【數(shù)學(xué)基礎(chǔ)Ep2】每天三道題（數(shù)學(xué)分析+解析幾何+線性代數(shù)）
利用一道計(jì)算題，研究雙曲正弦函數(shù)反函數(shù)的性質(zhì)，需要牢記。
《解析幾何（呂林根 許子道 編）》第一章的題目和高中知識結(jié)合緊密，題量豐富，可以作為一本與相對偏深的解析幾何書籍（如《空間解析幾何（黃宣國 編著）》）或者與高等代數(shù)結(jié)合緊密的解析幾何書籍（如《解析幾何（丘維聲 編著）》）的過渡型教材。
預(yù)備知識：
向量加法滿足交換律，結(jié)合律，a+0=a，a+（-a）=0
向量數(shù)乘滿足結(jié)合律，1a=a，第一分配律，第二分配律
向量數(shù)乘第一分配律：（l+m）a=la+ma
向量數(shù)乘第二分配律：l（a+b）=la+lb
代數(shù)數(shù)：滿足整系數(shù)代數(shù)方程a0x^n+a1x^（n-1）+……+an=0的實(shí)數(shù)（根）。（有理數(shù)是代數(shù)數(shù)；p+q*7^（1/2）——p，q是有理數(shù)，滿足方程x^2-2px+（p^2-7q^2）=0，是代數(shù)數(shù)。）
超越數(shù)：非代數(shù)數(shù)的實(shí)數(shù)。（圓周率π，對數(shù)底e。若a是不等于0，1的代數(shù)數(shù)，b是無理數(shù)又是代數(shù)數(shù)，則a^b是超越數(shù)。）
參考資料：
《數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)全書（數(shù)學(xué)一）》（李正元 尤承業(yè) 范培華 編）
《解析幾何》（呂林根 許子道 編）
《高等代數(shù)習(xí)題集》（楊子旭 編）
《數(shù)學(xué)分析教習(xí)題演練》（周民強(qiáng) 編著）
數(shù)學(xué)分析——
例題（來自《數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)全書（數(shù)學(xué)一）（李正元 尤承業(yè) 范培華 編）》）：正好這個(gè)題目的形式和這幾天說的雙曲函數(shù)有關(guān)，故而選進(jìn)來，說明這種函數(shù)的重要性——求w=lim{1/ln[x+（1+x^2）^（1/2）]-1/ln（1+x）}，x趨近于0。
思路——
我們優(yōu)先反應(yīng)過來ln[x+（1+x^2）^（1/2）是sh x的反函數(shù)，我們可以利用這道題來研究雙曲正弦函數(shù)，反函數(shù)的性質(zhì)；
注意到，兩項(xiàng)分母都是無窮小，所以這是一個(gè)∞-∞型的不定式，那么，我們先將其轉(zhuǎn)化為分式形式的不定式，即通分：1/ln[x+（1+x^2）^（1/2）]-1/ln（1+x）={ln（1+x）-ln[x+（1+x^2）^（1/2）]}/{[ln（1+x）]{ln[x+（1+x^2）^（1/2）]}}；
等價(jià)無窮小在分式和乘式中是可以相互替代的，故而我們將分母以等價(jià)無窮小代替，其中已知，x趨近于0時(shí)，ln（1+x）~x，我們主要研究分母中另一個(gè)因式——
據(jù)洛必達(dá)法則：x趨近于0時(shí)，ln[x+（1+x^2）^（1/2）]/x=[1/（1+x^2）^（1/2）]/1=1，故而，得到x趨近于0時(shí)，ln[x+（1+x^2）^（1/2）]/x~x，2式即為0/0式不定式，可以用洛必達(dá)定理；
對2式進(jìn)行計(jì)算：
1/ln[x+（1+x^2）^（1/2）]-1/ln（1+x）
={ln（1+x）-ln[x+（1+x^2）^（1/2）]}/{[ln（1+x）]{ln[x+（1+x^2）^（1/2）]}}……通分
={ln（1+x）-ln[x+（1+x^2）^（1/2）]}/x^2……等價(jià)無窮小替代
=[1/（1+x）-1/（1+x^2）^（1/2）]/2x……洛必達(dá)法則
=[-1/（1+x）^2+x（1+x^2）^（-3/2）]/2……洛必達(dá)法則
=-1/2
注：應(yīng)記知識點(diǎn)——
ln[x+（1+x^2）^（1/2）是sh x的反函數(shù)；
ln[x+（1+x^2）^（1/2）]的導(dǎo)數(shù)是1/（1+x^2）^（1/2）；
x趨近于0時(shí)，ln[x+（1+x^2）^（1/2）]/x~x。
解析幾何——
例題（來自《解析幾何（呂林根 許子道 編）》）——設(shè)L，M，N是三角形三邊的中點(diǎn)，O是任意一點(diǎn)，證明：OA+OB+OC=OL+OM+ON。
思路：將OL+OM+ON用OA，OB，OC，AB，BC，CA表示——
設(shè)L，M，N依次為三角形三邊AB，BC，CA的中點(diǎn)，即AL=AB/2，BM=BC/2，CN=CA/2；
由1有：OL+OM+ON=（OA+AL）+（OB+BM）+（OC+CN）=（OA+AB/2）+（OB+BC/2）+（OC+CA/2）；
向量加法滿足交換律與結(jié)合律：OL+OM+ON=（OA+AB/2）+（OB+BC/2）+（OC+CA/2）=（OA+OB+OC）+（AB/2+BC/2+CA/2）；
向量數(shù)乘滿足第二分配律：OL+OM+ON=（OA+OB+OC）+（AB/2+BC/2+CA/2）=（OA+OB+OC）+（AB+BC+CA）/2=（OA+OB+OC）+0=（OA+OB+OC），得證。
高等代數(shù)——
例題（來自《高等代數(shù)習(xí)題集（楊子旭）》）：記住這個(gè)例子——有沒有不含非零整數(shù)的數(shù)環(huán)？如果有，舉出實(shí)例；如果沒有，加以證明。
解：有這樣的數(shù)環(huán)，例如：
R={a1π+a2π^2+……+anπ^n|ai是整數(shù)，n是自然數(shù)}，π為圓周率。
R顯然作成一個(gè)數(shù)環(huán)，而且R不包含不等于零的整數(shù)。
若不然，設(shè)R含有非零整數(shù)a0，則令a0=a1π+a2π^2+……+anπ^n，則π為整系數(shù)方程-a0+a1x+a2x^2+……+anx^n=0的根，這與π是超越數(shù)矛盾。
故數(shù)環(huán)R不包含非零整數(shù)。
就到這里！
