），稱為f（x）在I上的不定積分，記作∫f（x）dx，即∫f（x）dx=F（x）+C

…∫：積分符號，為字母s的拉長…見《牛頓338》…

由定義2，我們有

∫x^2dx=（x^3）/3+C

…^：乘方…

…x^2：x的平方…

{

[（x^3）/3+C]’=[（x^3）/3]’+C’

=1/3·（x^3）’+0

=1/3·3·x^2

=x^2}

∫cos x dx=sin x+C

根據(jù)不定積分的定義，可以得到如下關系式：

[∫f（x）dx]’=f（x）或d[∫f（x）dx]=f（x）dx

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∫F’（x）dx=F（x）+C或∫dF（x）=F（x）+C

（∵?d[∫f（x）dx]=f（x）dx=dF（x）

∴?∫dF（x）=∫f（x）dx=F（x）+C）

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如果忽略常數(shù)C，不定積分運算與求導運算（或微分運算）互為逆運算。

…運、算、運算：見《歐幾里得121》…

…微、分、微分：見《牛頓321~336》…

例：設曲線過點（1，2），且其上任一點的斜率為該點橫坐標的兩倍，求曲線的方程。

…斜、率、斜率：見《牛頓289》…

…方、程、方程：見《伽利略53》…

（…《伽利略》：小說名…）

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解 設曲線方程為y=f（x），根據(jù)題意知：dy/dx=2x，

則 f（x）=∫2xdx=x^2+C。

而曲線過點（1，2）可知C=1，

因此所求曲線方程為y=x^2+1。

函數(shù)2x的不定積分為∫2xdx=x^2+C，而y=x^2+C的圖形是一簇拋物線。

函數(shù)f（x）的不定積分∫f（x）dx=F（x）+C是一簇函數(shù)，y=F（x）+C的圖形是一簇曲線，這簇曲線稱為積分曲線簇。

“既然積分運算和微分運算是互逆的，因此可以根據(jù)求導公式得出積分公式。

請看下集《牛頓394、基本積分表：根據(jù)求導公式得出積分公式》”

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