最近在學(xué)習(xí)容錯控制，主要是基于滑模，但網(wǎng)上對滑?？刂频闹v解大多是直接抄課本，對于二階滑模的STA算法的講解更是云里霧里（可能只是我自己沒看懂）。所以我找到了提出高階滑模算法的原始文獻[1]，結(jié)合《非線性系統(tǒng)》[2]里對一階滑模的描述，對滑?？刂坪透唠A滑模算法做一個總結(jié)。

• 滑模控制原理

????????我想，了解一個領(lǐng)域，最好的辦法是由淺入深，由點到面，由簡到繁。所以首先應(yīng)該搞清楚這樣的一個問題：滑?？刂剖墙鉀Q什么問題的？其基本原理是什么？

????????答：滑?？刂剖且欢l件下的強魯棒性控制，即對于任意系統(tǒng)，尤其是非線性系統(tǒng)，在系統(tǒng)動態(tài)或控制輸入有較大波動時，系統(tǒng)仍能保證一定的性能。其基本原理是，對于任意非線性系統(tǒng)x\dot=f(t,x,u)，在一定控制u下，讓系統(tǒng)狀態(tài)在有限時間內(nèi)收斂到某一曲面s(x)=0，并且不再離開該曲面，從而將任意系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為由該曲面描述的降階系統(tǒng)，完成系統(tǒng)調(diào)節(jié)、鎮(zhèn)定、跟蹤等任務(wù)。u的設(shè)計與f(t,x,u)具體形式無關(guān)，只與其上界有關(guān)，所以具有很強的抗干擾性。

（當(dāng)然，也不能說“任意”，肯定要滿足一定條件的，后面會說到。另外很多文獻將曲面描述為manifold（流形），微分幾何里的概念）

????我們還是以一個二階系統(tǒng)為例，對于如下系統(tǒng)：

其中g(shù)(x)>0，設(shè)計滑?？刂苪使系統(tǒng)穩(wěn)定在原點。

調(diào)節(jié)過程分為兩部分：

① 在滑模面外時，在有限時間內(nèi)收斂到滑模面上，并不再離開

② 在滑模面上運動時，收斂到原點

先考慮②，如果在滑模面上，系統(tǒng)狀態(tài)滿足：

顯然，這是一個線性齊次方程，x1和x1\dot都將以指數(shù)的形式收斂到原點，即(x1,x2)以指數(shù)形式收斂到原點。因此，可以令滑模面為：s(x)=cx1+x2

考慮①，即滑模外的點收斂到滑模面上的過程。此時只要分析s對t的導(dǎo)數(shù)：

該微分方程的Lyapunov方程可取為：

顯然，V(s)是正定的，而V對t的導(dǎo)數(shù)：（以下f(x)記為f，g(x)記為g）

目標(biāo)是設(shè)計u使V\dot負定。由于g>0，因此：

式中第一項恒大于0，設(shè)其上界為k，那么，只要：

就可以讓V\dot負定，從而s一定趨于0，即滑模外的點一定收斂到滑模面上。

上述過程可以拓展到任意系統(tǒng)。對于系統(tǒng)：

其中G為對角陣，對角線上的函數(shù)都恒大于0。δ為分段連續(xù)的擾動。設(shè)計控制律u，使對任意G和δ，系統(tǒng)能穩(wěn)定在原點。

首先做變量代換，系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為正則形式：

設(shè)計步驟如下：

① 首先設(shè)計滑模面ξ=Φ(η)，使滑模面上的點能收斂到原點。設(shè)計Φ即以下降階系統(tǒng)

在原點的鎮(zhèn)定問題。

② 設(shè)計控制律，使滑模面外的點能收斂到s=ξ-Φ(η)=0上。設(shè)計控制律即如下微分方程的鎮(zhèn)定問題：

對于正則的微分方程，s的一階導(dǎo)一定顯含u，從而可以估算式中各函數(shù)的上界，給出u的表達式或取值范圍。

• 高階滑模算法

????????可以看出，前面介紹的原理，得到的結(jié)果一定是：通過高頻切換u，使系統(tǒng)穩(wěn)定在滑模面上。這種算法實際應(yīng)用起來會有很多問題，比如在滑模面周圍振蕩，控制量故障后系統(tǒng)將很大程度偏離滑模面，控制過程有延時時性能大大降低等等。以前改進滑模算法的方式主要有兩種：一是改進邊界層，即在|s|較小時，用線性函數(shù)代替±1，系統(tǒng)響應(yīng)就平滑一些。二是設(shè)計各種各樣的趨近律，比如Twisting算法，Au算法，Drift算法等。

????????文獻[1]第一次總結(jié)了此前各類算法，提出了滑模階的概念，證明了有些算法是一階的，有些算法在一定條件下是二階的，并對Twisting算法進行了一些改進，成為了Super-Twisting算法的雛形。這里就不具體介紹了，簡單總結(jié)一下文章內(nèi)容：

① 給出一些定義，如滑模族，實際滑模和理想滑模，其中最重要的就是“滑模階”的概念。作者是這樣定義的（σ(t,x)=0為滑模面）：如果：

即σ趨于0的“程度”小于γ(ε)的r次方，則稱這種趨近的r階的。γ是ε的函數(shù)，并且ε趨于0時，γ趨于0。作者的定義比較嚴(yán)謹，實際上可以考慮冪函數(shù)在原點的趨近過程。y=k|x|是一階的，y=kx平方是二階的，以此類推。取γ=kτ時，作者得到：

還是有些抽象，總之，設(shè)計r階滑模，就要讓r-1階導(dǎo)數(shù)趨于0。

② 給出了二階滑模存在性的定理。

③ 分析了此前提出的各類滑模算法的收斂性，給出了一些定理，比如常規(guī)的滑模u=-k sign (σ)是一階的，Au算法是一階的，但當(dāng)α較大時，可以趨于二階，Twisting算法在一定條件下可以構(gòu)造二階滑模，用差分代替微分的離散形式的Twisting算法，在采樣間隔較小時也能構(gòu)造二階滑模，Drift算法在一定條件下能構(gòu)造二階滑模，等等。最后特別給出一個不用計算σ導(dǎo)數(shù)的算法，并指出在一定條件下能構(gòu)造二階滑模。

④ 上述定理的證明。為得到二階滑模，需要讓σ一階導(dǎo)數(shù)=0，因此需要分析σ二階導(dǎo)數(shù)的動態(tài)：

其中C=LuLuσ，K=Luσ對u的偏導(dǎo)。C和K都有界。

（和一階滑模類似，對于一階，系統(tǒng)轉(zhuǎn)為正則形式后，σ的一階導(dǎo)數(shù)顯含u，因此通過估算各個函數(shù)的界限得到u的表達式。二階滑模則是σ的二階導(dǎo)數(shù)顯含u導(dǎo)數(shù)，從而也可以在一定條件下讓σ二階導(dǎo)數(shù)恒小于0）

對于③中最后那個不用計算σ導(dǎo)數(shù)的算法：

滿足如下約束時：

并且ρ∈(0,0.5]，該算法能實現(xiàn)二階滑模：

總結(jié)為，在該控制律下，可以讓σ二階趨于0，σ為t和x的任意函數(shù)。（一定條件，懶得看了，有點復(fù)雜，以后寫論文時再研究吧）

⑤ 做個仿真

論文中給出這樣一個抽風(fēng)的非線性動力系統(tǒng)：

作者令σ=x3/Φ(x)，希望σ二階趨于0，即σ趨于0并且σ導(dǎo)數(shù)趨于0。當(dāng)然x3也就趨于0。

應(yīng)用如下控制律：

在Simulink中搭建仿真：

設(shè)置初始位置(1,4,5)，初始控制u=0，得到（σ，σ導(dǎo)）的圖像：

可見σ和σ導(dǎo)都趨于0。

x3隨時間的變化：

收斂到0。

改變σ=(x3-t)/Φ(x)，希望x3趨向t，初始狀態(tài)相同，從而：

同樣都趨于0，再看狀態(tài)變量x3:

修改微分方程右邊，系統(tǒng)同樣能讓σ二階趨于0，具有很強的抗干擾性。

參考文獻

[1] Levant (Levantovsky, L. V.), A. (1993). Sliding order and sliding accuracy in sliding mode ? ? ? ?control. Int. J. Control. 58(6), 1247—1263.

[2]?H. K. Khalil, Nonlinear systems, 3rd ed. Upper Saddle River, N.J: Prentice Hall, 2002.